數(shù)值實驗報告-實驗三

數(shù)值實驗報告實驗題三數(shù)值實驗報告實驗題三實驗3.1多項式插值的振蕩現(xiàn)象3.1.1問題提出考慮一個固定區(qū)間上用插值逼近一個函數(shù)。顯然拉格朗日插值中使用的節(jié)點越多，插值多項式的次數(shù)就越高。我們自然關心插值多項式的次數(shù)增加時，是否也更加靠近被逼近的函數(shù)。龍格（Runge）給出的一個例子是極著名并富有啟發(fā)性的。設區(qū)間[-1,1]上函數(shù) 考慮的一個等距劃分，分點為 則拉格朗日插值多項式為 其中是次拉格朗日插值基函數(shù)。3.1.2實驗內容3.1.2.1第一小題選擇不斷增大的分點數(shù)目，畫出原函數(shù)及插值多項式函數(shù)在上的圖像，比較并分析實驗結果。（1）MATLAB代碼程序3.1.1：拉格朗日插值公式函數(shù)lag_interp.mfunctionf_n=lag_interp(xn,yn,x0)%LagrangeInterpolation%%Type1:y=lag_interp(xn,yn,x0)%Ifxisinput,thenthefunctionreturnsanumericalvalueLn(x0),which%isequaltovpa(subs(lag_interp(xn,yn),x,x0)).%%Type2:y=lag_interp(xn,yn)%Ifxisnotinput,thethefunctionreturnsansymbolicfunctionLn(x).%Safeguardsforinputarguments[dim1,dim]=size(xn);ifdim1~=1error('xnmustbealinevector.')endifdim<=1error('Theremustbeatleast2points.')end[dim1,dim2]=size(yn);ifdim1~=1error('ynmustbealinevector.')endifdim2~=dimerror('Thedimentionofxnandynmustagree.')end%Langrangeinterpolationsymsx;f_result=0;fori=1:diml=1;forj=1:dimifi~=jl=l*(x-xn(j))/(xn(i)-xn(j));endendf_result=f_result+yn(i)*l;endifnargin==2%Ifxisnotinput,thethefunctionreturnsansymbolicfunctionLn(x).f_n=f_result;elseifnargin==3%Ifxisinput,thenthefunctionreturnsanumericalvalueLn(x0).f_n=vpa(subs(f_result,x,x0));end程序3.1.2：產(chǎn)生n個分點的函數(shù)gen_eqpts.mfunctionxn=gen_eqpts(left,right,n)%Returnsann-dimentionallinevectorofequidistantpointsoninterval[left,right]%%Type:xn=gen_eqpts(left,right,n)%%'left'isthelowerboundaryoftheinterval.%'right'isthelowerboundaryoftheinterval.%'n'isthenumberofequidistantpoints.nmustbeanintegergreaterorequalto2.%ThismfileiscodedbySteveZhao.Forreferenceonly.%%Theauthorwillnotberesponsibleforanypotentialconsequencesthatmay%causedbythisfile.%%(c)20163gStudio.Allrightsreserved%Safeguardsforinputargumentsifleft>=righterror('Theupperboundmustbegreaterthanthelowerbound.')endifmod(n,1)~=0error('nmustbeaninteger.')endifn<2error('nmustbeatleast2.')end%Startgeneratingxn=zeros(1,n);xn(1)=left;fori=2:nxn(i)=left+(i-1)/(n-1)*(right-left);end程序3.1.3：第一小題主程序ex311.m%Experiment3.1(1)%ComparisonofLagrangeInterpolationandoriginalfunction%%ThismfileiscodedbySteveZhao.Forreferenceonly.%%Theauthorwillnotberesponsibleforanypotentialconsequencesthatmay%causedbythisfile.%%(c)20163gStudio.Allrightsreservedn=input('Pleaseinputthenumberofequidistantpoints.n=￡o');holdonsymsx;f=@(x)1./(1+25*x.^2);x0=linspace(-1,1);y0=f(x0);plot(x0,y0,'-k');xn=gen_eqpts(-1,1,n);yn=f(xn);plot(x0,lag_interp(xn,yn,x0),'--b');（2）問題的探索n=2時，原函數(shù)圖像（黑色實線）和插值函數(shù)圖像（藍色虛線）如圖所示n=3時，圖像如圖所示n=4、5，圖像如圖所示:n=6、7時，圖像如圖所示n=8、9時，圖像如圖所示（3）結論我們可以發(fā)現(xiàn)，n為6時，插值函數(shù)的走勢與實際函數(shù)較為接近。然而n越大時，雖然與原函數(shù)的值更為接近，但在較遠處與函數(shù)的誤差越來越大。3.1.2.2第二小題的求解選擇不斷增大的分點數(shù)目，畫出原函數(shù)及插值多項式函數(shù)在上的圖像，比較并分析實驗結果。（1）MATLAB代碼程序3.1.4：第二小題主程序ex312.m%Experiment3.1(2)%ComparisonofLagrangeInterpolationandoriginalfunction%%ThismfileiscodedbySteveZhao.Forreferenceonly.%%Theauthorwillnotberesponsibleforanypotentialconsequencesthatmay%causedbythisfile.%%(c)20163gStudio.Allrightsreservedn=input('Pleaseinputthenumberofequidistantpoints.n=');symsx;g=@(x)x./(1+x.^4);h=@(x)atan(x);x0=linspace(-5,5);y01=g(x0);y02=h(x0);xn=gen_eqpts(-5,5,n);yn1=g(xn);yn2=h(xn);subplot(1,2,1),holdon,plot(x0,y01,'-k'),plot(x0,lag_interp(xn,yn1,x0),'--b');subplot(1,2,2),holdon,plot(x0,y02,'-k'),plot(x0,lag_interp(xn,yn2,x0),'--b');（2）問題的探索時，原函數(shù)（黑色實線）及其插值函數(shù)（藍色虛線）的圖像如圖所示：時，圖像如圖所示、5時，圖像如圖所示：、7時，圖像如圖所示：（3）結論我們可以發(fā)現(xiàn)Lagrange插值對于趨勢變化較大的函數(shù)擬合效果不是很好，且次數(shù)越高，振蕩越明顯。3.1.2.3第三小題的求解本小題要求通過構造Chebyshev點替代等距點，檢驗Lagrange的效果。（1）MATLAB程序程序3.1.5：構造Chebyshev點的函數(shù)gen_chpts.mfunctionxn=gen_chpts(left,right,n)%Returnsann-dimentionallinevectorofchebyshevpointsoninterval[left,right]%%Type:xn=gen_chpts(left,right,n)%%'left'isthelowerboundaryoftheinterval.%'right'isthelowerboundaryoftheinterval.%'n'isthenumberofequidistantpoints.nmustbeanintegergreaterorequalto2.%ThismfileiscodedbySteveZhao.Forreferenceonly.%%Theauthorwillnotberesponsibleforanypotentialconsequencesthatmay%causedbythisfile.%%(c)20163gStudio.Allrightsreserved%Safeguardsforinputargumentsifleft>=righterror('Theupperboundmustbegreaterthanthelowerbound.')endifmod(n,1)~=0error('nmustbeaninteger.')endifn<2error('nmustbeatleast2.')end%Startgeneratingxn=zeros(1,n);n=n-1;xn(1)=left;fori=1:(n+1)xn(i)=(right+left)/2+(right-left)/2*cos((2*i-1)*pi/2/(n+1));end程序3.1.6：第三小題主程序ex313.m%Experiment3.1(3)%ComparisonofLagrangeInterpolationandoriginalfunctionusingChebyshevpoints.%%ThismfileiscodedbySteveZhao.Forreferenceonly.%%Theauthorwillnotberesponsibleforanypotentialconsequencesthatmay%causedbythisfile.%%(c)20163gStudio.Allrightsreservedn=input('PleaseinputthenumberofChebyshevpoints.n=');holdonsymsx;f=@(x)1./(1+25*x.^2);x0=linspace(-1,1);y0=f(x0);plot(x0,y0,'-k');xn=gen_chpts(-1,1,n);yn=f(xn);plot(x0,lag_interp(xn,yn,x0),'--b');（2）問題的探究時，原函數(shù)（黑色實線）及其插值函數(shù)（藍色虛線）的圖像如圖所示：時，圖像如圖所示：、5時，圖像如圖所示：、7時，圖像如圖所示：（3）實驗結論可以發(fā)現(xiàn)，在中，等距點與Chebyshev點的擬合程度差距不明顯。實驗3.2樣條插值的收斂性3.2.1問題的提出在探究完多項式插值后，本實驗擬檢驗樣條插值的收斂性。3.2.2實驗內容3.2.2.1第一小題的求解隨節(jié)點個數(shù)增加，比較被逼近函數(shù)和樣條插值函數(shù)誤差的變化情況。分析所得結果并于Lagrange多項式插值比較。（1）MATLAB程序程序3.2.1：第一小題主程序ex321.m%Experiment3.2(1)%ComparisonamongCubicSplineInterpolation,LagrangeInterpolationand%originalfunction.%%ThismfileiscodedbySteveZhao.Forreferenceonly.%%Theauthorwillnotberesponsibleforanypotentialconsequencesthatmay%causedbythisfile.%%(c)20163gStudio.Allrightsreservedn=input('Pleaseinputthenumberofequidistantpoints.n=');holdonsymsx;f=@(x)1./(1+25*x.^2);x0=linspace(-1,1);y0=f(x0);plot(x0,y0,'-k');xn=gen_eqpts(-1,1,n);yn=f(xn);plot(x0,spline(xn,yn,x0),'-b');plot(x0,lag_interp(xn,yn,x0),'--g');（2）問題的探究當、3、4時，原函數(shù)（黑色實線）、樣條插值（藍色實線）與多項式插值（綠色虛線）圖像如圖所示：時，兩擬合圖像開始分離，圖像如圖所示、7時，圖像如圖所示（3）結論可以發(fā)現(xiàn)，樣條插值的振蕩較多項式插值更小。3.2.2.2第二小題的求解畫出給定數(shù)據(jù)的三次樣條插值曲線。（1）MATLAB程序程序3.2.2：第二小題主程序ex322.m%Experiment3.2(2)%Usesplinedatainterpolationwithslopesatbothendings%%ThismfileiscodedbySteveZhao.Forreferenceonly.%%Theauthorwillnotberesponsibleforanypotentialconsequencesthatmay%causedbythisfile.%%(c)20163gStudio.Allrightsreservedx0=0:10;y0=[0.00.791.532.191.713.033.272.893.063.193.29];pp=csape(x0,y0,[0.80.2]);x=linspace(0,10);plot(x,ppval(pp,x),'-b')（2）結果通過MATLAB的csape命令，我們可以輕松畫出本題所求的圖形：3.3思考題一3.3.1問題的提出在丘陵地帶測量高程，和方向每隔100米測一個點，得高程數(shù)據(jù)。用二維插值函數(shù)進行插值，并由此找出最高點和該點的高程。3.3.2問題的求解由于線性插值效果不佳，此處使用二元三次樣條插值。（1）MATLAB程序程序3.3：思考題一主程序ex33.m%Exp