MATLAB矩陣分析與處理(matlab全課件教程)

1、第第3章章 MATLAB矩陣分析與處理矩陣分析與處理3.1 特殊矩陣特殊矩陣3.2 矩陣結(jié)構(gòu)變換矩陣結(jié)構(gòu)變換3.3 矩陣求逆與線性方程組求解矩陣求逆與線性方程組求解3.4 矩陣求值矩陣求值3.5 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量3.6 矩陣的超越函數(shù)矩陣的超越函數(shù)3.1 特殊矩陣特殊矩陣3.1.1 通用的特殊矩陣通用的特殊矩陣常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：zeros：產(chǎn)生全：產(chǎn)生全0矩陣矩陣(零矩陣零矩陣)。ones：產(chǎn)生全：產(chǎn)生全1矩陣矩陣(幺矩陣幺矩陣)。eye：產(chǎn)生單位矩陣。：產(chǎn)生單位矩陣。rand：產(chǎn)生：產(chǎn)生01間均勻分布的隨機矩陣。間均勻

2、分布的隨機矩陣。randn：產(chǎn)生均值為：產(chǎn)生均值為0，方差為，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機矩陣。分布隨機矩陣。例例3.1 分別建立分別建立33、32和與矩陣和與矩陣A同樣大小的零同樣大小的零矩陣。矩陣。(1) 建立一個建立一個33零矩陣。零矩陣。zeros(3) (2) 建立一個建立一個32零矩陣。零矩陣。zeros(3,2) (3) 設(shè)設(shè)A為為23矩陣，則可以用矩陣，則可以用zeros(size(A)建立建立一個與矩陣一個與矩陣A同樣大小零矩陣。同樣大小零矩陣。A=1 2 3;4 5 6; %產(chǎn)生一個產(chǎn)生一個23階矩陣階矩陣Azeros(size(A) %產(chǎn)生一個與矩陣產(chǎn)生一個與矩陣

3、A同樣大小的同樣大小的零矩陣零矩陣?yán)?.2 建立隨機矩陣：建立隨機矩陣：(1) 在區(qū)間在區(qū)間20,50內(nèi)均勻分布的內(nèi)均勻分布的5階隨機矩陣。階隨機矩陣。(2) 均值為均值為0.6、方差為、方差為0.1的的5階正態(tài)分布隨機矩陣。階正態(tài)分布隨機矩陣。命令如下：命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)此外，常用的函數(shù)還有此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成重新排成mn的二維矩陣。的二維矩陣。例例3.2 建立隨機矩陣：建立隨機矩陣：(1) 在

4、區(qū)間在區(qū)間20,50內(nèi)均勻分布的內(nèi)均勻分布的5階隨機矩陣。階隨機矩陣。(2) 均值為均值為0.6、方差為、方差為0.1的的5階正態(tài)分布隨機矩陣。階正態(tài)分布隨機矩陣。命令如下：命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)此外，常用的函數(shù)還有此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成重新排成mn的二維矩陣。的二維矩陣。3.1.2 用于專門學(xué)科的特殊矩陣用于專門學(xué)科的特殊矩陣 (1) 魔方矩陣魔方矩陣魔方矩陣有一個有趣的性質(zhì)，其每行、每魔方矩陣有一個有

5、趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等。對于列及兩條對角線上的元素和都相等。對于n階魔方陣，其元素由階魔方陣，其元素由1,2,3,n2共共n2個整數(shù)個整數(shù)組成。組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個，其功能是生成一個n階魔方陣。階魔方陣。例例3.3 將將101125等等25個數(shù)填入一個個數(shù)填入一個5行行5列的列的表格中，使其每行每列及對角線的和均為表格中，使其每行每列及對角線的和均為565。M=100+magic(5) (2) 范得蒙矩陣范得蒙矩陣范得蒙范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為矩陣最后一列全為1，倒數(shù)

6、第二列為一個指定的向量，其他各列倒數(shù)第二列為一個指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點乘積?？梢杂檬瞧浜罅信c倒數(shù)第二列的點乘積?？梢杂靡粋€指定向量生成一個范得蒙矩陣。在一個指定向量生成一個范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)中，函數(shù)vander(V)生成以向量生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如，為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如，A=vander(1;2;3;5)即可得到上述范得蒙矩即可得到上述范得蒙矩陣。陣。(3) 希爾伯特矩陣希爾伯特矩陣在在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是是hilb(n)。使用一般方法求逆會因為原始數(shù)據(jù)的微小使用一般方法求逆會因為原始

7、數(shù)據(jù)的微小擾動而產(chǎn)生不可靠的計算結(jié)果。擾動而產(chǎn)生不可靠的計算結(jié)果。MATLAB中，有一個專門求希爾伯特矩陣的逆的函中，有一個專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)數(shù)invhilb(n)，其功能是求，其功能是求n階的希爾伯特矩階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。陣的逆矩陣。例例3.4 求求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。命令如下：命令如下：format rat %以有理形式輸出以有理形式輸出H=hilb(4)H=invhilb(4) (4) 托普利茲矩陣托普利茲矩陣托普利茲托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外，矩陣除第一行第一列外，其他每個元素都與左上角的元素相同。生其他每個元素都

8、與左上角的元素相同。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是成托普利茲矩陣的函數(shù)是toeplitz(x,y)，它，它生成一個以生成一個以x為第一列，為第一列，y為第一行的托普為第一行的托普利茲矩陣。這里利茲矩陣。這里x, y均為向量，兩者不必等均為向量，兩者不必等長。長。toeplitz(x)用向量用向量x生成一個對稱的托普生成一個對稱的托普利茲矩陣。例如利茲矩陣。例如T=toeplitz(1:6) (5) 伴隨矩陣伴隨矩陣MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p)，其中，其中p是一個多項式的系數(shù)向是一個多項式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪

9、排在后。例如，為了求多項式的例如，為了求多項式的x3-7x+6的伴隨矩陣，的伴隨矩陣，可使用命令：可使用命令：p=1,0,-7,6;compan(p) (6) 帕斯卡矩陣帕斯卡矩陣我們知道，二次項我們知道，二次項(x+y)n展開后的系數(shù)隨展開后的系數(shù)隨n的增大組成一個三角形表，稱為楊輝三角的增大組成一個三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡卡(Pascal)矩陣。函數(shù)矩陣。函數(shù)pascal(n)生成一個生成一個n階階帕斯卡矩陣。帕斯卡矩陣。例例3.5 求求(x+y)5的展開式。的展開式。在在MATLAB命令窗口，輸入命令：命令窗口，輸入

10、命令：pascal(6)矩陣次對角線上的元素矩陣次對角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展即為展開式的系數(shù)。開式的系數(shù)。3.2 矩陣結(jié)構(gòu)調(diào)整變換矩陣結(jié)構(gòu)調(diào)整變換3.2.1 對角陣與三角陣對角陣與三角陣1對角陣對角陣只有對角線上有非只有對角線上有非0元素的矩陣稱為對角矩元素的矩陣稱為對角矩陣，對角線上的元素相等的對角矩陣稱為陣，對角線上的元素相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣，對角線上的元素都為數(shù)量矩陣，對角線上的元素都為1的對角矩的對角矩陣稱為單位矩陣。陣稱為單位矩陣。 (1) 提取矩陣的對角線元素提取矩陣的對角線元素設(shè)設(shè)A為為mn矩陣，矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣函數(shù)用于提取矩陣A主對

11、角線元主對角線元素，產(chǎn)生一個具有素，產(chǎn)生一個具有min(m,n)個元素的列向量。個元素的列向量。diag(A)函數(shù)還有一種形式函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第，其功能是提取第k條條對角線的元素。對角線的元素。(2) 構(gòu)造對角矩陣構(gòu)造對角矩陣設(shè)設(shè)V為具有為具有m個元素的向量，個元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個將產(chǎn)生一個mm對對角矩陣，其主對角線元素即為向量角矩陣，其主對角線元素即為向量V的元素。的元素。diag(V)函數(shù)也有另一種形式函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個，其功能是產(chǎn)生一個nn(n=m+|k|)對角陣，其第對角陣，其第k條對角線的元素即為向量

12、條對角線的元素即為向量V的元素。的元素。例例3.6 先建立先建立55矩陣矩陣A，然后將，然后將A的第一行的第一行元素乘以元素乘以1，第二行乘以，第二行乘以2，第五行乘，第五行乘以以5。A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;.11,18,25,2,19;D=diag(1:5);D*A %用用D左乘左乘A，對，對A的每行乘以一個指定常數(shù)的每行乘以一個指定常數(shù)2三角陣三角陣三角陣又進一步分為上三角陣和下三角陣，三角陣又進一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對角線以下的元所謂上三角陣，即矩陣的對角線以下的元素全為素全為0

13、的一種矩陣，而下三角陣則是對角的一種矩陣，而下三角陣則是對角線以上的元素全為線以上的元素全為0的一種矩陣。的一種矩陣。 (1) 上三角矩陣上三角矩陣求矩陣求矩陣A的上三角陣的的上三角陣的MATLAB函數(shù)是函數(shù)是triu(A)。triu(A)函數(shù)也有另一種形式函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功能是，其功能是求矩陣求矩陣A的第的第k條對角線以上的元素。例如，提取條對角線以上的元素。例如，提取矩陣矩陣A的第的第2條對角線以上的元素，形成新的矩陣條對角線以上的元素，形成新的矩陣B。(2) 下三角矩陣下三角矩陣在在MATLAB中，提取矩陣中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)的下三角矩陣的函數(shù)是是tr

14、il(A)和和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)函數(shù)triu(A)和和triu(A,k)完全相同。完全相同。3.2.2 矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)1矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置運算符是單撇號轉(zhuǎn)置運算符是單撇號()。2矩陣的旋轉(zhuǎn)矩陣的旋轉(zhuǎn)利用函數(shù)利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣將矩陣A旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)90的的k倍，倍，當(dāng)當(dāng)k為為1時可省略。時可省略。 3矩陣的左右翻轉(zhuǎn)矩陣的左右翻轉(zhuǎn)對矩陣實施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列對矩陣實施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，換，依次類推。，依次類推。MATL

15、AB對矩陣對矩陣A實實施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A)。4矩陣的上下翻轉(zhuǎn)矩陣的上下翻轉(zhuǎn)MATLAB對矩陣對矩陣A實施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是實施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。3.3 矩陣求逆與線性方程組求解矩陣求逆與線性方程組求解3.3.1 矩陣的逆與偽逆矩陣的逆與偽逆對于一個方陣對于一個方陣A，如果存在一個與其同階的方陣，如果存在一個與其同階的方陣B，使得：使得：AB=BA=I (I為單位矩陣為單位矩陣)則稱則稱B為為A的逆矩陣，當(dāng)然，的逆矩陣，當(dāng)然，A也是也是B的逆矩陣。的逆矩陣。求一個矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出求一個矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯，但

16、在錯，但在MATLAB中，求一個矩陣的逆非常容易。中，求一個矩陣的逆非常容易。求方陣求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。如果矩陣如果矩陣A不是一個方陣，或者不是一個方陣，或者A是一個非滿秩的是一個非滿秩的方陣時，矩陣方陣時，矩陣A沒有逆矩陣，但可以找到一個與沒有逆矩陣，但可以找到一個與A的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣A同型的矩陣同型的矩陣B，使得：，使得：ABA=ABAB=B此時稱矩陣此時稱矩陣B為矩陣為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在在MATLAB中，求一個矩陣偽逆的函數(shù)是中，求一個矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。3.3.2 用矩陣求逆方法求解線性方程

17、組用矩陣求逆方法求解線性方程組在線性方程組在線性方程組Ax=b兩邊各左乘兩邊各左乘A-1，有，有A-1Ax=A-1b由于由于A-1A=I，故得，故得x=A-1b例例3.8 用求逆矩陣的方法解線性方程組。用求逆矩陣的方法解線性方程組。命令如下：命令如下：A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; b=5,-2,6; x=inv(A)*b也可以運用左除運算符也可以運用左除運算符“”求解線性代數(shù)方程組。求解線性代數(shù)方程組。3.4 矩陣求值矩陣求值3.4.1 方陣的行列式方陣的行列式把一個方陣看作一個行列式，并對其按行把一個方陣看作一個行列式，并對其按行列式的規(guī)則求值，這個值就稱為所對應(yīng)的列式的規(guī)則求

18、值，這個值就稱為所對應(yīng)的行列式的值。在行列式的值。在MATLAB中，求方陣中，求方陣A所所對應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是對應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是det(A)。3.4.2 矩陣的秩與跡矩陣的秩與跡1矩陣的秩矩陣的秩矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。2矩陣的跡矩陣的跡矩陣的跡等于矩陣的對角線元素之和，也矩陣的跡等于矩陣的對角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，中，求矩陣的跡的函數(shù)是求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。3.4.3 向量和矩陣的范數(shù)向量和

19、矩陣的范數(shù)矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣或向量在矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣或向量在某種意義下的長度。范數(shù)有多種方法定義，某種意義下的長度。范數(shù)有多種方法定義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。其定義不同，范數(shù)值也就不同。1向量的向量的3種常用范數(shù)及其計算函數(shù)種常用范數(shù)及其計算函數(shù)在在MATLAB中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：(1) norm(V)或或norm(V,2)：計算向量：計算向量V的的2范數(shù)。范數(shù)。(2) norm(V,1)：計算向量：計算向量V的的1范數(shù)。范數(shù)。(3) norm(V,inf)：計算向量：計算向量V的的范數(shù)。范數(shù)。2矩陣的范數(shù)及其計算函數(shù)矩陣的范數(shù)及其計算函

20、數(shù)MATLAB提供了求提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。相同。3.4.4 矩陣的條件數(shù)矩陣的條件數(shù)在在MATLAB中，計算矩陣中，計算矩陣A的的3種條件數(shù)的種條件數(shù)的函數(shù)是：函數(shù)是：(1) cond(A,1) 計算計算A的的1范數(shù)下的條件數(shù)。范數(shù)下的條件數(shù)。(2) cond(A)或或cond(A,2) 計算計算A的的2范數(shù)范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)。數(shù)下的條件數(shù)。(3) cond(A,inf) 計算計算A的的 范數(shù)下的條件范數(shù)下的條件數(shù)。數(shù)。3.5 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量在在MATLAB中，計算矩陣中，計算矩陣A的特征值和特的特征值和特征向量的函數(shù)是征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有，常用的調(diào)用格式有3種：種：(1) E=eig(A)：求矩陣：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)的全部特征值，構(gòu)成向量成向量E。(2) V,D=eig(A)：求矩陣：求矩陣A的全部特征值，的全部特征值，構(gòu)成對角陣構(gòu)成對角陣D，并求，并求A的特征向量構(gòu)成的特征向量構(gòu)成V的的列向量。