第十二章全等三角形

1、第十二章全等三角形1.理解和掌握全等三角形的概念,明確對應(yīng)邊、對應(yīng)角、對應(yīng)頂點等相關(guān)概念.2.掌握兩個三角形全等,對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等的性質(zhì).3.探索并掌握兩個三角形全等的條件,并能根據(jù)“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”判定兩個三角形全等.4.能夠畫已知角的平分線并掌握角平分線的性質(zhì)定理和判定定理.1.通過觀察、試驗、歸納、類比、推理獲得數(shù)學猜想,體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性,感受證明的必要性、證明過程的嚴謹性以及結(jié)論的確定性.2.在教學中,注重所學內(nèi)容與現(xiàn)實生活的聯(lián)系;注重學生經(jīng)歷觀察、操作、推理、想象等探索過程.1.讓學生通過動手操作,感受知識的形成過程,樹立認真學習的

2、態(tài)度,激發(fā)學生的學習熱情.2.利用小組合作的學習方法,讓學生多進行交流,多種感官參與教學,使學生主動探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、歸納概括、形成能力,養(yǎng)成學數(shù)學、愛數(shù)學的情感.中學階段重點研究的兩個平面圖形間的關(guān)系是全等和相似,本章將以三角形為例研究全等.全等三角形研究的問題和研究方法將為后面學習相似提供思路,而且全等是一種特殊的相似,全等三角形的內(nèi)容是學生學習相似三角形的重要基礎(chǔ).本章還將借助全等三角形進一步培養(yǎng)學生的推理論證能力,主要包括用分析法分析條件與結(jié)論的關(guān)系,用綜合法書寫證明格式,以及掌握證明幾何命題的一般過程.由于利用全等三角形可以證明線段、角等基本幾何元素相等,所以本章的內(nèi)容也是學習等腰三角

3、形、四邊形、圓等內(nèi)容的基礎(chǔ).本章分為三節(jié),主要介紹了全等三角形的概念、性質(zhì)、判定方法,以及如何利用三角形全等進行證明.第12.1節(jié)首先介紹了現(xiàn)實世界中的全等現(xiàn)象,然后從“重合”的角度引入了全等形的概念,在此基礎(chǔ)上給出了全等三角形的概念,接著由全等三角形的概念導(dǎo)出了全等三角形的性質(zhì).第12.2節(jié)由圖形的性質(zhì)與判定在命題陳述上的互逆關(guān)系出發(fā),引出判定兩個三角形全等的方法.第12.3節(jié)首先由平分角的儀器的工作原理引出了作一個角的平分線的尺規(guī)作圖,然后探究并證明了角的平分線的性質(zhì),同時總結(jié)了證明一個幾何命題的一般步驟,最后給出了角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理.本章將重點研究三角形全等的判定方法,并在其中

4、滲透了研究幾何圖形的基本方法.本章既有直接利用三角形全等的判定方法證明兩個三角形全等的問題,又有通過證明兩個三角形全等推出線段相等或角相等的問題,在問題的設(shè)計中還融入了平行線的性質(zhì)與判定、三角形中邊和角的等量關(guān)系、折紙情境等內(nèi)容,推理論證的難度比三角形一章增大了.【重點】1.全等三角形的性質(zhì)及各種判定三角形全等的方法.2.角平分線的性質(zhì)及判定.3.證明的基本過程.【難點】1.根據(jù)不同條件合理選用三角形全等的判定方法,特別是對“SSA”不能判定三角形全等的認識.2.角平分線的性質(zhì)和判定的正確運用.3.用綜合法證明的格式.1.用研究幾何圖形的基本思想和方法貫穿本章的教學.學生在前面的幾何學習中研究

5、了相交線與平行線、三角形等幾何圖形,對于研究幾何圖形的基本問題、思路和方法形成了一定的認識,本章在教學中要充分利用學生已有的研究幾何圖形的思想方法,用幾何思想貫穿全章的教學.2.讓學生充分經(jīng)歷探究過程.本章在編排判定三角形全等的內(nèi)容時構(gòu)建了一個完整的探究活動,包括探究的目標、探究的思路和分階段的探究活動.教學中可以讓學生充分經(jīng)歷這個探究過程,在明確探究目標、形成探究思路的前提下,按計劃逐步探索兩個三角形全等的條件.本章在編排中將畫圖與探究三角形全等的條件結(jié)合起來, 既有用尺規(guī)畫一個三角形與已知三角形全等,又有用技術(shù)手段根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫三角形.教學中要充分利用探索畫圖方法的過程對形成結(jié)論的價值,讓

6、學生自主探索畫圖的步驟、創(chuàng)設(shè)多種畫法、解釋作圖依據(jù)等,在活動中發(fā)現(xiàn)結(jié)論.3.重視對學生推理論證能力的培養(yǎng).本章是初中階段培養(yǎng)邏輯推理能力的重要章節(jié),主要包括證明兩個三角形全等,通過證明三角形全等,進而證得兩條線段或兩個角相等.教學中要在學生已有推理論證經(jīng)驗的基礎(chǔ)上,利用三角形全等的證明,進一步培養(yǎng)學生推理論證的能力. 按照整套教科書對推理能力培養(yǎng)的循序漸進的目標,本章的教學重點是引導(dǎo)學生分析條件與結(jié)論的關(guān)系,書寫嚴謹?shù)淖C明格式,從具體問題的證明中總結(jié)出證明的一般步驟.12.1全等三角形1課時12.2三角形全等的判定4課時12.3角的平分線的性質(zhì)1課時單元復(fù)習1課時12.1全等三角形1.掌握好全

7、等形及全等三角形的定義.2.理解對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角的含義.3.掌握全等三角形的性質(zhì).1.教學時結(jié)合實際圖片或?qū)W生自己動手制作的圖片,使學生更加容易接受本節(jié)的知識,也能從中體會到數(shù)學的樂趣及數(shù)學與生活實際的聯(lián)系.2.通過對一個圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等動態(tài)變換,使學生的思維更具動態(tài),形成空間觀念,對以后的圖形觀察與總結(jié)具有更好的指引作用.1.在全等形的引入中,通過一些實際生活的圖片,讓學生感受到數(shù)學來源于生活實際,又反作用于生活實際.2.在學習中,同學之間以及小組之間相互研討,可促進學生的團隊意識,以及認識合作的價值.【重點】掌握好全等三角形的定義及利用全等三角形的性質(zhì)解決問題.【難點】全等

8、三角形性質(zhì)的應(yīng)用.【教師準備】全等的三角形紙板.【學生準備】剪刀、三角形紙板.導(dǎo)入一:(老師手拿兩個全等的三角形紙板,可先分開操作,然后把兩個三角形進行重合操作,目的是讓學生看出這兩個三角形是能夠完全重合在一起的)【師】同學們,你能發(fā)現(xiàn)這兩個三角形有什么關(guān)系嗎?【生】這兩個三角形是完全重合的. 【師】這就是我們今天要學習的全等形中的一種,全等三角形.(同時教師手寫板書)設(shè)計意圖本節(jié)的內(nèi)容,對于學生來說還是比較容易接受的,所以此設(shè)計比較簡捷,單刀直入,可以節(jié)省時間,直入主題.導(dǎo)入二:【師】同學們,這節(jié)課我們先做個游戲,把你們準備好的剪刀與三角形紙板拿出來,先取一張紙,將準備好的三角形紙板按在紙上

9、,畫下圖形,照圖形裁下來,觀察一下,有什么特點?同桌之間互相配合完成,再一起討論得到的三角形與原三角形之間的關(guān)系.設(shè)計意圖同桌之間通過互相幫助,動手探索,既能增強他們的合作意識、團隊精神,又能在動手操作中感受到數(shù)學的樂趣,增強對全等三角形的認知與理解.導(dǎo)入三:(老師拿出一塊硬紙板)同學們請看,每組的兩個圖形有什么特點?它們的形狀、大小一樣嗎?它們能互相重合嗎?設(shè)計意圖這兩個問題和實際生活的聯(lián)系比較密切,引起了學生認知的需要,激發(fā)了學生的求知欲,使之在思維情境中進入最佳的學習狀態(tài).這就為學生認識和探索全等三角形的性質(zhì)做了鋪墊.一、全等三角形的相關(guān)概念過渡語剛才同學們都看到了,兩個三角形可以在形狀

10、、大小方面完全相同,放在一起能夠完全重合,在實際生活中,你還能舉出類似的例子嗎?1.全等形的概念思路一【師生活動一】多找一些學生舉例子.(此過程中,有些學生舉的例子是不正確的,如有的學生可能會說“雙胞胎”,可先讓學生說說此例子是否正確,讓學生們一起討論,然后老師給出正確的指引及錯誤的原因,對學生的不同回答,只要合理,就給予認可)設(shè)計意圖幫助學生準確地理解定義,以及感受數(shù)學知識的嚴謹性.【師生活動二】(1)上面同學們舉的這些例子,有什么共同的特征?(2)有人用“全等形”一詞描述上面的圖形,你認為這個詞是什么含義?同學們暢所欲言,最后老師給出全等形及全等三角形的定義,為了加深理解,可通過列舉反例強

11、調(diào)定義的條件.全等形的定義:能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.全等三角形的定義:能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.思路二【學生活動一】把一塊三角形樣板按在紙板上,畫下圖形,照圖形裁下來.【問題思考】裁下來的紙板和樣板的形狀、大小完全一樣嗎?把樣板和裁得的紙板放在一起能夠完全重合嗎?用同一張底片沖洗出來的兩張照片上的圖形,放在一起也能夠完全重合嗎? 【學生回答后總結(jié)】能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.設(shè)計意圖從學生熟悉的圖形和例子引出全等形的概念,可以排除學生對幾何的畏懼心理,增強他們的自信心,在教學過程中要強調(diào)“重合”的重要性,使全等形的概念的引入顯得更加自然.【學生活動二】觀察黑板上的

12、兩個三角形DEF和ABC.【思考】如果把DEF放到ABC上,兩個三角形可以重合嗎?可以重合的三角形稱為什么?【生答】全等三角形.設(shè)計意圖通過這個活動及時鞏固全等形的概念,同時也為后面的內(nèi)容做鋪墊,起承上啟下的作用.拓展延伸兩個三角形全等指的是兩個三角形的形狀和大小完全相同,和位置無關(guān).2.全等三角形的相關(guān)定義過渡語實際生活中,全等形是非常多的,在初中階段,我們重點研究全等三角形,你能構(gòu)造一對全等三角形嗎?你是如何構(gòu)造的呢?看下面的例子.【師生活動一】老師演示以下三種情況:(1)將ABC沿直線BC平移得到DEF;(2)將ABC沿BC翻折180°得到DBC;(3)將ABC繞點A旋轉(zhuǎn)180

13、°得到AED.【議一議】各圖中的兩個三角形全等嗎?它們能完全重合,我們就說它們是全等三角形,其中能重合的頂點叫做對應(yīng)頂點,重合的邊叫做對應(yīng)邊,重合的角叫做對應(yīng)角.如上圖中的甲,ABC與DEF全等,我們就記作ABCDEF,符號“”讀作“全等于”,當兩個三角形全等時,我們就用它來表示.其中點A與點D,點B與點E,點C與點F是對應(yīng)頂點;AB與DE,BC與EF,AC與DF是對應(yīng)邊;A和D,B和E,C和F是對應(yīng)角.同學們,能不能對上述的圖乙,圖丙,分別說出它們的記法、讀法,以及其中的對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角.當學生回答兩個三角形全等的書寫時,教師注意強調(diào)書寫時對應(yīng)頂點字母寫在對應(yīng)的位置上.【師

14、生活動二】【師】由上述的演示可以看出,一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后,位置變化了,但形狀、大小都沒有改變,所以平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等,這也是我們通過運動的方法尋求全等的一種策略.在上述三種變換中,怎么能快速地找到對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角呢?請同學們討論.設(shè)計意圖學生進行討論,各抒己見,此過程中學生說的不一定對,在互相的討論、交流中,學生慢慢地糾正自己的錯誤,接受別人的好的方法,這樣能更加深入地了解與掌握找全等三角形的對應(yīng)點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法.【師最后總結(jié)】在全等三角形中,找出對應(yīng)角和對應(yīng)邊,關(guān)鍵是先找出對應(yīng)頂點,然后按對應(yīng)頂點的字母順序記兩個三角形全等,再按順序?qū)懗鰧?yīng)邊和對應(yīng)角.

15、全等三角形的面積一定相等,但是面積相等的兩個三角形不一定是全等三角形.知識拓展找對應(yīng)元素的常用方法有兩種:(一)從運動角度看1.翻轉(zhuǎn)法:找到中心線,沿中心線翻折后能相互重合,從而發(fā)現(xiàn)對應(yīng)元素.2.旋轉(zhuǎn)法:三角形繞某一點旋轉(zhuǎn)一定角度后能與另一三角形重合,從而發(fā)現(xiàn)對應(yīng)元素.3.平移法:沿某一方向平移使兩三角形重合來找對應(yīng)元素.(二)根據(jù)元素位置來推理1.全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊;兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊.2.全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角;兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角.3.公共邊一定是對應(yīng)邊,公共角一定是對應(yīng)角,對頂角一定是對應(yīng)角.4.全等三角形中一對最短的邊(或最小的角)是對應(yīng)邊(或?qū)?/p>

16、應(yīng)角).二、全等三角形的性質(zhì)過渡語我們現(xiàn)在已經(jīng)知道了什么是全等三角形,并且能找到兩個全等三角形的對應(yīng)頂點、對應(yīng)角、對應(yīng)邊,那么這些對應(yīng)邊與對應(yīng)角又有什么關(guān)系呢?同學們拿出我們剛才自己制作的兩個全等三角形,動手比較,看能得出什么結(jié)論?學生們紛紛發(fā)言,在此過程中,老師引導(dǎo)學生從全等三角形可以完全重合出發(fā)找等量關(guān)系,得到全等三角形的性質(zhì):全等三角形的對應(yīng)邊相等;全等三角形的對應(yīng)角相等.知識拓展(1)全等三角形的對應(yīng)邊上的高、中線以及對應(yīng)角的平分線相等;(2)全等三角形的周長相等,面積相等;(3)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.三、例題講解過渡語通過剛才同學們的探究,我們已經(jīng)初步掌握了全等圖形及全等三

17、角形的性質(zhì),這樣我們就可以根據(jù)圖形找到全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角和對應(yīng)頂點了.如圖所示,OCAOBD,C和B,A和D是對應(yīng)頂點. (1)OCAOBD說明這兩個三角形可以重合,那么通過怎樣的變換可以使這兩個三角形重合?(2)說出這兩個三角形中相等的邊和角.解:(1)將OCA翻折可以使OCA與OBD重合.(2)C=B,A=D,AOC=DOB;AC=DB,OA=OD,OC=OB.如圖所示,已知ABEACD,ADE=AED,B=C,指出其他的對應(yīng)邊和對應(yīng)角. 解析對應(yīng)邊和對應(yīng)角只能從兩個三角形中找,所以需將ABE和ACD從復(fù)雜的圖形中分離出來.根據(jù)元素位置來找,有相等元素,它們就是對應(yīng)元素,再依據(jù)已知

18、的對應(yīng)元素找出其余的對應(yīng)元素.解:對應(yīng)角為BAE和CAD.對應(yīng)邊為AB與AC,AE與AD,BE與CD.1.能夠完全重合的圖形叫做全等形.能夠完全重合的三角形叫做全等三角形.重合的頂點叫做對應(yīng)頂點,重合的邊叫做對應(yīng)邊,重合的角叫做對應(yīng)角.全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等.2.找全等三角形對應(yīng)元素的方法,注意挖掘圖形中隱含的條件,如公共元素、對頂角等.3.在運用全等三角形的定義和性質(zhì)時應(yīng)注意規(guī)范書寫格式.1.如圖所示,ABCDEF,則此圖中相等的線段有() A.1對B.2對C.3對D.4對解析:因為ABCDEF,所以AB=DE,AC=DF,BC=EF,因為BC=EF,即BE+EC=CF+EC,所

19、以BE=CF,即有4對相等的線段.故選D.2.如圖所示,ACBA'CB',A'CB=30°,ACB'=110°,則ACA'的度數(shù)是() A.20°B.30°C.35°D.40°解析:ACBA'CB',ACB=A'CB',ACB-A'CB=A'CB'-A'CB,即ACA'=BCB',A'CB=30°,ACB'=110°,ACA'=12(110°-30°)=

20、40°.故選D.3.如圖所示,找出由七巧板拼成的圖案中的全等三角形. 解:三角形1和三角形2,三角形6和三角形7.4.如圖所示,已知ABCADE,試找出對應(yīng)邊、對應(yīng)角. 解析:方法1:可以發(fā)現(xiàn)A是公共角,在兩個三角形中A的對邊分別是BC和DE,所以BC和DE是一組對應(yīng)邊.而AB與AE顯然不重合,所以AB與AD是一組對應(yīng)邊,剩下的AC與AE自然是一組對應(yīng)邊了.再根據(jù)對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角可得B與D是對應(yīng)角,ACB與AED是對應(yīng)角.所以對應(yīng)邊為AB與AD,AC與AE,BC與DE.對應(yīng)角為A與A,B與D,ACB與AED.方法2:沿A與BC和DE的交點O的連線將ABC翻折180°后

21、,它正好和ADE重合,這時就可以找到對應(yīng)邊為AB與AD,AC與AE,BC與DE.對應(yīng)角為A與A,B與D,ACB與AED.解:對應(yīng)邊為AB與AD,AC與AE,BC與DE.對應(yīng)角為A與A,B與D,ACB與AED.12.1全等三角形一、全等三角形的相關(guān)概念二、全等三角形的性質(zhì)例1例2一、教材作業(yè)【必做題】教材第32頁練習第1,2題.【選做題】教材第33頁習題12.1第3,4,5題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.下列各組圖形中是全等圖形的是()2.下列各組圖形中,是全等形的是()A.對應(yīng)鈍角相等的兩個等腰三角形B.兩個含60°角的直角三角形C.邊長為3和5的兩個等腰三角形D.腰對應(yīng)相等的兩個直

22、角三角形3.如圖所示,ABCBAD,點A和點B,點C和點D是對應(yīng)頂點,如果AB=6 cm,BD=5 cm,AD=4 cm,那么AC的長是() A.6 cmB.5 cmC.4 cmD.無法確定4.如圖所示,RtABCRtDEF,則D的度數(shù)為() A.30°B.45°C.60°D.90°【能力提升】5.如圖所示,四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,ABCBAD.求證: (1)OA=OB;(2)OCD=ODC.6.如圖所示,ABCAEC,B和E是對應(yīng)頂點,B=30°,ACB=85°,求AEC各內(nèi)角的度數(shù). 【拓展探究】7.如圖所示,

23、已知ABDACE,且點E在BD上,CE交AB于點F,若CAB=20°,求DEF的度數(shù). 【答案與解析】1.B(解析:根據(jù)全等圖形的定義可得.)2.D3.B(解析:ABCBAD,點A與點B,點C與點D是對應(yīng)頂點,AC=BD,又BD=5 cm(已知),AC=5 cm.故選B.)4.A(解析:RtABCRtDEF,D=A.在RtABC中,A+B=90°,且B=60°,A=30°,D=30°.故選A.)5.證明:(1)ABCBAD,CAB=DBA,OA=OB.(2)ABCBAD,AC=BD,又OA=OB,AC-OA=BD-OB,即OC=OD,OCD=O

24、DC.6.解:ABCAEC,ACE=ACB,EAC=BAC,E=B,又B=30°,ACB=85°,E=30°,ACE=85°,EAC=65°.7.解析:根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出C=B,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等求出BEF=CAB=20°,代入DEF=180°-BEF即可求出DEF.解:ABDACE,C=B,BFE=CFA,CAF=180°-C-CFA,BEF=180°-B-BFE,CAB=20°,BEF=CAB=20°,DEF=180°-BEF=180°-2

25、0°=160°.本節(jié)內(nèi)容與圖形是緊密相連的,圖形也是學生非常喜歡的,所以本節(jié)課的引入,重點以圖形為主,既讓學生感受到學數(shù)學的樂趣,又引發(fā)了學生學習本節(jié)課的信心,并且對學生更加熱愛生活、找到數(shù)學與生活實際的聯(lián)系起到了非常重要的作用.本節(jié)課的另外一個特點是圖形的平移、翻折與旋轉(zhuǎn),要求學生具有空間想象能力,這既是數(shù)學的美,也是一些學生感到吃力的地方,為了突破難點,在教學設(shè)計上,引入了幾何畫板,進行動態(tài)演示,讓學生能在非常生動、精彩的課件中找到自信,另外,也為他們?nèi)蘸蟮膶W習起到了重要的鋪墊作用.本節(jié)課中,全等形、全等三角形的定義都是比較淺顯的,學生們非常容易接受,本節(jié)的難點是全等三

26、角形的書寫及找出對應(yīng)邊、對應(yīng)角,在突破難點上,講解沒有達到非常生動.讓學生在非常歡樂的氣氛中達到難點突破是我們的教學目標.為了能突破難點,在設(shè)計上可先讓學生拿著自己制作好的兩個全等三角形進行平移、翻折與旋轉(zhuǎn),觀察前后的變化,同時寫出每次變換后的對應(yīng)邊、對應(yīng)角,可同桌之間互相考察,也可一名學生指派另一名學生答題,然后老師再用幾何畫板進行動態(tài)演示,把實際操作逐步變?yōu)轭^腦中的印象,最后達到不用任何輔助手段就能在頭腦中達到上述目的.練習(教材第32頁)1.解:圖(2)中,AB和DB,BC和BC,AC和DC是對應(yīng)邊;A和D,ABC和DBC,ACB和DCB是對應(yīng)角.圖(3)中,AB和AD,BC和DE,AC

27、和AE是對應(yīng)邊;BAC和DAE,B和D,C和E是對應(yīng)角.2.解:相等的邊:AC=DB,OA=OD,OC=OB;相等的角:A=D,C=B,AOC=DOB.習題12.1(教材第33頁)1.解:AC和CA是對應(yīng)邊;B和D,BAC和DCA,BCA和DAC是對應(yīng)角.2.解:其他對應(yīng)邊:AN和AM,BN和CM,其他對應(yīng)角:ANB和AMC,BAN和CAM.3.解:三角形內(nèi)角和為180°,a所對的角為180°-60°-54°=66°,又兩個三角形全等,1=66°.4.解:(1)其他對應(yīng)邊:EF和NM,FG和MH,EG和NH;其他對應(yīng)角:E和N,FGE

28、和MHN.(2)因為EFGNMH,所以NM=EF=2.1 cm,EG=NH=3.3 cm,所以HG=EG-EH=3.3-1.1=2.2(cm),所以線段NM的長度是2.1 cm,線段HG的長度是2.2 cm.5.解:ACD和BCE相等.因為ABCDEC,所以ACB=DCE.又因為ACB=ACE+BCE,DCE=ACD+ACE,所以ACD=BCE.6.解:(1)對應(yīng)邊:AE和AD,AC和AB,EC和DB;對應(yīng)角:A和A,AEC和ADB,ACE和ABD.(2)因為AECADB,所以ACE=ABD.又因為1=2,所以ACE+2=ABD+1,即ACB=ABC,所以ABC=12×(180

29、76;-A)=65°,所以1=ABC-ABD=65°-39°=26°.如圖所示,EFGNHM,在EFG中,FG是最長的邊,在NHM中,MH是最長的邊,F和NHM是對應(yīng)角,且EF=2.4 cm,FH=1.9 cm,HM=3.5 cm. (1)寫出對應(yīng)相等的邊及對應(yīng)相等的角;(2)求線段GN及線段HG的長度.解析(1)由于EFGNHM,根據(jù)兩個三角形的最長邊是對應(yīng)邊可知FG與MH對應(yīng)相等,又F和NHM是對應(yīng)角,所以FGE和HMN對應(yīng)相等,剩下的一對角E和N也就對應(yīng)相等了;進而根據(jù)對應(yīng)頂點的關(guān)系可得到EF與HN對應(yīng)相等,EG與MN對應(yīng)相等;(2)由HM=3.5

30、 cm可得它的對應(yīng)邊FG=3.5 cm,根據(jù)FH=1.9 cm可求得HG=FG-FH=1.6 cm;又由EF=2.4 cm可得它的對應(yīng)邊HN的長也是2.4 cm,則GN=2.4-1.6=0.8(cm).解:(1)對應(yīng)相等的邊有:FG=MH,EF=HN,EG=NM;對應(yīng)相等的角有:F=NHM,E=N,EGF=M.(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì),得HN=EF=2.4 cm,HG=FG-FH=HM-FH=3.5-1.9=1.6(cm),GN=HN-HG=2.4-1.6=0.8(cm).如圖所示,A,D,E三點在同一直線上,且BADACE. (1)試說明BD=DE+CE;(2)ABD滿足什么條件時,BDC

31、E?解析(1)要說明BD=DE+CE,由于BADACE,所以BD和AE相等,因此我們只需說明AE=DE+CE即可,又AE=AD+DE,所以本題只需說明AD=CE即可,而這對線段恰好是全等三角形的對應(yīng)邊.(2)要使BDCE,則必須有BDE=E,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可知ADB=E,所以需要條件ADB=90°.解:(1)BADACE,BD=AE,AD=CE,AE=AD+DE,BD=DE+CE.(2)當ABD滿足ADB=90°時,BDCE.解題策略證明形如“BD=DE+CE”的問題有兩種思路:思路一是將BD拆成兩段,證明這兩段分別等于DE和CE;思路二是找一條等于DE+CE的

32、線段,然后證明該線段等于BD.12.2三角形全等的判定1.熟練掌握“邊邊邊”定理、“邊角邊”定理、“角邊角”定理、“角角邊”定理、“斜邊直角邊”定理.2.會用這些判定方法判定兩個三角形全等.1.讓學生通過分類討論和作圖的方法探索三角形全等的判定定理,并讓學生用運動變換的方法證實.2.在探索全等三角形的判定方法的過程中,滲透分類討論的思想.3.培養(yǎng)學生觀察、概括、歸納的能力.1.讓學生體驗分類的思想,培養(yǎng)學生的合作精神.2.培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣,體會研究問題的思想和方法.【重點】全等三角形的判定方法.【難點】能用全等三角形的判定方法判定兩個三角形全等.第課時1.掌握“邊邊邊”定理的內(nèi)容.2.能

33、初步應(yīng)用“邊邊邊”定理判定兩個三角形全等.3.會作一個角等于已知角. 讓學生探索三角形全等的條件,體驗用操作、歸納得出數(shù)學結(jié)論的過程.通過探究三角形全等的條件的活動,培養(yǎng)學生合作交流的意識和大膽猜想、樂于探索的良好品質(zhì),以及發(fā)現(xiàn)問題的能力.【重點】“邊邊邊”定理.【難點】探索三角形全等的條件.【教師準備】多媒體課件.【學生準備】復(fù)習全等三角形的性質(zhì),準備直尺和圓規(guī).導(dǎo)入一:【提出問題】(1)全等三角形相等,相等. (2)已知AOCBOD,則A=B,C=,AC=,=OB,=OD. 設(shè)計意圖通過復(fù)習讓學生進一步掌握全等三角形的性質(zhì),為下一步學習全等三角形的判定打下基礎(chǔ).導(dǎo)入二:

34、通過前面的學習我們知道,如果兩個三角形具備三條邊和三個角分別對應(yīng)相等,那么這兩個三角形一定全等.但是要想畫一個三角形與已知的三角形全等一定需要六個條件嗎?條件能否盡可能地少呢?一個條件行嗎?兩個條件呢?過渡語我們掌握了全等三角形的性質(zhì),那么怎樣判定三角形全等呢?一、探究三角形全等的條件【學生活動一】(1)只給一個條件(一條邊或一個角)畫三角形時,畫出的三角形一定全等嗎?(2)如果給出兩個條件呢?給出兩個條件畫三角形時,有幾種可能的情況,每種情況下作出的三角形一定全等嗎?學生討論有幾種可能的情況,然后按照下面條件畫一畫:三角形一個內(nèi)角是30°,一條邊是3 cm;三角形兩個內(nèi)角分別是30

35、°和50°三角形的兩條邊分別是4 cm和6 cm.學生分組討論、畫圖、探索、歸納,最后以組為單位出示結(jié)果.【結(jié)果展示】(1)只給定一條邊時.只給定一個角時.(2)給出的兩個條件可能是:一邊一內(nèi)角、兩內(nèi)角、兩邊.可以發(fā)現(xiàn)按這些條件畫出的三角形都不能保證一定全等.【議一議】如果給出三個條件畫三角形時,你能說出有幾種情況嗎?(三條邊,兩條邊一個角,一條邊兩個角,三個角)在剛才的探索過程中,我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)已知三內(nèi)角不能保證兩個三角形全等.下面我們就來逐一探索其余的三種情況.(這節(jié)課只討論第一種情況)【學生活動二】拼一拼.用你們準備的4 cm,5 cm,7 cm長的三根細木棒拼一個三角

36、形,與其他同學拼成的三角形比較,它們一定全等嗎?你又發(fā)現(xiàn)了什么?以小組為單位,把拼好的三角形畫在紙上并剪下來,再把剪下的三角形重疊在一起,發(fā)現(xiàn)都能夠重合,這說明這些三角形都是全等的.二、探究運用“SSS”判定兩個三角形全等思路一過渡語我們也可以換一種方法,先在一張紙上任意畫一個三角形,然后在旁邊再畫一個三角形,使得三邊對應(yīng)相等,我們看畫出的這兩個三角形全等嗎?【出示問題】先任意畫一個ABC,再畫一個A'B'C',使得A'B'=AB,B'C'=BC,A'C'=AC,把畫出的A'B'C'剪下來,放在AB

37、C上,看它們能完全重合嗎?(即全等嗎?)【學生活動】拿出直尺和圓規(guī),按上面的要求作圖并驗證.畫法:(1)畫B'C'=BC;(2)分別以點B',C'為圓心,線段AB,AC的長為半徑畫弧,兩弧相交于點A'(3)連接A'B',A'C'.【教師活動】巡視、指導(dǎo)、引入課題,這個作圖的結(jié)果反映了什么規(guī)律?【學生活動】在思考、實踐的基礎(chǔ)上,歸納出判定三角形全等的方法.【教師板演】三邊分別相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”).設(shè)計意圖通過學生畫圖、觀察、比較、思考等活動,一步一步地探索出結(jié)論,感悟基本事實的正確性,在概

38、括基本事實的過程中,引導(dǎo)學生透過現(xiàn)象看本質(zhì),鍛煉學生用數(shù)學語言概括結(jié)論的能力,同時也增加了學生的數(shù)學體驗,讓他們充分感受到成功的喜悅.思路二(1)用一根長13 cm 的細鐵絲,折成一個邊長分別是3 cm,4 cm,6 cm 的三角形.把你做的三角形和其他同學做的三角形進行比較,它們能重合嗎? (提示:能重合)(2)用同一根細鐵絲,余下1 cm,用其余部分折成一個邊長分別是3 cm,4 cm, 5 cm的三角形,再和其他同學做的三角形進行比較,它們能重合嗎? (提示:能重合) (3)先任意畫出一個ABC,再畫一個A'B'C',使A'B'=AB,B'

39、C'=BC,C'A'=CA.把畫好的A'B'C'剪下,放到ABC上,它們?nèi)葐?畫一個A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,B'C'=BC的畫法:畫線段B'C'=BC;分別以B',C'為圓心,線段AB,AC為半徑畫弧,兩弧交于點A'連接A'B',A'C'.【歸納總結(jié)定理】如果兩個三角形的三邊對應(yīng)相等,那么這兩個三角形全等.文字符號圖形三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等如果AB=A'B'

40、,BC=B'C',AC=A'C',那么ABCA'B'C'過渡語學習了三角形全等的判定方法,我們就可以利用它解決一些生活中的實際問題.(教材例1)在如圖所示的三角形鋼架中,AB=AC,AD是連接點A與BC中點D的支架.求證ABDACD. 解析要證ABDACD,只需說明這兩個三角形的三條邊對應(yīng)相等.證明:D是BC的中點,BD=CD.在ABD和ACD中,AB=AC,BD=CD,AD=AD,ABDACD(SSS).注意:題目中的隱含條件是AD是公共邊.方法技巧證明三角形全等的書寫格式可分為三部分:第一部分是全等條件的證明;第二部分是羅列兩個三角形

41、全等的條件;第三部分是下三角形全等的結(jié)論.這里要求注明判定方法.三、作一個角等于已知角· 如圖所示,已知:AOB,求作:A'O'B',使A'O'B'=AOB.·作法:如圖所示,(1)作射線O'A'(2)以O(shè)為圓心,以任意長為半徑畫弧,交OA于點C,交OB于點D ;(3)以O(shè)'為圓心,以O(shè)C的長為半徑畫弧,交O'A'于點C'(4)以點C'為圓心,以CD的長為半徑畫弧,交前弧于點D'(5)過D'作射線O'B' 則A'O'B

42、9;就是所求作的角.作圖后學生討論:作一個角等于已知角的依據(jù)是什么?設(shè)計意圖讓學生運用“SSS”定理進行尺規(guī)作圖,同時體會作圖的合理性,增強作圖技能.如果兩個三角形的三邊對應(yīng)相等,那么這兩個三角形全等,稱為“邊邊邊”定理,利用兩三角形全等可進行一些相關(guān)計算和證明.1.如圖所示,在ABC中,AB=AC,BE=CE,則由“SSS”可以判定() A.ABDACDB.BDECDEC.ABEACED.以上都不對解析:AE為公共邊,AB=AC,BE=CE,則ABEACE(SSS).故選C.2.如圖所示,點B,C,D,E在一條直線上,且BC=DE,AC=FD,AE=FB,則BD=,ACE,理由是. 

43、;解析:BC=BD+CD,DE=EC+CD,BC=DE,BD=EC.又AC=FD,AE=FB,ACEFDB(SSS).答案:ECFDBSSS3.如圖所示,點B,E,C,F在一條直線上,AB=DE,BE=CF,請?zhí)砑右粋€條件:,使ABCDEF(SSS). 解析:添加AC=DF.BE=CF,BC=EF.在ABC和DEF中,AB=DE,BC=EF,AC=DF,ABCDEF(SSS).故填A(yù)C=DF.4.如圖所示,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD.求證B=D. 解析:連接AC,由于AB=AD,CB=CD,AC=AC,利用“SSS”可證得ABCADC,于是B=D.解:如圖所示,連接A

44、C,在ABC和ADC中,AB=AD,CB=CD,AC=AC,ABCADC(SSS),B=D.第1課時一、 探究三角形全等的條件二、探究運用“SSS”判定兩個三角形全等例1三、作一個角等于已知角一、教材作業(yè)【必做題】教材第37頁練習第1,2題.【選做題】教材第43頁習題12.2第1題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.如圖所示,已知點A,D,B,F在一條直線上,AC=EF,AD=FB,要使ABCFDE,還需添加一個條件,這個條件可以是.(只需填一個即可) 2.如圖所示,AC=DB,AB=DC,可以直接由“SSS”判定全等的三角形是. 3.如圖所示,已知AD=CB,若利用“SSS”來

45、判定ABCCDA,則添加直接條件是. 4.如圖所示,已知AB=DC,AD=BC.求證A=C. 5.如圖所示,PA=PB,PC是PAB的中線,A=55°,求B的度數(shù). 解:PC是AB邊上的中線,AC=(中線的定義). 在中, AC=BC,PC=PC,PA=PB,(), A=B().A=55°(已知),B=. 【能力提升】6.如圖所示,C是AB的中點,AD=BE,CD=CE. 求證A=B.7.如圖所示,在ABC和EFD中,AB=EF,AC=ED,點B,D,C,F在一條直線上. (1)請你添加一個條件,由“SSS”可判定ABCEF

46、D;(2)在(1)的基礎(chǔ)上,求證ABEF.【拓展探究】8.如圖(1)所示,AB=CD,AD=BC,O為AC中點,過O點的直線分別與AD,BC相交于點M,N,那么1與2有什么關(guān)系?請說明理由.若過O點的直線旋轉(zhuǎn)至圖(2),圖(3)的情況,其余條件不變,那么圖(1)中的1與2的關(guān)系還成立嗎?請說明理由.【答案與解析】1.BC=DE(解析:由AD=FB可得AB=DF,又AC=EF,BC=DE,ABCFDE(SSS).答案不唯一.)2.ABD和DCAABC和DCB(解析:可以直接由“SSS”判定全等的三角形是ABD和DCA,ABC和DCB.在ABD和DCA中,AD=AD,DB=AC,AB=CD,ABD

47、DCA(SSS).在ABC和DCB中,AB=DC,AC=DB,BC=CB,ABCDCB(SSS).)3.AB=CD(解析:要利用“SSS”判定兩三角形全等,現(xiàn)有AD=CB,AC=CA,則再添加AB=CD即滿足條件.故填A(yù)B=CD.)4.證明:連接BD,在ABD和CDB中,AB=DC,BD=DB,AD=BC,ABDCDB(SSS),A=C.5.BCACP和BCPACPBCPSSS全等三角形的對應(yīng)角相等55°6.解析:根據(jù)中點定義可得AC=BC,然后利用“SSS”證明ACD和BCE全等,再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等證明即可.證明:C是AB的中點,AC=BC.在ACD和BCE中,AC=BC,

48、AD=BE,CD=CE,ACDBCE(SSS),A=B.7.(1)解:當FC=BD時,ABCEFD.理由:FC=BD,FC+CD=BD+CD,即DF=BC.在ABC和EFD中,BC=DF,AB=EF,AC=ED,ABCEFD(SSS)(答案不唯一).(2)證明:由(1)知ABCEFD,B=F,ABEF.8.解:1與2相等.理由如下:在ADC和CBA中,AD=BC,CD=AB,AC=CA,ADCCBA(SSS),DAC=BCA,DABC,1=2.圖形(2)(3)中同理可證得ADCCBA,則DAC=BCA,DABC,1=2.教學中教師引導(dǎo)學生觀察、操作貫穿教學的始終,讓學生感受“邊邊邊”定理的得出

49、過程,并通過學生的自主交流,讓學生總結(jié)出“如果兩個三角形的三邊對應(yīng)相等,那么這兩個三角形全等”這一判定方法.通過畫一畫、動一動、剪一剪等方法,極大地調(diào)動了學生的好奇心和積極性,有利于學生對知識的掌握.1.沒能更大限度地給學生創(chuàng)造展示自己的空間,學生的思想的閃光點沒有得到充分體現(xiàn).2.對例題的講解沒有完全放手讓學生自己去解決和操作. 在課堂教學設(shè)計中,盡量為學生提供“做中學”的條件,不放過任何一個發(fā)展學生智力的契機,讓學生在“做”的過程中,借助已有的知識和方法主動探索新知識,擴大認知結(jié)構(gòu)、發(fā)展能力、完善人格,從而使課堂教學真正落實到學生的發(fā)展上.教學細節(jié)需進一步改進,教學時應(yīng)多關(guān)注學生.練習(教

50、材第37頁)1.證明:因為C是AB的中點,所以AC=CB.在ACD和CBE中,AC=CB,AD=CE,CD=BE,所以ACDCBE(SSS).2.解:在OMC和ONC中,OM=ON,OC=OC(公共邊),MC=NC,所以O(shè)MCONC(SSS),所以MOC=NOC,即射線OC是AOB的平分線.如圖所示,已知AC,BD相交于點O,且AB=DC,AC=BD,能得到A=D嗎?為什么? 解析要得到A=D,可證明它們所在的三角形全等,但缺少條件,所以不能直接得到,而AB=DC,AC=BD,若連接BC,則可證得ABCDCB,問題得解.解:A=D.理由如下:如圖所示,連接BC,在ABC和DCB中,AB=DC,

51、BC=CB,AC=DB,ABCDCB(SSS),A=D(全等三角形的對應(yīng)角相等).如圖所示,已知AB= DC,AC= BD.求證ABO=DCO. 解析BC是ABC和DCB的公共邊,直接利用“SSS”證全等.證明:在ABC與DCB中,AB=DC,AC=DB,BC=CB,ABCDCB(SSS),ABC=DCB,ACB=DBC,ABO=DCO.第課時1.掌握“邊角邊”定理的內(nèi)容.2.能初步應(yīng)用“邊角邊”判定兩個三角形全等.讓學生探索三角形全等的條件,體驗操作、歸納得出數(shù)學結(jié)論的過程.通過探究三角形全等的條件的活動,培養(yǎng)學生觀察分析圖形的能力及運算能力,培養(yǎng)學生樂于探索的良好品質(zhì),以及發(fā)現(xiàn)問題的能力.

52、【重點】“邊角邊”定理的理解和應(yīng)用.【難點】指導(dǎo)學生分析問題,尋找判定三角形全等的條件.【教師準備】多媒體課件,直尺、圓規(guī)和剪刀. 【學生準備】直尺、圓規(guī)和剪刀.導(dǎo)入一:【提出問題】(1)怎樣的兩個三角形是全等三角形?全等三角形的性質(zhì)是什么?三角形全等的判定方法“SSS”的內(nèi)容是什么?(2)如果兩個三角形有兩條邊和一個角分別對應(yīng)相等,那么這兩個三角形一定全等嗎?此時應(yīng)該有兩種情況,一種是角夾在兩條邊的中間,形成兩邊一夾角,一種是角不夾在兩邊的中間,形成兩邊一對角,如圖所示.設(shè)計意圖復(fù)舊導(dǎo)新,激發(fā)學生的學習興趣,為下面學習做好鋪墊,讓學生感知“兩邊一角”的兩種情況,建立分類討論的思想.導(dǎo)入二:如

53、圖所示,在湖泊的岸邊有A,B兩點,難以直接量出A,B兩點間的距離.你能設(shè)計一種量出A,B兩點之間距離的方案嗎?說明你的設(shè)計理由. 設(shè)計意圖這樣設(shè)計既交代了本節(jié)課要研究和學習的主要問題,將數(shù)學問題與實際生活相結(jié)合,又能較好地激發(fā)學生求知與探索的欲望.同時讓學生知道數(shù)學知識無處不在,應(yīng)用數(shù)學無時不有.符合“數(shù)學教學應(yīng)從生活經(jīng)驗出發(fā)”的新課程標準要求.導(dǎo)入三:某同學不小心把一塊三角形形狀的玻璃打碎成兩塊(如圖所示),現(xiàn)要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃.如果只準帶一塊碎片,那么應(yīng)該帶哪一塊去?能試著說明理由嗎? 利用今天要學的“邊角邊”知識可知帶黑色的那塊.因為它完整地保留了兩邊及其夾角,一個三角形兩

54、條邊的長度和夾角的大小確定了,這個三角形的形狀、大小就確定下來了.設(shè)計意圖通過現(xiàn)實生活中的實際問題,讓學生感受數(shù)學知識在生活中的應(yīng)用,從而產(chǎn)生探索知識的欲望,增強學生學習數(shù)學的興趣,樹立愛數(shù)學、學數(shù)學的良好情感.過渡語(導(dǎo)入一)剛才通過討論我們知道兩邊一角有兩種情況,首先我們先研究其中的兩邊一夾角.一、“邊角邊”定理的探究思路一1.先任意畫一個ABC,再畫一個A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,A'=A.(即兩邊和它們的夾角相等)點撥:要畫三角形,首先要確定三角形的三個頂點.解:如圖所示,(1)畫DA'E=A;

55、(2)在射線A'D上截取A'B'=AB,在射線A'E上截取A'C'=AC;(3)連接B'C'.肯定學生中好的畫法,并讓學生與教材中的畫法進行比較,確定正確的畫法.(進一步學習三角形的畫法,從實踐中體會兩個三角形全等的條件)2.引導(dǎo)學生剪下三角形,看是不是與原三角形全等.【得出結(jié)論】兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.簡寫成“邊角邊”或“SAS”.也就是說,三角形的兩條邊的長度和它們的夾角的大小確定了,這個三角形的形狀、大小就確定了.用符號語言表示為:在ABC與A'B'C'中,AC=A'C',A=A',AB=A'B',ABCA'B'C'(SAS).易錯提示“SAS”中的“A”必須是兩個“S”所夾的角.3.問題:如果把“兩邊及其夾角分別相等”改為“兩邊及其鄰角分別相等”,即“兩邊及其中一邊的對角相等”,那么這兩個三角形還全等嗎?根據(jù)學生的討論,教師應(yīng)該及時點撥,必要時可以畫反例圖形.通過反例說明“已知兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等”不一定成立.(讓學生了解推翻一個結(jié)論可以通過舉反例說明)思路二1.