復(fù)變函數(shù)講義PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)講義復(fù)變函數(shù)講義21.1.定義定義 , 0 數(shù)相應(yīng)地都能找到一個(gè)正如果任意給定稱那么時(shí)成立在使 , ),(NnNn記作時(shí)的極限當(dāng)為復(fù)數(shù)列 , nn.lim nn . 收收斂斂于于此此時(shí)時(shí)也也稱稱復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列n , ), 2 , 1( 其中為一復(fù)數(shù)列設(shè)nn,nnniba , 為一確定的復(fù)數(shù)又設(shè)iba 第1頁/共97頁32.2.復(fù)數(shù)列收斂的條件復(fù)數(shù)列收斂的條件 ),2, 1( 1的充要條件是收斂于復(fù)數(shù)列定理nn.lim,limbbaannnn 此定理說明此定理說明: 可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性.第2頁/共97頁4ni

2、enn)11()1( 因?yàn)橐驗(yàn)橄铝袛?shù)列是否收斂下列數(shù)列是否收斂, 如果收斂如果收斂, 求出其極限求出其極限.;)11 () 1 (ninen.sin)11(nnbn ,cos)11(nnan 所以所以而而0lim,1lim nnnnba解解 例例1 1),sin)(cos11(ninn ;1) 1()2(niznn第3頁/共97頁5)2(解解 nna) 1(由于,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n所以數(shù)列發(fā)散所以數(shù)列發(fā)散.,)11(收斂收斂所以數(shù)列所以數(shù)列nienn .1lim nn 且且,極限不存在na第4頁/共97頁61.1.定義定義,), 2 , 1(為為一一復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè) nbannn nnn 211表達(dá)

3、式表達(dá)式稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù).其最前面其最前面 n 項(xiàng)的和項(xiàng)的和nns 21稱為級(jí)數(shù)的部分和稱為級(jí)數(shù)的部分和.部分和部分和第5頁/共97頁7收斂與發(fā)散收斂與發(fā)散,收斂收斂如果部分和數(shù)列如果部分和數(shù)列ns ,1收斂收斂那末級(jí)數(shù)那末級(jí)數(shù) nn .lim稱稱為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和并并且且極極限限ssnn 說明說明:.lim ssnn 利用極限利用極限 與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同, 判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本方法是性的基本方法是:,不收斂不收斂如果部分和數(shù)列如果部分和數(shù)列ns .1發(fā)散發(fā)散那末級(jí)數(shù)那末級(jí)數(shù) nn 第6頁/共97頁8:,0 nnz級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)例如例如1-

4、21nnzzzs ,1時(shí)時(shí)由于當(dāng)由于當(dāng) z, )1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)收斂所以當(dāng)所以當(dāng) z第7頁/共97頁92.2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的條件復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的條件 )( 11收收斂斂的的充充要要條條件件級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnnniba . 11都收斂都收斂和和 nnnnba定理定理2說明說明 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題 實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題(定理定理2)第8頁/共97頁10 )1(1 1是否收斂？是否收斂？級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnin解解; 1 11發(fā)散發(fā)散因?yàn)橐驗(yàn)?nnnna . 1121收斂收斂 nnnnb所以原級(jí)數(shù)發(fā)散

5、所以原級(jí)數(shù)發(fā)散. 課堂練習(xí)課堂練習(xí)第9頁/共97頁11 11nnnnba收收斂斂的的必必要要條條件件是是和和因因?yàn)闉閷?shí)實(shí)數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).0lim0lim nnnnba和和0lim nn 級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件重要結(jié)論重要結(jié)論:.0lim1發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnnn 收斂的必要條件是收斂的必要條件是所以復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)所以復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nn 第10頁/共97頁12:,1 nine級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)例如例如, 0limlim innnne 因?yàn)橐驗(yàn)椴粷M足必要條件不滿足必要條件,所以原級(jí)數(shù)發(fā)散所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.啟示啟示: 判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí), 可先考察可先考察0lim nn ? ,

6、0limnn 如果如果級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散;應(yīng)進(jìn)一步判斷應(yīng)進(jìn)一步判斷., 0lim nn 第11頁/共97頁133. 3. 絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂與條件收斂 . , 11也收斂也收斂那末那末收斂收斂如果如果 nnnn 定理定理3條件收斂條件收斂.如果如果 收斂收斂, 那末稱級(jí)數(shù)那末稱級(jí)數(shù) 為為絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂. 1nn 1nn 定理3說明，絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)本身一定是收斂的；但反過來， 11卻不一定收斂。收斂，如果nnnn為不收斂，則稱級(jí)數(shù)而收斂，若111 nnnnnn第12頁/共97頁14證證由于由于,1221 nnnnnba 而而,2222nnnnnnbabbaa 根據(jù)實(shí)數(shù)項(xiàng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂

7、法根據(jù)實(shí)數(shù)項(xiàng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法, 知知 , 11都收斂都收斂及及 nnnnba . 11也都收斂也都收斂及及故故 nnnnba由定理由定理2可得可得. 1是收斂的是收斂的 nn 證畢證畢（實(shí)數(shù)項(xiàng)）（實(shí)數(shù)項(xiàng)）正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) . , 11也收斂那末收斂如果nnnn第13頁/共97頁15說明說明, 22nnnnbaba由于.111絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂與與絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 nnnnnnba ,11絕對(duì)收斂時(shí)絕對(duì)收斂時(shí)與與 nnnnba所以.1絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂也也 nn ，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知第14頁/共97頁16都收斂都收斂, 故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂. 但是級(jí)但是級(jí)數(shù)數(shù)條件收斂條件收斂, 所以原

8、級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂, 是條件收斂是條件收斂的的.解解 因?yàn)橐驗(yàn)槔? 2 (1) (1)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 是否絕對(duì)收斂是否絕對(duì)收斂? ? 1( 1)1 2nnnin 11( 1)1, 2nnnnn 1( 1)nnn (2) (2) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 是否絕對(duì)收斂呢是否絕對(duì)收斂呢? 1(34 ) 6nnni 第15頁/共97頁17 !)8( 1是否絕對(duì)收斂？是否絕對(duì)收斂？級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnni例例3 3, !81收斂收斂 nnn故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂, 且為絕對(duì)收斂且為絕對(duì)收斂.,!8!)8(nninn 因?yàn)橐驗(yàn)樗杂烧?xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知所以由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知:解解第16頁/共97頁18為

9、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù). . 121( )( )( )( )nnnfzfzfzfz )()()()(21zfzfzfzSnn 為該級(jí)數(shù)前為該級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的項(xiàng)的部分和部分和. .設(shè)設(shè) 是定義在區(qū)域是定義在區(qū)域D上的復(fù)變函數(shù)列上的復(fù)變函數(shù)列, ( )nfz稱稱1.1.定義定義第17頁/共97頁19 )()()()(21zfzfzfzSnS(z) 稱稱為該級(jí)數(shù)在區(qū)域?yàn)樵摷?jí)數(shù)在區(qū)域D上的上的和函數(shù)和函數(shù).如果對(duì)如果對(duì) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 收斂收斂, 即即 0,zD 01()nnfz 00lim()(),nnSzS z 則稱級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù) 在在 點(diǎn)收斂點(diǎn)收斂, 且且 是級(jí)數(shù)的是級(jí)數(shù)的和和. 1( )nnfz

10、0z0()S z如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 在在D內(nèi)處處收斂?jī)?nèi)處處收斂, 則稱其則稱其在在 1( )nnfz 區(qū)域區(qū)域D內(nèi)收斂?jī)?nèi)收斂. 此時(shí)級(jí)數(shù)的和是此時(shí)級(jí)數(shù)的和是D內(nèi)的函數(shù)內(nèi)的函數(shù)2. 2. 收斂概念及和函數(shù)收斂概念及和函數(shù)第18頁/共97頁2020120()()()nnnc zacc zac za 20121,nnnnnc zcc zc zc z 這類函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為這類函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù).或或 的特殊情形的特殊情形0 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(),nncza三、冪級(jí)數(shù)三、冪級(jí)數(shù)1.1.定義定義第19頁/共97頁21定理定理4 (Abel定理定理)若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 在在 0nnnc z 10z 處收斂

11、，則當(dāng)處收斂，則當(dāng) 時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 絕對(duì)收絕對(duì)收斂斂; 0nnnc z 1zz 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 在在 處發(fā)散，則當(dāng)處發(fā)散，則當(dāng) 時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 0nnnc z 2z2zz 0nnnc z 發(fā)散發(fā)散. 2.2.冪級(jí)數(shù)的斂散性冪級(jí)數(shù)的斂散性第20頁/共97頁22收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑(1) 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.(2) 級(jí)數(shù)僅在級(jí)數(shù)僅在 z=0 (即原點(diǎn)處即原點(diǎn)處)收斂，除原點(diǎn)外收斂，除原點(diǎn)外處處發(fā)散處處發(fā)散.(3) 在復(fù)平面內(nèi)既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的點(diǎn), 也存在也存在使級(jí)數(shù)收斂的點(diǎn)。使級(jí)數(shù)收斂的點(diǎn)。由由 , 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 收斂情

12、況有三種收斂情況有三種:0nnnc z 第21頁/共97頁23xyo . .R收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0nnnzc的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域.1 1 .設(shè)設(shè) 時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂; 時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散. 如圖如圖:z z 第22頁/共97頁24 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)00()nnnczz 的收斂范圍是的收斂范圍是因此因此，事實(shí)上事實(shí)上, 冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上斂散性的冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上斂散性的討討問題：?jiǎn)栴}：冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?以以 為中心的圓域?yàn)橹行牡膱A域.0zz 收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形收斂半徑

13、根據(jù)前面所述的三種情形, 分別分別, 0, . R規(guī)定為規(guī)定為論比較復(fù)雜論比較復(fù)雜, 沒有一般的結(jié)論沒有一般的結(jié)論, 要對(duì)具體級(jí)數(shù)要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析進(jìn)行具體分析.第23頁/共97頁25收斂半徑的求法收斂半徑的求法1lim,nnncc 設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)0.nnnc z (比值法比值法) 如果如果則收斂半徑則收斂半徑 .1 Rlim,nnnc (根值法根值法) 如果如果則收斂半徑則收斂半徑 .1 R;R 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 收斂半徑收斂半徑 0 0;R 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 收斂半徑收斂半徑 第24頁/共97頁26解解2111(1).1nnnzSzzzzz 1 z1lim1nnSz 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 0nnz收斂收斂

14、,1 z0lim nnz級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 0nnz發(fā)散發(fā)散.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂, 且有且有在在 內(nèi)內(nèi), 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)1z 0nnz例例4 4 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù) 的和函數(shù)與收斂半徑的和函數(shù)與收斂半徑.0nnz 所以收斂半徑所以收斂半徑1,R 11.1nnzz 第25頁/共97頁27例例5求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑：求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑： 21nnzn 1(2)nnzn (1)(2)第26頁/共97頁28由于冪級(jí)數(shù)在收斂圓的內(nèi)部絕對(duì)收斂，因此由于冪級(jí)數(shù)在收斂圓的內(nèi)部絕對(duì)收斂，因此可得出下面幾個(gè)性質(zhì)：可得出下面幾個(gè)性質(zhì)： (1) 設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù) 和和 的收斂半徑分別的收斂半徑分別0nnna z 0nnnb z 為為 和和

15、 1R2,R則在則在 內(nèi)內(nèi), 12min(,)zRR R000(),nnnnnnnnnnabza zb z 0110000.nnnnnnnnnnna zb za ba ba bz 3.3.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)第27頁/共97頁29(2) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù)0nnnc z 在收斂圓在收斂圓 ( )s z內(nèi)是解析的；且冪級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)，可以逐內(nèi)是解析的；且冪級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)，可以逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分。項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分。第28頁/共97頁30(3) 設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為 r.0( )nnnf zc z 如果在如果在 內(nèi)內(nèi), 函數(shù)函數(shù) 解析解析, 并并且且Rz )(z

16、g,)(rzg 則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)時(shí),Rz 0 ( ) ( ) .nnnf g zc g z 第29頁/共97頁31例例6 6 求求 的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù). 11)12(nnnz112111(21) .121(12 )(1)2nnnzzzzzz 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以1121limlim2,21nnnnnncc 1.2R 111112222.12nnnnnnzzz 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),12z 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?從而從而, 111 1 ,1nnzzz 第30頁/共97頁32例例7 7 把函數(shù)把函數(shù) 表示成形如表示成形如bz 1 0)(nnnazc的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù), 其中其中a與與b是不相等的復(fù)常

17、數(shù)是不相等的復(fù)常數(shù) . bz1)()(1abaz 11.1zababa 代數(shù)變形代數(shù)變形 , 使其分母中出現(xiàn)使其分母中出現(xiàn))(az 湊出湊出)(11zg 把函數(shù)把函數(shù) 寫成如下的形式寫成如下的形式:bz 1第31頁/共97頁33211.1nzazazazababababa 2231111()()()()zazazbbababa 11().()nnzaba 當(dāng)當(dāng) 即即 時(shí)時(shí),1,zaba zaRba所以所以第32頁/共97頁341.1.復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù) ),2, 1( 收斂于復(fù)數(shù)列nn.lim,limbbaannnn )( 11收斂復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)nnnnniba . 11都收斂和nnnn

18、ba第33頁/共97頁35復(fù)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂如果 收斂, 那末稱級(jí)數(shù) 為絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂. 1nn 1nn.111絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂與與絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 nnnnnnba 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 條件收斂條件收斂第34頁/共97頁36方法方法1 1: 比值法比值法方法方法2: 根值法根值法, 0lim 1 nnncc如果如果那末收斂半徑那末收斂半徑.1 R ., 0; 0,;0,1 R即即, 0lim nnnc如果如果那末收斂半徑那末收斂半徑.1 R2.2.冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)第35頁/共97頁37第36頁/共97頁38二、泰勒展開定理三、將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)一、問題的引入四、典型例題五、小結(jié)與思考第

19、37頁/共97頁39問題問題: : 任一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)來表達(dá)？任一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)來表達(dá)？DKz.內(nèi)任意點(diǎn)內(nèi)任意點(diǎn), )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)Dzf , 0為中心的任一圓周為中心的任一圓周內(nèi)以內(nèi)以為為zD如圖如圖:r0z.Krz 0 圓周圓周. 0rz , , KD 記為記為它與它的內(nèi)部全包含于它與它的內(nèi)部全包含于第38頁/共97頁40由柯西積分公式由柯西積分公式 , 有有 Kzfizf,d)(21)( 其中其中 K 取正方向取正方向., , 的內(nèi)部的內(nèi)部在在點(diǎn)點(diǎn)上上取在圓周取在圓周因?yàn)榉e分變量因?yàn)榉e分變量KzK . 1 00 zzz 所以所以0001111zz

20、zzz 則則第39頁/共97頁41 200000)()(11zzzzzzz nzzz)(00 0010.)()(1nnnzzz 10010)()(d)(21)( NnnKnzzzfizf 于是于是 KNnnnzzzfi.d)()()(21010 第40頁/共97頁42由高階導(dǎo)數(shù)公式由高階導(dǎo)數(shù)公式, 上式又可寫成上式又可寫成 1000)()()(!)()(NnNnnzRzznzfzf其中其中 KNnnnNzzzfizR d)()()(21)(010, 0)(lim zRNN若若可知在可知在K內(nèi)內(nèi) 000)()(!)()(nnnzznzfzf第41頁/共97頁43, )( 內(nèi)可以用冪級(jí)數(shù)來表示內(nèi)可

21、以用冪級(jí)數(shù)來表示在在即即Kzf令令qrzzzzz 000 , )( )(內(nèi)解析內(nèi)解析在在DKDzf 則在則在K上連續(xù)上連續(xù), , 10, qq且且無關(guān)的量無關(guān)的量是與積分變量是與積分變量 , )( 上也連續(xù)上也連續(xù)在在因此因此Kf , )(上有界上有界在在 Kf 第42頁/共97頁44即存在一個(gè)正常數(shù)即存在一個(gè)正常數(shù)M,.)( MfK 上上在在szzzfzRKNnnnNd)()()(21)(010 KNnnszzzzfd)(21000 NnnrqrM221.1qMqn 第43頁/共97頁450lim nNqK0)(lim zRNN在在內(nèi)成立內(nèi)成立,從而在從而在K內(nèi)內(nèi) 圓圓周周K的半徑可以任意增

22、大的半徑可以任意增大,只要只要K內(nèi)成立內(nèi)成立.D在在 000)()(!)()(nnnzznzfzf的的泰勒展開式泰勒展開式,)(zf在在0z泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)第44頁/共97頁46如果如果0z到到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為的邊界上各點(diǎn)的最短距離為,d0z那末那末)(zf在在的泰勒展開式在內(nèi)成立的泰勒展開式在內(nèi)成立dzz 0因?yàn)榉矟M足因?yàn)榉矟M足dzz 0的的z必能使必能使.dR 即即由上討論得重要定理由上討論得重要定理泰勒展開定理泰勒展開定理)(zf在在0z的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑的收斂半徑R至少等于，至少等于，d但但成立，成立， 000)()(!)()(nnnzznzfzf第45頁/共97

23、頁47, 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒展開式泰勒展開式定理定理設(shè)設(shè))(zf在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,0z為為D 內(nèi)的一內(nèi)的一d為為0z到到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離的邊界上各點(diǎn)的最短距離, 那末那末點(diǎn)點(diǎn),dzz 0時(shí)時(shí), 00)()(nnnzzczf成立成立,當(dāng)當(dāng)?shù)?6頁/共97頁48說明說明:1.復(fù)變函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的條件要比實(shí)函數(shù)復(fù)變函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的條件要比實(shí)函數(shù)時(shí)弱得多時(shí)弱得多; (想一想想一想, 為什么為什么?); , , )( . 200zdzdDzf 即即之間的距離之間的距離一個(gè)奇點(diǎn)一個(gè)奇點(diǎn)到最近到最近等于等于則則內(nèi)有奇點(diǎn)內(nèi)有奇

24、點(diǎn)在在如果如果;,0. 30級(jí)數(shù)稱為麥克勞林級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)稱為麥克勞林級(jí)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z第47頁/共97頁49 )( zf因?yàn)榻馕觯梢员ＷC無限次可導(dǎo)因?yàn)榻馕?，可以保證無限次可導(dǎo)即各階導(dǎo)數(shù)連續(xù)即各階導(dǎo)數(shù)連續(xù).所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)的實(shí)用范圍就所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)的實(shí)用范圍就要比實(shí)變函數(shù)廣的多要比實(shí)變函數(shù)廣的多.注意注意問題：?jiǎn)栴}：利用泰勒級(jí)數(shù)可以將函數(shù)展開為冪級(jí)利用泰勒級(jí)數(shù)可以將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)數(shù)，展開式是否唯一？展開式是否唯一？第48頁/共97頁50 : )( 0已已被被展展開開成成冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在設(shè)設(shè)zzf 202010)()()(zzazzaazf,)(0 nnzza那末那末,)(00az

25、f ,)(10azf 即即, )(!10)(zfnann 因此因此, 任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù), 因而是唯一的因而是唯一的.第49頁/共97頁51常用方法常用方法: 直接法和間接法直接法和間接法. .1.直接法直接法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展開成冪級(jí)數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)在在將函數(shù)將函數(shù)zzf由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù)由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù)第50頁/共97頁52例如，例如，. 0 的泰勒展開式的泰勒展開式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze,

26、 在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析因?yàn)橐驗(yàn)閦e. R所以級(jí)數(shù)的收斂半徑所以級(jí)數(shù)的收斂半徑,)( )(znzee 因?yàn)橐驗(yàn)榈?1頁/共97頁53仿照上例仿照上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的的泰泰勒勒展展開開式式在在與與可可得得 zzz第52頁/共97頁542. 間接展開法間接展開法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開式借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結(jié)合解結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì)析函數(shù)的性質(zhì), 冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì) (逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 積積分等分等)和其它

27、數(shù)學(xué)技巧和其它數(shù)學(xué)技巧 (代換等代換等) , 求函數(shù)的泰勒求函數(shù)的泰勒展開式展開式.間接法的優(yōu)點(diǎn)間接法的優(yōu)點(diǎn): : 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比因而比直接展開更為簡(jiǎn)潔直接展開更為簡(jiǎn)潔 , 使用范圍也更為廣泛使用范圍也更為廣泛 .第53頁/共97頁55例如，例如， . 0 sin 的泰勒展開式的泰勒展開式在在利用間接展開法求利用間接展開法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi第54頁/共97頁56附附: 常見函數(shù)的泰勒展開式常見函數(shù)的泰勒展開式,! 21)102 nnnznznzzz

28、e,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz)1( z)1( z)( z第55頁/共97頁57,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)( z第56頁/共97頁58例例1 1. )1 (1 2的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z, 11)1(12 zzz上有一奇點(diǎn)上有一奇點(diǎn)在在由于由于,1內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析且在且在 z,的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)可展開成可展開成 z第57頁/共97頁59 zz11)1 (12.

29、1,)1(321112 znzzznn上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),第58頁/共97頁60例例2 2. 0 )1ln( 泰勒展開式泰勒展開式處的處的在在求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值 zz分析分析, 1 , 1 )1ln( 是它的一個(gè)奇點(diǎn)是它的一個(gè)奇點(diǎn)平面內(nèi)是解析的平面內(nèi)是解析的向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的在從在從 z. 1 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)內(nèi)可以展開成內(nèi)可以展開成所以它在所以它在zz 如圖如圖,1 Ro1 1xy第59頁/共97頁61zzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 將展開式兩端沿將展開式兩端沿 C 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積

30、分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的曲線的曲線到到內(nèi)從內(nèi)從為收斂圓為收斂圓設(shè)設(shè)zzC 第60頁/共97頁62例例3 3. 231)( 的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即第61頁/共97頁63例例4 4.cos2的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)求求z解解),2cos1(21cos2zz 因?yàn)橐驗(yàn)?! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62!

31、42! 221664422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz! 62! 42! 22165432第62頁/共97頁64 通過本課的學(xué)習(xí)通過本課的學(xué)習(xí), 應(yīng)理解泰勒展開定理應(yīng)理解泰勒展開定理,熟記熟記五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開式五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開式,掌握將函數(shù)展開成掌握將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法泰勒級(jí)數(shù)的方法, 能比較熟練的把一些解析函數(shù)能比較熟練的把一些解析函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù).第63頁/共97頁65奇、偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)有什么特點(diǎn)奇、偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)有什么特點(diǎn)?思考題思考題第64頁/共97頁66 奇函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)只含奇函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)只含 z 的奇次冪項(xiàng)的奇次冪項(xiàng),

32、偶函數(shù)偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)只含的泰勒級(jí)數(shù)只含 z 的偶次冪項(xiàng)的偶次冪項(xiàng).思考題答案思考題答案放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .第65頁/共97頁67Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, EnglandBrook Taylor第66頁/共97頁68二、洛朗級(jí)數(shù)的概念三、函數(shù)的洛朗展開式一、問題的引入五、小結(jié)與思考四、典型例題第67頁/共97頁69問題問題: . , )( 00的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)是否能表示為是否能表示為不解析不解析在在如果如

33、果zzzzf nnnzzc)(. 10 雙邊冪級(jí)數(shù)雙邊冪級(jí)數(shù)負(fù)冪項(xiàng)部分負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分主要部分主要部分解析部分解析部分同時(shí)收斂同時(shí)收斂收斂收斂 nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 第68頁/共97頁70nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收斂半徑收斂半徑收斂收斂時(shí)時(shí),R 101RRzz 收斂域收斂域收斂半徑收斂半徑2R20Rzz 收斂域收斂域:)1( 21RR 若若兩收斂域無公共部分兩收斂域無公共部分,:)2(21RR 兩收斂域有公共部分兩收斂域有公共部分.201RzzR R第69頁/共97頁71結(jié)論結(jié)論:的的收收

34、斂斂區(qū)區(qū)域域?yàn)闉殡p雙邊邊冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnnzzc)(0 .201RzzR 圓環(huán)域圓環(huán)域1R2R.0z常見的特殊圓環(huán)域常見的特殊圓環(huán)域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z第70頁/共97頁72:10 內(nèi)內(nèi)在圓環(huán)域在圓環(huán)域 z例如，例如，10)1(1)( zzzzzf及及在在都不解析都不解析,但在圓環(huán)域但在圓環(huán)域10 z及及110 z內(nèi)都是解析的內(nèi)都是解析的.)1(1)(zzzf 而而1,1112 zzzzzn2. 問題問題: :在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能展在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能展開成級(jí)數(shù)開成級(jí)數(shù)? ?,111zz 第71頁/共97頁73所以所以)1(1

35、)(zzzf ,121 nzzzz即即在在)(zf10 z內(nèi)可以展開成級(jí)數(shù)內(nèi)可以展開成級(jí)數(shù).內(nèi)，內(nèi)，在圓環(huán)域在圓環(huán)域110 z也可以展開成級(jí)數(shù)：也可以展開成級(jí)數(shù)：)1(1)(zzzf .)1()1()1(1)1(121 nzzzz nzzzz)1()1()1(1112 )1(1111zz第72頁/共97頁74定理定理內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析，在在圓圓環(huán)環(huán)域域設(shè)設(shè) )( 201RzzRzf ,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21 10其中其中),1,0( nC為圓環(huán)域內(nèi)繞為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線. 0z為洛朗系數(shù)為洛朗系數(shù).內(nèi)內(nèi)可可展展開開成成洛洛

36、朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在那那末末Dzf )( 第73頁/共97頁75 d21d21)(12 KKzfizfizf證證)()(1100zzzz 因因?yàn)闉閷?duì)于第一個(gè)積分對(duì)于第一個(gè)積分: 00001nnzzzz 111100000zzzzzzzz 0zRr2R.z1K2K1R. ,)()(0100 nnnzzz 第74頁/共97頁76nnnzzc)(00 d)(212 Kzfi所以所以對(duì)于第二個(gè)積分對(duì)于第二個(gè)積分: d)(211 Kzfi)()(11 00zzzz 因因?yàn)闉?100zzz nnKnzzzfi)(d)()(2100102 000111zzzzz 第75頁/共97頁77 1010)()(nnnz

37、zz ,)()(10110nnnzzz d)(211 Kzfi則則其中其中 )(zRN d)()()(211010 KNnnnzzfzi)()(d)()(21011101zRzzzfiNnNnKn 第76頁/共97頁78下面證明下面證明.0)(lim1外部成立外部成立在在 KzRNN 000 zzrzzzq 令令. 10, q無關(guān)無關(guān)與積分變量與積分變量 )()( 的連續(xù)性決定的連續(xù)性決定由由因?yàn)橐驗(yàn)橛钟謟fMf szzzzfzRKNnnNd)(21)(1000 rqrMnNn 221.1qMqN 第77頁/共97頁79. 0)(lim zRNN所以所以,)(01nnnzzc d)(21 1

38、Kzfi于于是是nnKnzzzfi )(d)()(2101101 d)(21d)(21)(12 KKzfizfizf則則第78頁/共97頁80nnnnnnzzczzc )()(0100.)(0nnnzzc ), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 如果如果C為在圓環(huán)域內(nèi)繞為在圓環(huán)域內(nèi)繞 的任何一條正向簡(jiǎn)單的任何一條正向簡(jiǎn)單0znncc 與與閉曲線閉曲線 . 則則可用一個(gè)式子表示為可用一個(gè)式子表示為:證畢證畢第79頁/共97頁81說明說明:函數(shù)函數(shù))(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式洛朗展開式)(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). nnnzz

39、czf)()(0 1) 2) 某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負(fù)某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的， 這就是這就是 f (z) 的洛朗級(jí)數(shù)的洛朗級(jí)數(shù). 定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)的一般方法的一般方法. .第80頁/共97頁82常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 間接法間接法 1. 直接展開法直接展開法利用定理公式計(jì)算系數(shù)利用定理公式計(jì)算系數(shù)nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 然后寫出然后寫出.)()(0nnnzzczf 缺點(diǎn)缺點(diǎn): 計(jì)算往往很麻煩計(jì)算往

40、往很麻煩.第81頁/共97頁83根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性, 可可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開 .優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) : 簡(jiǎn)捷簡(jiǎn)捷 , 快速快速 .2. 間接展開法間接展開法第82頁/共97頁84例例1 1, 0 內(nèi)內(nèi)在在 z. )( 2展開成洛朗級(jí)數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù)將將zezfz 解解,)(nnnzczf 由定理知由定理知: d)()(2110 Cnnzfic d213 Cnei其中其中)2, 1,0(, )0(: nzC 第83頁/共97頁85, 3 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n0 nc, 2在圓環(huán)域內(nèi)解析在圓環(huán)域內(nèi)解析ze

41、z故由柯西故由柯西古薩基本定理知古薩基本定理知:, 2 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n由高階導(dǎo)數(shù)公式知由高階導(dǎo)數(shù)公式知:022)(dd)!2(1 zznnezn)!2(1 n 2)!2()( nnnzzf故故 ! 4! 3! 211122zzzz z0 d213 Cnneic第84頁/共97頁86另解另解 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn)既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn),. 2的奇點(diǎn)的奇點(diǎn)也是函數(shù)也是函數(shù)zez第85頁/共97頁87例例2 2 : )2)(1(1)( 在圓環(huán)域在圓環(huán)域函數(shù)函數(shù) zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z內(nèi)是處處解析的內(nèi)是處處解析的,試把試把 f (z) 在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù).解解,)2(1)1(1)(