多元數(shù)量值函數(shù)積分學(xué)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元數(shù)量值函數(shù)積分學(xué)多元數(shù)量值函數(shù)積分學(xué)積分積分 ,Dfx y d 在幾何上表示以在幾何上表示以xoy面上的閉區(qū)面上的閉區(qū)域域D為底，以過(guò)為底，以過(guò)D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面為側(cè)面，以曲面軸的柱面為側(cè)面，以曲面的體積的體積 .這樣的空間立體這樣的空間立體z=f(x,y)為頂?shù)囊豢臻g立體為頂?shù)囊豢臻g立體稱為稱為曲頂柱體曲頂柱體. zfx,y D第1頁(yè)/共41頁(yè)通過(guò)通過(guò)分割、作乘積分割、作乘積、求和、取極限，求和、取極限，可得曲頂柱體的體積可得曲頂柱體的體積01lim(,).niiiiVf xzyoD()zf x,y i ()ii, ,iiiivf

2、 ,Dfx y d ,iizf 第2頁(yè)/共41頁(yè)就是曲頂柱體的體積就是曲頂柱體的體積. 在在xoy平面的下方，二重積分的絕對(duì)值平面的下方，二重積分的絕對(duì)值 ,Dfx y d 就是柱體的體積就是柱體的體積, 但此時(shí)二重積分但此時(shí)二重積分 ,Dfx y d 的值的值是負(fù)的是負(fù)的. 而在其部分的區(qū)域是負(fù)的，則而在其部分的區(qū)域是負(fù)的，則 ,Dfx y d 就等于就等于這些部分區(qū)域上曲頂柱體體積的代數(shù)和這些部分區(qū)域上曲頂柱體體積的代數(shù)和.當(dāng)當(dāng)f (x,y) 0時(shí)，二重積分時(shí)，二重積分 ,Dfx y d 的幾何意義的幾何意義 ,Dfx y d 當(dāng)當(dāng)f (x,y) 為負(fù)時(shí)，柱體就為負(fù)時(shí)，柱體就如果如果f (

3、x,y) 在在D內(nèi)的某些部分區(qū)域是正的，內(nèi)的某些部分區(qū)域是正的，第3頁(yè)/共41頁(yè)二、直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算二、直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算首先討論二重積分首先討論二重積分 ,Dfx y d 中積分區(qū)域中積分區(qū)域D的表示法。的表示法。1. 如果積分區(qū)域如果積分區(qū)域D可以表示為：可以表示為： 12,.yxyyxDaxb 2( )yy x abD1( )yy x Dba2( )yyx 1( )yy x X型型 12,yxyxa b其中函數(shù)在上連續(xù).其中函數(shù)在上連續(xù).第4頁(yè)/共41頁(yè)X型型 X型區(qū)域的特點(diǎn)：型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)域且平行于y 軸的軸的Dba2( )yyx 1( )yy

4、x 2( )yyx abD1( )yy x 直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). .第5頁(yè)/共41頁(yè)2. 如果積分區(qū)域如果積分區(qū)域D為為：Y型型 12,.xyxxyDcyd 12,xyxyc d其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).第6頁(yè)/共41頁(yè)Y型型 Y型區(qū)域的特點(diǎn)：型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). .第7頁(yè)/共41頁(yè)下面我們通過(guò)曲頂柱體體積的計(jì)算來(lái)說(shuō)明二重積分下面我們通過(guò)曲頂柱體體積的計(jì)算來(lái)說(shuō)明二重積分 ,Dfx y d 化為二次積分的方法，化為二次積分的方法，在

5、在a,b上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)x0 作平行于作平行于yoz面面的平面的平面x=x0此平面此平面截曲頂柱體所得截截曲頂柱體所得截在討論中，假定在討論中，假定f (x,y) 0， D為為X-型型. 面是一個(gè)以區(qū)間面是一個(gè)以區(qū)間第8頁(yè)/共41頁(yè)y1(x0), y2(x0)為底邊，以曲線為底邊，以曲線z=f (x0 , y)為曲邊為曲邊的曲邊梯形，此截面面積為的曲邊梯形，此截面面積為 201000,.yxyxA xfxy dy x且平行且平行yoz面的平面的平面截曲頂柱體所得面截曲頂柱體所得截面面積為截面面積為 21,.yxyxA xfx y dy 任取任取x a,b，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 第9頁(yè)/共41頁(yè)應(yīng)用定

6、積分中計(jì)算應(yīng)用定積分中計(jì)算“已知平行截面面積的立體已知平行截面面積的立體體積體積”的方法，得到的方法，得到 21,bbyxaayxA x dxfx y dy dx 這個(gè)體積的值，就是二重積分這個(gè)體積的值，就是二重積分 ,Dfx y d 的值。的值。因此，二重積分因此，二重積分 ,Dfx y d 21.,byxayxfx y dy dx 第10頁(yè)/共41頁(yè) ,Dfx y d 21.,byxayxfx y dy dx 上式右端的積分稱為上式右端的積分稱為先對(duì)先對(duì)y后對(duì)后對(duì)x的二次積分，的二次積分，其中括號(hào)內(nèi)的積分其中括號(hào)內(nèi)的積分 21,yxyxfx y dy 是將是將x看作常數(shù)看作常數(shù)，把把y 看

7、作變量對(duì)看作變量對(duì)y 積分，其積分結(jié)果是積分，其積分結(jié)果是x的函數(shù)，的函數(shù)，再對(duì)再對(duì)x計(jì)算在區(qū)間計(jì)算在區(qū)間a,b上的定積分。上的定積分。第11頁(yè)/共41頁(yè)先對(duì)先對(duì)y后對(duì)后對(duì)x的二次積分通常又記為：的二次積分通常又記為：( , )( , )DDf x y df x y dxdy 21( )( )( , ).byxayxdxf x y dy 確定積分順序時(shí)，應(yīng)注意積分區(qū)域確定積分順序時(shí)，應(yīng)注意積分區(qū)域D為為X-型的特點(diǎn)型的特點(diǎn)：X型型第12頁(yè)/共41頁(yè)( , )( , )DDf x y df x y dxdy 21( )( )( , ).byxayxdxf x y dy 類似地，當(dāng)積分區(qū)域類似地，

8、當(dāng)積分區(qū)域D為為Y-型時(shí)，可得公式：型時(shí)，可得公式：( , )( , )DDf x y df x y dxdy 21( )( )( , ).dxycxydyf x y dx 確定積分順序時(shí)，應(yīng)注意積分區(qū)域確定積分順序時(shí)，應(yīng)注意積分區(qū)域D為為Y-型的特點(diǎn)型的特點(diǎn)：Y型型注注 上面的公式當(dāng)上面的公式當(dāng)f (x,y) 0不滿足時(shí)，公式亦成立不滿足時(shí)，公式亦成立. 第13頁(yè)/共41頁(yè)注注1 當(dāng)積分區(qū)域當(dāng)積分區(qū)域D既是既是X-型又是型又是Y-型區(qū)域型區(qū)域 時(shí)，時(shí)，上述兩個(gè)不同順序的二次積分的值相等上述兩個(gè)不同順序的二次積分的值相等. 即即( , )Df x y dxdy 21( )( )( , )byx

9、ayxdxf x y dy 21( )( )( , ).dxycxydyf x y dx 注注2 如果積分區(qū)域如果積分區(qū)域D既不是既不是X-型又不是型又不是Y-型，則可型，則可將將D分成幾部分，使得每個(gè)部分是分成幾部分，使得每個(gè)部分是X-型或型或Y-型。型。123( , ).DDDDf x y d 1D2D3D第14頁(yè)/共41頁(yè)解解22(0 0)(1 1),yx,xy 2()Dxy dxdy 2120()xxdxxy dy122401()()2xxxxxdx 33140. 例例1 求求 ，其中其中 是由拋物是由拋物線線2()Dxy dxdy D2yx 2xy 和和 所圍平面閉區(qū)域所圍平面閉區(qū)域

10、. .兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn) 2xy 第15頁(yè)/共41頁(yè)22,Dxy dDyxyx 例2.計(jì)算其中 是由與例2.計(jì)算其中 是由與圍成閉區(qū)域.圍成閉區(qū)域.解解 先畫(huà)出積分區(qū)域先畫(huà)出積分區(qū)域D. (1) 先對(duì)先對(duì)y后對(duì)后對(duì)x的二次積分，的二次積分，D應(yīng)表示為應(yīng)表示為：2,01.xyxDx 2Dxy dxdy 213013yxy xxydx 136013x xx dx 140 它既是它既是X-型，又是型，又是Y-型型.2120 xxdxxy dy第16頁(yè)/共41頁(yè)(2) 將將D作為作為Y-型區(qū)域，型區(qū)域，D可表示為可表示為：,01.yxyDy 1xy x=y2Dxy dxdy 120yydyxy

11、dx 122012xyxyyxdy 122011.240yyydy 第17頁(yè)/共41頁(yè)223.,2Dy dDyxxy 例 計(jì)算其中 是由與拋物線圍成.例 計(jì)算其中 是由與拋物線圍成. 解解 (1)首先畫(huà)出積分區(qū)域首先畫(huà)出積分區(qū)域D，作先對(duì)作先對(duì)x 后對(duì)后對(duì)y 的二次積分的二次積分.22,12.yxyDy 2Dy d 22212yyydy 63.20 22212yydyy dx 第18頁(yè)/共41頁(yè)D1D2（2）作先對(duì)）作先對(duì)y后對(duì)后對(duì)x 的二次積分的二次積分. 因?yàn)樵谝驗(yàn)樵?2,-1和和-1，2上邊界曲線上邊界曲線y(x)表達(dá)式不同，表達(dá)式不同，必須有直線必須有直線x=-1將將D分成分成D1和和

12、D2兩部分，其中兩部分，其中122,21.xyxDx 22,12.xyxDx 2Dy d 1222DDy dy d 12222xxdxy dy 2221xxdxy dy 6320 第19頁(yè)/共41頁(yè)注注1 在二重積分中適當(dāng)選擇積分秩序，積分可以簡(jiǎn)化在二重積分中適當(dāng)選擇積分秩序，積分可以簡(jiǎn)化.21104.xydyedx 例計(jì)算積分例計(jì)算積分解解 由于積分由于積分2xedx 無(wú)法用初等函數(shù)表示出來(lái)無(wú)法用初等函數(shù)表示出來(lái)，所以該積分不能采用先對(duì)所以該積分不能采用先對(duì)x 后對(duì)后對(duì)y的積分順序的積分順序.現(xiàn)改為先對(duì)現(xiàn)改為先對(duì)y 后對(duì)后對(duì)x 的積分的積分.首先，根據(jù)所給積分確定首先，根據(jù)所給積分確定積分區(qū)

13、域積分區(qū)域1,01.yxDy 第20頁(yè)/共41頁(yè)改變積分順序時(shí)，將改變積分順序時(shí)，將D表示為：表示為：0,01.yxDx 所以所以22111000 xxxydyedxdxedy 21011.2xxedxe 注注2 在二重積分中適當(dāng)選擇積分先后秩序，在二重積分中適當(dāng)選擇積分先后秩序，對(duì)某些積分可以解決對(duì)某些積分可以解決“積得出來(lái)積得出來(lái)”與與“積不出來(lái)積不出來(lái)”的的問(wèn)題。問(wèn)題。第21頁(yè)/共41頁(yè)1yxxy11解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖例例5 改變改變積分積分 的次序的次序. . 1100()xdxf x,y dy 原式原式1100()ydyf x,y dx 第22頁(yè)/共41頁(yè)11解解積分區(qū)域如

14、圖積分區(qū)域如圖212220010()()x xxdxf x,y dydxf x,y dy 原式原式212011()yydyf x,y dx 6例改變積分次序例改變積分次序第23頁(yè)/共41頁(yè)解解22(0 0)(1 1)yx,xy 2()Dxy dxdy 2120()xxdxxy dy122401()()2xxxxxdx 33140. 例例7 求求 ，其中，其中 是由拋物線是由拋物線2()Dxy dxdy D2yx 2xy 和和 所圍平面閉區(qū)域所圍平面閉區(qū)域. .兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn) 第24頁(yè)/共41頁(yè)例例8 求由柱面求由柱面x2+y2=R2及及x2+z2=R2所圍成的立體體積所圍成的立體體積

15、.解解 由對(duì)稱性知，其體積為由對(duì)稱性知，其體積為第一卦限部分的第一卦限部分的8倍倍.220,0.yRxDxR 228DVRx d 2222008RRxdxRx dy 2208RRxdx 3163R 第25頁(yè)/共41頁(yè)解解01xy,xyxy,1100()xdxxyxy dy 1301 (1)(1) 2xxxdx 724. 例例9 求由下列曲面所圍成的立體體積求由下列曲面所圍成的立體體積, ,zxy,zxy, 1xy,0 x, 0y. 所圍立體在所圍立體在 面上的投影是面上的投影是 xoy所求體積所求體積()DVxyxy d 第26頁(yè)/共41頁(yè)y=x2-11例例1010解解. 10, 11:.2

16、yxDdxyD其中其中計(jì)算計(jì)算 先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖2Dyx d 2211122101()()xxdxxy dydxyxdy11.15 12322()()DDDxy dyx d 第27頁(yè)/共41頁(yè)三、在極坐標(biāo)系中的計(jì)算三、在極坐標(biāo)系中的計(jì)算由二重積分的定義可知由二重積分的定義可知； 01,lim(,).niiiiDfx y df 現(xiàn)在用一族同心圓現(xiàn)在用一族同心圓r=常數(shù)以及從極點(diǎn)出發(fā)的一族常數(shù)以及從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線射線 常數(shù)將常數(shù)將D劃分為任意的劃分為任意的n個(gè)小閉區(qū)域。個(gè)小閉區(qū)域。小閉區(qū)域的面積小閉區(qū)域的面積i 為：為：第28頁(yè)/共41頁(yè)2211()22iiiiii

17、rrr 21,2iiiiirrr ，iir 當(dāng)與充分小時(shí)不當(dāng)與充分小時(shí)不計(jì)一個(gè)更高階的無(wú)窮小計(jì)一個(gè)更高階的無(wú)窮小 21，2iir 量有量有.iiiir r cos ,sin .xryr 又又第29頁(yè)/共41頁(yè) 1(,)cos, sin.nniiiiiiiiiiiiff rrr r 設(shè)設(shè) f (x,y)在在D上連續(xù)，所以二重積分存在，上連續(xù)，所以二重積分存在，上式兩端令上式兩端令0,： 取極限, 得取極限, 得( , )( cos , sin ).DDf x y dxdyf rrrdrd 這就是直角坐標(biāo)系的二重積分變換到極坐標(biāo)系的這就是直角坐標(biāo)系的二重積分變換到極坐標(biāo)系的二重積分的公式。二重積分

18、的公式。.ddxdyrdrd注: 面積元素注: 面積元素第30頁(yè)/共41頁(yè)下面研究在極坐標(biāo)系中，二重積分化為二次積分下面研究在極坐標(biāo)系中，二重積分化為二次積分。1 極點(diǎn)在積分區(qū)域極點(diǎn)在積分區(qū)域D的外部時(shí)的外部時(shí)21( )( )( cos , sin ).rrdf rrrdr ( cossin )Df r,rrdrd 12,( )( ).Drrr 1rr 2rr 第31頁(yè)/共41頁(yè)2 極點(diǎn)在積分區(qū)域極點(diǎn)在積分區(qū)域D的內(nèi)部時(shí)的內(nèi)部時(shí)( cossin )Df r,rrdrd 2( )00( cos , sin ).rdf rrrdr 02 ,0( ).Drr 第32頁(yè)/共41頁(yè)3 極點(diǎn)在積分區(qū)域極點(diǎn)

19、在積分區(qū)域D的邊界時(shí)的邊界時(shí)( )0( cos , sin ).rdf rrrdr ,0( ).Drr ( cos , sin )Df rrrdrd 極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積.Drdrd 第33頁(yè)/共41頁(yè)r=aroD解解在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 D：ar 0， 20. 22xyDedxdy 2200arderdr 2(1).ae 注注: : 極坐標(biāo)系下能解決直角坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下能解決直角坐標(biāo)系下某些某些“積不出來(lái)積不出來(lái)”的二重積分的二重積分. .例例1 計(jì)算計(jì)算 ，其中其中D 是由中心在原點(diǎn)是由中心在原點(diǎn)，22xyDedxdy 半徑為半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域的圓周所圍成的閉區(qū)域.第34頁(yè)/共41頁(yè)xyz例例2 求圓柱體求圓柱體 220 xyRx R2222xyzR被球面被球面 所割下的立體 稱為維維安尼所割下的立體 稱為維維安尼 Viviani體 體積.體 體積.解解 由于所求立體關(guān)于由于所求立體關(guān)于xoy面、面、zox面對(duì)稱，其體面對(duì)稱，其體積積為第一卦為第一卦 限部分體積的限部分體積的4倍倍。 第一卦限部分是一個(gè)曲頂柱第一卦限部分是一個(gè)曲頂柱體，其頂為上半球面體，其頂為上半球面222,zRxy第35頁(yè)/共41頁(yè)22,0.xyRxDy 0cos ,0.2rRD 2224