多元函數(shù)全微分PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元函數(shù)全微分多元函數(shù)全微分 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)有定義，并設(shè)),(yyxxP 為這鄰域內(nèi)為這鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則稱(chēng)這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差的任意一點(diǎn)，則稱(chēng)這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差 ),(),(yxfyyxxf 為函數(shù)在點(diǎn)為函數(shù)在點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)于自變量改變量對(duì)應(yīng)于自變量改變量yx ,的的全全改變量（全增量）改變量（全增量），記為記為z 全改變量的概念全改變量的概念 即即 z =),(),(yxfyyxxf 第1頁(yè)/共33頁(yè)0 x0yx y yx yxyxxyyxyyxxyxfyyxxfzyxxyyxfzyx 000000000000)()

2、,(),(),(.),(,的改變量為的改變量為矩形面積在點(diǎn)矩形面積在點(diǎn)則面積為則面積為例如：設(shè)矩形邊長(zhǎng)例如：設(shè)矩形邊長(zhǎng)000000),(,),(xyxfyyxfyx 線(xiàn)性主要部分)()(22yxo第2頁(yè)/共33頁(yè)可可表表示示為為的的全全改改變變量量在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù)),(),(),(),(000000yxfyyxxfzyxyxfz )( oyBxAz ,有關(guān)有關(guān)而僅與而僅與不依賴(lài)于不依賴(lài)于其中其中yxyxBA 即即記為記為,dzyBxAdzyx ),(00 oxyx y ),(),(,),(),(0000yxyxfzyBxAyxyxfz在點(diǎn)在點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)可微分可微分在點(diǎn)在點(diǎn)則稱(chēng)函數(shù)

3、則稱(chēng)函數(shù) .全微分全微分22)()(yx第3頁(yè)/共33頁(yè) 函函數(shù)數(shù)若若在在某某區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)各各點(diǎn)點(diǎn)處處處處可可微微分分，則則稱(chēng)稱(chēng)這這函函數(shù)數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)可可微微分分.y=f(x)在某點(diǎn)處：在某點(diǎn)處： 可導(dǎo)可導(dǎo) 可微連續(xù)可微連續(xù)z=f(x,y)在某點(diǎn)處：在某點(diǎn)處：可偏導(dǎo)可偏導(dǎo) 可微分連可微分連續(xù)續(xù)連續(xù)連續(xù)第4頁(yè)/共33頁(yè) 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx可可微微分分, 則則函函數(shù)數(shù)在在該該點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù).證：證： 事實(shí)上事實(shí)上),( oyBxAz , 0),(),(limlim0000000 yxfyyxxfzyx 即即),(lim0000yyxxfyx ),(00yxf

4、 故函數(shù)故函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處連續(xù)處連續(xù).1定定理理 22yx . 0, 0, 0, 0)(limlim00 yxoyBxAz 第5頁(yè)/共33頁(yè)yyxfxyxfdzyxfyxfyxfzyxyxfzyxyxyx ),(),( ),( ),(),( ,),(20000),(00000000 存存在在，且且的的兩兩個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)則則函函數(shù)數(shù)）可可微微分分，在在點(diǎn)點(diǎn)（：如如果果函函數(shù)數(shù)定定理理),(),(0000yxfByxfAoyBxAzyx ，）即可微分定義中即可微分定義中 第6頁(yè)/共33頁(yè)證：證：如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yxP可可微微分分, 2

5、20000 ),( ),(),(yxoyBxAyxfyyxxfz 當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)時(shí)，上上式式仍仍成成立立，此時(shí)此時(shí)| x ,),(),(0000yxfyxxf |),(| xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim00000),(00yxfAx 同理可得同理可得).,(00yxfBy 第7頁(yè)/共33頁(yè)y=f(x)在某點(diǎn)處：在某點(diǎn)處： 可導(dǎo)可導(dǎo) 可微可微z=f(x,y)在某點(diǎn)處：在某點(diǎn)處： 可偏導(dǎo)可偏導(dǎo) 可微分可微分例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf第8頁(yè)/共33頁(yè))0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 則則2222)()()()(y

6、xyxyxyx),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 第9頁(yè)/共33頁(yè)說(shuō)明說(shuō)明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全 微分存在，微分存在，證：證：),(),(0000yxfyyxxfz ),(),(0000yyxfyyxxf ),(),(0000yxfyyxf. ),( ,),(),( ),( ),(30000可可微微分分在在點(diǎn)點(diǎn)則則函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：如如果果函函數(shù)數(shù)定定理理yxfyxyxfyxfyxfzyx 第10頁(yè)/共33頁(yè)),(),(0000yyxfyyxxf xyyxxfx ),(010 )10(1 xxyxfx

7、100),( （依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）且且當(dāng)當(dāng)0, 0 yx時(shí)時(shí)，01 .同理同理),(),(0000yxfyyxf ,),(200yyyxfy ),(),(lim000000yxfyyxxfxxyx 100010),(),( yxfyyxxfxx且且當(dāng)當(dāng)0, 0 yx時(shí)時(shí)，02 .（無(wú)窮?。o(wú)窮?。┑?1頁(yè)/共33頁(yè)xxyxfx 100),( yyyxfy 200),( z 212121 yxyx, 00 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處可可微微 22yx . 0, 0, 0yx 全微分記為全微分記為注：習(xí)慣上記注：習(xí)慣上記,dyydxx yyxfxy

8、xfdzyx),(),(上的全微分記為上的全微分記為在區(qū)域在區(qū)域上可微，函數(shù)上可微，函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)）都可微，）都可微，上每一點(diǎn)（上每一點(diǎn)（在定義域在定義域如果函數(shù)如果函數(shù)DfDfyxDyxfz,),( dyyxfdxyxfdzyxyx),(),( 0000),(00 .dyyzdxxzdz 或或第12頁(yè)/共33頁(yè).dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元函數(shù)全微分的定義可推廣到三元函數(shù):.),(dzzudyyudxxuduzyxfu 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱(chēng)為二元函數(shù)的微分符合微分之和這件事稱(chēng)為二元

9、函數(shù)的微分符合疊加原理也適用于疊加原理也適用于n元函數(shù)的情況元函數(shù)的情況:nxxxndxfdxfdxfduxxxfun 212121),(第13頁(yè)/共33頁(yè)例例 1 1 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)xyez 在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 2(處的全微分處的全微分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分第14頁(yè)/共33頁(yè)例例 2 2 求函數(shù)求函數(shù))2cos(yxyz ，當(dāng)，當(dāng)4 x， y，4 dx， dy時(shí)的全微分時(shí)的全微分. 解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4

10、(),4(),4( ).74(82 第15頁(yè)/共33頁(yè)例例 3 3 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)yzeyxu 2sin的全微分的全微分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 第16頁(yè)/共33頁(yè)例例4 4 試證函數(shù)試證函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf 在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(1)連續(xù)連續(xù); (2)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在; (3)偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(不連續(xù)不連續(xù); (4)f在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(可微可微. 思路思路：按有關(guān)定義討論；對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)

11、需分：按有關(guān)定義討論；對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx討論討論. 第17頁(yè)/共33頁(yè)證證則則22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 0 ),0 , 0(f 故故函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn))0 , 0(連續(xù)連續(xù), )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf 0211sin0,0,2222 yxyxxyyxxy(1)(2)第18頁(yè)/共33頁(yè)當(dāng)當(dāng))0 , 0(),( yx時(shí)，時(shí)， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)),(yxP沿沿直直線(xiàn)線(xiàn)xy

12、 趨趨于于)0 , 0(時(shí)時(shí),),(lim)0 , 0(),(yxfxxx ,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.(3)所以所以),(yxfx 在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù). 第19頁(yè)/共33頁(yè))0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(可微可微 . 0)0,0( df(4)第20頁(yè)/共33頁(yè)多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)第21頁(yè)/共33頁(yè)都較小時(shí)，有近似等式都較小時(shí)，有近似等式連續(xù)，且

13、連續(xù)，且個(gè)偏導(dǎo)數(shù)個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的兩的兩在點(diǎn)在點(diǎn)當(dāng)二元函數(shù)當(dāng)二元函數(shù)yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(00.),(),(0000yyxfxyxfdzzyx 也可寫(xiě)成也可寫(xiě)成).)(,()(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx ),(),(0000yxfyyxxfz yyxfxyxfyxfyyxxfyx ),(),(),(),(00000000 00,yyyxxx 令令第22頁(yè)/共33頁(yè).cm, 4 cm, 20 cm, 1 . 0 值值求容器外殼體積的近似求容器外殼體積的近似半徑為半徑為內(nèi)內(nèi)內(nèi)高為內(nèi)高為外殼厚度均為外殼厚度均為容器，容器的容器

14、，容器的例：有一無(wú)蓋的圓柱形例：有一無(wú)蓋的圓柱形解：設(shè)圓柱形容器的半徑為解：設(shè)圓柱形容器的半徑為r,高為高為h，hrV2 外殼體積可看作容器體積外殼體積可看作容器體積V在在r=4,h=20時(shí)，時(shí)，.1 . 0分分近近似似計(jì)計(jì)算算時(shí)時(shí)的的全全增增量量，可可用用全全微微 hr連連續(xù)續(xù)，2,2rhVrhrV hrrrhhhVrrVdVV 22 )cm(6 .171 . 041 . 0204232 則圓錐體的體積為則圓錐體的體積為第23頁(yè)/共33頁(yè)例例4.)99. 1()02. 2(322的近似值的近似值計(jì)算計(jì)算 .01. 002. 0)2 , 2(),()99. 1()02. 2(,),(:3223

15、22時(shí)的函數(shù)值時(shí)的函數(shù)值、處、自變量有增量處、自變量有增量在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)可看作可看作則則設(shè)設(shè)解解 yxyxfyxyxf,0)(32),(,)(32),(2232223222上上處處處處連連續(xù)續(xù)在在 yxyxyyxfyxxyxfyx,31)2 , 2(,31)(32)2 , 2()2,2(3222 yxfyxxf第24頁(yè)/共33頁(yè))01. 0()2 , 2(02. 0)2 , 2()2 , 2()99. 1 ,02. 2( yxffff0033. 201. 03102. 0312 .0033. 2)99. 1()02. 2(322 即即第25頁(yè)/共33頁(yè)例例 5 5 計(jì)算計(jì)算02. 2)04.

16、 1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 ).)(,()(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx 第26頁(yè)/共33頁(yè)多元函數(shù)全微分的概念；多元函數(shù)全微分的概念；多元函數(shù)全微分的求法；多元函數(shù)全微分的求法；多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)

17、別）（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）第27頁(yè)/共33頁(yè)思考題思考題第28頁(yè)/共33頁(yè)一、一、 填空題填空題: :1 1、 設(shè)設(shè)xyez , ,則則 xz_； yz_； dz_._.2 2、 若若)ln(222zyxu , ,則則 du_._.3 3、 若函數(shù)若函數(shù)xyz , ,當(dāng)當(dāng)1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx時(shí)時(shí), ,函數(shù)的全增量函數(shù)的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、 若 函 數(shù)若 函 數(shù)yxxyz , , 則則xz對(duì)對(duì)的 偏 增 量的 偏 增 量 zx_;_; xzxx0lim _. _.第29頁(yè)/共33頁(yè)二、二、 求函數(shù)求函數(shù))1ln(22yxz 當(dāng)

18、當(dāng), 1 x 2 y時(shí)的全微分時(shí)的全微分. .三、三、 計(jì)算計(jì)算33)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 設(shè)有一無(wú)蓋園柱形容器設(shè)有一無(wú)蓋園柱形容器, ,容器的壁與底的厚度均為容器的壁與底的厚度均為cm1 . 0，內(nèi)高為，內(nèi)高為cm20, ,內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為cm4, ,求容器外殼體求容器外殼體積的近似值積的近似值. .五、五、 測(cè)得一塊三角形土地的兩邊邊長(zhǎng)分別為測(cè)得一塊三角形土地的兩邊邊長(zhǎng)分別為m1 . 063 和和m1 . 078 , ,這兩邊的夾角為這兩邊的夾角為0160 . .試求三角形面積試求三角形面積的近似值的近似值, ,并求其絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差并求其絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差. .六六、利利用用全全微微分分證證明明: :乘乘積積的的相相對(duì)對(duì)誤誤差差等等于于各各因因子子的的相相對(duì)對(duì)誤誤差差之之和和; ;商商的的相相對(duì)對(duì)誤誤差差等等于于被被除除數(shù)數(shù)及及除除數(shù)數(shù)的的相相對(duì)對(duì)誤誤差差之之和和. .第30頁(yè)/共33頁(yè)七、求函數(shù)七、求函數(shù) ),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), ,并研究在點(diǎn)并研究在點(diǎn))0 , 0(處偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及處偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及 函數(shù)函數(shù)),(yx