多元函數(shù)微分法及其應用6PPT學習教案

1、會計學1多元函數(shù)微分法及其應用多元函數(shù)微分法及其應用6的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、二元函數(shù)極值的概念一、二元函數(shù)極值的概念第1頁/共25頁1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義第2頁/共25頁(1)(2)(3)1.1.處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz . .處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz . .處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 例如例如: :第3頁/共25頁定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設函數(shù)設函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx具有偏導數(shù)，且具有偏導數(shù)，且在點在點),(

2、00yx處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件推廣推廣 如果三元函數(shù)如果三元函數(shù)),(zyxfu 在點在點),(000zyxP具有偏導數(shù)，則它在具有偏導數(shù)，則它在),(000zyxP有極值的必要條有極值的必要條件為件為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.第4頁/共25頁例如例如, 點點)0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點，的駐點，但但不不是是極極值值點點. 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導數(shù)同時

3、為仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的零的點，均稱為函數(shù)的駐點駐點.問題：如何判定一個駐點是否為極值點？問題：如何判定一個駐點是否為極值點？定理定理 2 2（充分條件）（充分條件）設函數(shù)設函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域內連續(xù)，的某鄰域內連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，第5頁/共25頁又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，第6頁/共25頁第7頁/共25頁第8頁/共25頁求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步

4、驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實數(shù)解，得駐點求出實數(shù)解，得駐點.第二步第二步 對于每一個駐點對于每一個駐點),(00yx，求出二階偏導數(shù)的值求出二階偏導數(shù)的值 A、B、C.第9頁/共25頁求最值的一般方法求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內的所有駐點處的函數(shù)值及在內的所有駐點處的函數(shù)值及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值大者即為最大值，最小者即為最小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最

5、小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值.二、二元函數(shù)的最值二、二元函數(shù)的最值第10頁/共25頁第11頁/共25頁第12頁/共25頁第13頁/共25頁第14頁/共25頁第15頁/共25頁第16頁/共25頁第17頁/共25頁第18頁/共25頁解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一駐駐點點)2 , 4 , 6(，.691224623max u則則故最大值為故最大值為第19頁/共25頁第20頁/共25頁第21頁/共25頁多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值第22頁/共25頁思考題思考題 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx點均取得點均取得極值， 則極值， 則),(yxf在點在點),(00yx是否也取得極值？是否也取得極值？第23頁/共25頁思考題解答思考題解答不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,當當0 x時時，2), 0(yyf 在在)0 ,