數(shù)列與不等式的交匯題型

1、數(shù)列與不等式的交匯題型分析及解題策略題型一求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下參數(shù)問題求得數(shù)列與不等式綾結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問題主要兩種策略：(1)若函數(shù)f(x)在定義域?yàn)镈，則當(dāng)xD時(shí)，有f(x)M恒成立Ûf(x)minM；f(x)M恒成立Ûf(x)maxM；(2)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)不等式，再通過解不等式解得.【例1】等比數(shù)列an的公比q1，第17項(xiàng)的平方等于第24項(xiàng)，求使a1a2an恒成立的正整數(shù)n的取值范圍.【分析】利用條件中兩項(xiàng)間的關(guān)系，尋求數(shù)列首項(xiàng)a1與公比q之間的關(guān)系，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)公式和及所得的關(guān)系化簡(jiǎn)不等式，進(jìn)而通過估算求得正整數(shù)n的取

2、值范圍.【解】由題意得：(a1q16)2a1q23，a1q91.由等比數(shù)列的性質(zhì)知：數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，要使不等式成立，則須，把a(bǔ)q-18代入上式并整理，得q-18(qn1)q(1)，qnq19，q1，n19，故所求正整數(shù)的取值范圍是n20.【點(diǎn)評(píng)】本題解答數(shù)列與不等式兩方面的知識(shí)都用到了，主要體現(xiàn)為用數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)，用不等式知識(shí)求得最后的結(jié)果.本題解答體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想、方程思想及估算思想的應(yīng)用.【例2】（08·全國(guó)）設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為Sn已知a1a，an+1Sn3n，nN*()設(shè)bnSn3n，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；（）若an+1an，nN*，求a的取值范圍【分析】第（

3、）小題利用Sn與an的關(guān)系可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；第（）小題將條件an+1an轉(zhuǎn)化為關(guān)于n與a的關(guān)系，再利用af(n)恒成立等價(jià)于af(n)min求解【解】()依題意，Sn+1Snan+1Sn3n，即Sn+12Sn3n，由此得Sn+13 n+12(Sn3n)因此，所求通項(xiàng)公式為bnSn3n(a3)2 n-1，nN*, ()由知Sn3n(a3)2 n-1，nN*，于是，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn-13n(a3)2 n-13n-1(a3)2 n-22×3n-1(a3)2 n-2，an+1an4×3 n-1(a3)2 n-22 n-2·12·()n-2a3，當(dāng)n2時(shí)

4、，an+1an，即2 n-2·12·()n-2a30，12·()n-2a30，a9，綜上，所求的a的取值范圍是9，【點(diǎn)評(píng)】一般地，如果求條件與前n項(xiàng)和相關(guān)的數(shù)列的通項(xiàng)公式，則可考慮Sn與an的關(guān)系求解.本題求參數(shù)取值范圍的方法也一種常用的方法，應(yīng)當(dāng)引起重視.題型二數(shù)列參與的不等式的證明問題此類不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的.【例3】已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a37，S

5、424()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；()設(shè)p、q都是正整數(shù)，且pq，證明：Sp+q(S2pS2q)【分析】根據(jù)條件首先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)公式和建立方程組即可解決第()小題；第()小題利用差值比較法就可順利解決.【解】（）設(shè)等差數(shù)列an的公差是d，依題意得，解得，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ana1(n1)d2n1.（）證明：an2n1，Snn22n2Sp+q(S2pS2q)2(pq)22(pq)(4p24p)(4q24q)2(pq)2，pq，2Sp+q(S2pS2q)0，Sp+q(S2pS2q)【點(diǎn)評(píng)】利用差值比較法比較大小的關(guān)鍵是對(duì)作差后的式子進(jìn)行變形，途徑主要有：（1）因式分解；（2）化平

6、方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.【例4】(08·安徽高考)設(shè)數(shù)列an滿足a10，an+1can31c，cN*，其中c為實(shí)數(shù).()證明：an0，1對(duì)任意nN*成立的充分必要條件是c0，1；()設(shè)0c，證明：an1(3c)n-1，nN*；（）設(shè)0c，證明：a12a22an2n1，nN*.【分析】第（1）小題可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）小題可利用綜合法結(jié)合不等關(guān)系的迭代；第（3）小題利用不等式的傳遞性轉(zhuǎn)化等比數(shù)列，然后利用前n項(xiàng)和求和，再進(jìn)行適當(dāng)放縮.【解】（）必要性：a10，a21c，又a20，1，01c1，即c0，1.充分性：

7、設(shè)c0，1，對(duì)nN*用數(shù)學(xué)歸納法證明an0，1.(1)當(dāng)n1時(shí)，a10，1.(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，ak0，1(k1)成立，則ak1cak31cc1c1，且ak1cak31c1c0，ak10，1，這就是說nk1時(shí)，an0，1.由（1）、（2）知，當(dāng)c0，1時(shí)，知an0，1對(duì)所胡nN*成立.綜上所述，an0，1對(duì)任意nN*成立的充分必要條件是c0，1.（）設(shè)0c，當(dāng)n1時(shí)，a10，結(jié)論成立.當(dāng)n2時(shí)，由ancan-131c，1anc(1an-1)(1an-1an-12)0c，由()知an-10，1，所以1an-1an-123，且1an-10，1an3c(1an-1)，1an3c(1an-1)(3c)

8、2(1an-2)(3c) n-1(1a1)(3c) n-1，an1(3c)n-1，nN*.()設(shè)0c，當(dāng)n1時(shí)，a1202，結(jié)論成立.當(dāng)n2時(shí)，由（）知an1(3c)n-10，an2(1(3c)n-1) 212(3c)n-1(3c)(n-1)12(3c)n-1，a12a22an2a22an2n123c(3c)2(3c)n-1n1213c(3c)2(3c)n-11n1n1.【點(diǎn)評(píng)】本題是數(shù)列與不等式、數(shù)學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬于難題，此類試題在高考中點(diǎn)占有一席之地，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意.本題的第()小題實(shí)質(zhì)也是不等式的證明，題型三求數(shù)列中的最大值問題求解數(shù)列中的某些最值問題，有時(shí)須結(jié)合不等式來(lái)解決，

9、其具體解法有：(1)建立目標(biāo)函數(shù)，通過不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值；(2)首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；(3)利用條件中的不等式關(guān)系確定最值.【例5】(08·四川高考)設(shè)等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為Sn，若S410，S515，則a4的最大值為_.【分析】根據(jù)條件將前4項(xiàng)與前5項(xiàng)和的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)a1與公差d的不等式，然后利用此不等關(guān)系確定公差d的范圍，由此可確定a4的最大值.【解】等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為Sn，且S410，S515，即，a43d，則53d62d，即d1.a43d314，故a4的最大值為4.【點(diǎn)評(píng)】本題最值的確定主要是根據(jù)條件的不等式關(guān)系來(lái)求最值的，

10、其中確定數(shù)列的公差d是解答的關(guān)鍵，同時(shí)解答中要注意不等式傳遞性的應(yīng)用.【例6】等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a12002，公比q()設(shè)f(n)表示該數(shù)列的前n項(xiàng)的積，求f(n)的表達(dá)式；()當(dāng)n取何值時(shí)，f(n)有最大值【分析】第()小題首先利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列an的通項(xiàng)，再求得f(n)的表達(dá)式；第()小題通過商值比較法確定數(shù)列的單調(diào)性，再通過比較求得最值.【解】()an2002·()n-1，f(n)2002n·()()由()，得，則當(dāng)n10時(shí)，1，|f(11)|f(10)|f(1)|，當(dāng)n11時(shí)，1，|f(11)|f(12)|f(13)|，f(11)0，f(10)0，f(9

11、)0，f(12)0，f(n)的最大值為f(9)或f(12)中的最大者20023·()30()31，當(dāng)n12時(shí)，f(n)有最大值為f(12)200212·()66【點(diǎn)評(píng)】本題解答有兩個(gè)關(guān)鍵：(1)利用商值比較法確定數(shù)列的單調(diào)性；(2)注意比較f(12)與f(9)的大小.整個(gè)解答過程還須注意f(n)中各項(xiàng)的符號(hào)變化情況.題型四求解探索性問題數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就

12、得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.【例7】已知an的前n項(xiàng)和為Sn，且anSn4.()求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；()是否存在正整數(shù)k，使2成立.【分析】第()小題通過代數(shù)變換確定數(shù)列an+1與an的關(guān)系，結(jié)合定義判斷數(shù)列an為等比數(shù)列；而第()小題先假設(shè)條件中的不等式成立，再由此進(jìn)行推理，確定此不等式成立的合理性.【解】()由題意，Snan4，Sn+1an+14，由兩式相減，得(Sn+1an+1)(Snan)0，即2an+1an0，an+1an，又2a1S1a14，a12，數(shù)列an是以首項(xiàng)a12，公比為q的等比數(shù)列.()由()，得Sn422-n.又由2，得2，整理，得21-k1，即12 k -

13、1，kN*，2k-1N*，這與2k-1(1，)相矛盾，故不存在這樣的k，使不等式成立.【點(diǎn)評(píng)】本題解答的整個(gè)過程屬于常規(guī)解法，但在導(dǎo)出矛盾時(shí)須注意條件“kN*”，這是在解答數(shù)列問題中易忽視的一個(gè)陷阱.【例8】(08·湖北高考)已知數(shù)列an和bn滿足：a1，an+1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù).（）對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列an不是等比數(shù)列；（）試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（）設(shè)0ab,Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有aSnb?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.【分析】第()小題利用反證法證明；第()

14、小題利用等比數(shù)列的定義證明；第()小題屬于存在型問題，解答時(shí)就假設(shè)aSnb成立，由此看是否能推導(dǎo)出存在存在實(shí)數(shù).【解】（）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使an是等比數(shù)列，則有a22a1a3，即(3)2(4)Û24924Û90，矛盾，所以an不是等比數(shù)列.()解：因?yàn)閎n+1(1)n+1a n+13(n1)21(1)n+1(a n2n14)(a n3n21)b n，又b1(18)，所以當(dāng)18時(shí)，bn0(nN*)，此時(shí)bn不是等比數(shù)列；當(dāng)18時(shí)，b1(18)0，由上可知bn0，(nN*).故當(dāng)18時(shí)，數(shù)列bn是以(18)為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.()由（）知，當(dāng)18，bn0(nN*)

15、，Sn0，不滿足題目要求；.18，故知bn(18)×()n-1，于是S n(18)·1()n要使aSnb對(duì)任意正整數(shù)n成立，即a(18)·1()nb，(nN*).得(18)，(nN*) 令f(n)1()n，則當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1f(n)，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)f(n)1；f(n)的最大值為f(1)，f(n)的最小值為f(2),于是，由式得a(18)b，b183a18，(必須b3a，即b3a).當(dāng)ab3a時(shí)，由b183a18，不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求；當(dāng)b3a存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有aSnb,且的取值范圍是(b18，3a18).【點(diǎn)評(píng)】存在性問題指的是命題的結(jié)論不確定

16、的一類探索性問題，解答此類題型一般是從存在的方面入手，尋求結(jié)論成立的條件，若能找到這個(gè)條件，則問題的回答是肯定的；若找不到這個(gè)條件或找到的條件與題設(shè)矛盾，則問題的回答是否定的.其過程可以概括為假設(shè)推證定論.本題解答注意對(duì)參數(shù)及項(xiàng)數(shù)n的雙重討論.【專題訓(xùn)練】一、選擇題1已知無(wú)窮數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，則有（ ）ABCD2設(shè)an是由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列，bnan+1an+2，cnanan+3，則（ ）AbncnBbncnCbncnDbncn3已知an為等差數(shù)列，bn為正項(xiàng)等比數(shù)列，公比q1，若a1b1，a11b11，則（ ）Aa6b6Ba6b6Ca6b6Da6b6或a6b6 4已知數(shù)列an

17、的前n項(xiàng)和Snn29n，第k項(xiàng)滿足ak，則k（ ）A9B8C7D65已知等比數(shù)列an的公比q0，其前n項(xiàng)的和為Sn，則S4a5與S5a4的大小關(guān)系是（ ）AS4a5S5a4BS4a5S5a4CS4a5S5a4D不確定6設(shè)Sn123n，nN*，則函數(shù)f(n)的最大值為（ ）ABCD7已知y是x的函數(shù)，且lg3，lg(sinx)，lg(1y)順次成等差數(shù)列，則（ ）Ay有最大值1，無(wú)最小值By有最小值，無(wú)最大值Cy有最小值，最大值1Dy有最小值1，最大值1 8已知等比數(shù)列an中a21，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是（ ）(，1(，1)(1，)3，)(，13，)9設(shè)b是1a和1a的等比中項(xiàng)，則a3b

18、的最大值為( )A1B2C3D410設(shè)等比數(shù)列an的首相為a1，公比為q，則“a10，且0q1”是“對(duì)于任意nN*都有an+1an”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分比要條件D既不充分又不必要條件11an為等差數(shù)列，若1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最小值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，n（ ）A11B17C19D2112設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN*)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍是（ ）A，2)B，2C，1)D，1二、填空題13等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a4a28，a3a526，記Tn，如果

19、存在正整數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n，TnM都成立則M的最小值是_14無(wú)窮等比數(shù)列an中，a11，|q|1，且除a1外其余各項(xiàng)之和不大于a1的一半，則q的取值范圍是_.15已知x0，y0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是_.012416等差數(shù)列an的公差d不為零，Sn是其前n項(xiàng)和，給出下列四個(gè)命題：A若d0，且S3S8，則Sn中，S5和S6都是Sn中的最大項(xiàng)；給定n，對(duì)于一定kN*(kn)，都有an-kan+k2an；若d0，則Sn中一定有最小的項(xiàng)；存在kN*，使akak+1和akak-1同號(hào)其中真命題的序號(hào)是_.三、解答題17已知an是一個(gè)等差數(shù)列，且a21，a5

20、5（）求an的通項(xiàng)；（）求an前n項(xiàng)和Sn的最大值18已知an是正數(shù)組成的數(shù)列，a11，且點(diǎn)(，an+1)(nN*）在函數(shù)yx21的圖象上.()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；()若列數(shù)bn滿足b11,bn+1bn2an，求證：bn·bn+2b2n+1.19設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1(0，1)，an，n2，3，4，.（）求an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)bnan，證明bnbn+1，其中n為正整數(shù)20已知數(shù)列an中a12，an+1(1)( an2)，n1，2，3，.（）求an的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列an中b12，bn+1，n1，2，3，.證明：bna4n-3，n1，2，3，21已知二次函數(shù)yf(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)

21、原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f¢(x)6x2，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖像上.（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)bn，Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求使得Tn對(duì)所有nN*都成立的最小正整數(shù)m；22數(shù)列滿足，（），是常數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求及的值；（）數(shù)列是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，說明理由；（）求的取值范圍，使得存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有【專題訓(xùn)練】參考答案一、選擇題1B 【解析】a4a8(a13d)(a17d)a1210a1d21d2，a62(a15d)2a1210a1d25d2，故.2D 【解析】設(shè)其公比為q,則bncnan(q1)(1q

22、2)an(q1)2(q1)，當(dāng)q1時(shí)，bncn，當(dāng)q0，且q1時(shí)，bncn，故bncn.3B 【解析】因?yàn)閝1，b10，b110，所以b1b11，則a6b6.4B 【解析】因數(shù)列為等差數(shù)列，anSnSn-12n10，由52k108，得到k8.5A 【解析】S4a5S5a4(a1a2a3a4)a4q(a1a2a3a4a5)a4a1a4a12q30，S4a5S5a46D 【解析】由Sn，得f(n)，當(dāng)n，即n8時(shí)取等號(hào)，即f(n)maxf(8)7B 【解析】由已知y(sinx)21，且sinx，y1，所以當(dāng)sinx1時(shí)，y有最小值，無(wú)最大值.8D 【解】等比數(shù)列an中a21，S3a1a2a3a2(

23、1q)1q.當(dāng)公比q0時(shí)，S31q123，當(dāng)公比q0時(shí)，S31(q)121，S3(，13，).9B 【解析】b是1a和1a的等比中項(xiàng)，則3b21a2Ûa23b21，令acos，bsin，(0，2)，所以a3bcosin2sin()2.10A 【解析】當(dāng)a10，且0q1時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，但當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，還存在另一情況a10，且q1，故選A.11C 【解析】由1，得0Û0Û0Û0，則要使Sn取得最小正值必須滿足S190，且S200，此時(shí)n19.12C 【解析】f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、yR，都有f(x)f(y)f(xy)，a1

24、，anf(n)(nN*)，an+1f(n1)f(1)f(n)an，Sn1()n.則數(shù)列an的前項(xiàng)和的取值范圍是，1).二、填空題132 【解析】由a4a28，可得公差d4，再由a3a526，可得a11，故Snn2n(n1)2n2n，Tn，要使得TnM，只需M2即可，故M的最小值為2，答案：214(1，0(0， 【解析】Þq，但|q|1，且q0，故q(1，0(0，.154 【解析】4.16D 【解析】對(duì)于：S8S3a4a5a6a7a85a60，S5S6，又d0，S5S6為最大，故A正確；對(duì)于：根據(jù)等差中項(xiàng)知正確；對(duì)于：d0，點(diǎn)(n，Sn)分布在開口向上的拋物線，故Sn中一定有最小的項(xiàng)，

25、故正確；而akak+1d，akak-1d，且d0，故為假命題.三、解答題17【解】（）設(shè)an的公差為d，由已知條件，解出a13，d2所以ana1(n1)d2n5（）Snna1dn24n(n2)24，所以n2時(shí)，Sn取到最大值418【解】()由已知得an+1an1，即an+1an1，又a11，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，故an1(a1)×1n.()由（）知：ann從而bn+1bn2n.bn(bnbn-1)(bn-1bn-2)（b2b1）b12n-12n-2212n1.因?yàn)閎n·bn+2b(2n1)(2n+21)(2n-11)2(22n+22n+22n1)(22n+222n+11)5·2n4·2n2n0,所以bn·bn+2b.19【解】（）由an，n2，3，4，.整理得1an(1an-1)又1a10，所以1an是首項(xiàng)為1a1，公比為的等比數(shù)列，得an1(1a1)()n-1，（）由（）可知0an，故bn0那么，bn+1