多元函數(shù)的極值與最值PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值與最值實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶賣每瓶賣 元，則每天可賣出元，則每天可賣出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁汁問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可取得最大利潤？可取得最大利潤？xyyx4570 yx7680 每天的利潤為每天的利潤為 ),(yxf)7680)(2

2、. 1()4570)(1(yxyyxx 求最大利潤即為求二元函數(shù)的最大值求最大利潤即為求二元函數(shù)的最大值.第1頁/共32頁的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 播放播放第2頁/共32頁1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. .使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). .第3頁/共32頁例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 第4頁/共32頁定理定理 1 1（

3、必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件不妨設(shè)不妨設(shè)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極大值處有極大值,則則對對于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,證證第5頁/共32頁故故當(dāng)當(dāng)0yy ，0 xx 時(shí)時(shí)，有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元

4、函數(shù)說明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx;類類似似地地可可證證 0),(00 yxfy.推廣推廣 如果三元函數(shù)如果三元函數(shù)),(zyxfu 在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在),(000zyxP有極值的必要條有極值的必要條件為件為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.第6頁/共32頁例如例如, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點(diǎn)，的駐點(diǎn)，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn). 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)同時(shí)為為零的點(diǎn)，均

5、稱為函數(shù)的零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn).駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意注意：對于偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)第7頁/共32頁又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，定理定理 2 2（充分條件）（充分條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，第8頁/共32頁222()(2)02()(2)0 xyfaxbyyfbyaxx( , )(0,0)(0

6、,2 )(2 ,0)(2 ,2 )a bbaab22(2)xxfbyy 4()()xyfax by22(2)yyfaxx 2(2)(2)0zaxxbyyab、且第9頁/共32頁2( , )20 xxAfa bb( , )0 xyBfa b2( , )20yyCfa ba22240BAa bC22maxx ay bzza b第10頁/共32頁22204160ACBabBACa b第11頁/共32頁求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn)求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn).第二步第二步 對于每一個(gè)駐點(diǎn)對于每

7、一個(gè)駐點(diǎn)),(00yx，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 A、B、C.第12頁/共32頁求最值的一般方法求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值大者即為最大值，最小者即為最小值. . 若若D D內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則必為最值點(diǎn)。內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則必為最值點(diǎn)。 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的

8、最值第13頁/共32頁0064440(,)(40,24)48320 xyLxyx yLxymax(40,24)1650LL( (x x0 0,y,y0 0)=(40,24)=(40,24)為極大值點(diǎn)，就為極大值點(diǎn)，就 是最大值點(diǎn)。是最大值點(diǎn)。(40,24)440 xxxxLAL(40,244)4xyxyBLL8(40,24)8yyyyLCL 20016BACA第14頁/共32頁, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))21,21(和和)21,21( ,解解 由由第15頁/共32頁即邊界上的值為零即邊界上的值為零.,

9、21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值為所以最大值為21，最小值為，最小值為21 .因?yàn)橐驗(yàn)?1lim22 yxyxyx無條件極值無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件外，并無其他條件.第16頁/共32頁實(shí)例：實(shí)例： 小王有小王有200元錢，他決定用來購買兩元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買購買 張磁盤，張磁盤， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效用函數(shù)為，效用函數(shù)為 設(shè)每張?jiān)O(shè)每張磁盤磁盤8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問他如何分配這元，問他如何分配這

10、200元以達(dá)到最佳效果元以達(dá)到最佳效果xyyxyxUlnln),( 問題的實(shí)質(zhì)：求問題的實(shí)質(zhì)：求 在在條件條件 下的極值點(diǎn)下的極值點(diǎn)yxyxUlnln),( 200108 yx第17頁/共32頁條件極值條件極值：對自變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值第18頁/共32頁解解223323020012xyzLx y zLx yzLx yLxyz 解解得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))2 , 4 , 6(，.691224623max u則則故最大值為故最大值為第19頁/共32頁第20頁/共32頁 例例6 設(shè)某工廠生產(chǎn)設(shè)某工廠生產(chǎn)A A和和B B兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別 為為x x和和y y

11、（單位：千件），利潤函數(shù)為單位：千件），利潤函數(shù)為22( , )61642L x yxxyy（單位：萬元）單位：萬元） 已知生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品時(shí)，每千件產(chǎn)品均已知生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品時(shí)，每千件產(chǎn)品均 需消耗某種原料需消耗某種原料20002000公斤，現(xiàn)有該原料公斤，現(xiàn)有該原料 12000 12000公斤，問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少千公斤，問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少千 件時(shí)，總利潤最大？最大利潤為多少？件時(shí)，總利潤最大？最大利潤為多少？第21頁/共32頁120006200022( , , )(61642)(6)F x yxxyyxy6201.616803.82.260 xyFxFyxyFxy這樣，這樣，問題就是：問題

12、就是：在在x+y=6的條件下，求的條件下，求 L(x,y)的最大值的最大值。 當(dāng)當(dāng) x0=3.8（千件），千件），y0=2.2（千件）時(shí)千件）時(shí),總利潤最大，總利潤最大， 最大利潤為最大利潤為 L(3.8, 2.2) = 36.72（萬元）萬元）第22頁/共32頁的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值第23頁/共32頁的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值第24頁/共32頁的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值第25頁/共32頁的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值第26頁/共32頁的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值第27頁/共32