基本不等式專題---完整版(非常全面)

1、.基本不等式專題輔導(dǎo)一、知識點(diǎn)總結(jié)1、基本不等式原始形式（ 1）若 a, bR ，則 a 2b22ab（ 2）若 a, bR ，則 aba 2b 222、基本不等式一般形式（均值不等式）若 a,b R *，則 a b2ab3、基本不等式的兩個(gè)重要變形（ 1）若 a, bR* ，則 abab22（ 2）若 a, bR*a b，則 ab2總結(jié)：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，它們的和有最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，它們的積有最小值；特別說明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“=”4、求最值的條件： “一正，二定，三相等”5、常用結(jié)論（ 1）若 x0 ，則 x12 ( 當(dāng)且僅當(dāng) x1時(shí)取“ =”）x12

2、( 當(dāng)且僅當(dāng) x1 時(shí)取“=”）（ 2）若 x 0 ，則 xx（ 3）若 ab0 ，則 ab2( 當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“=”）baR ，則 ab ( a b )222（ 4）若 a, bab22（ 5）若 a, b*1ababa 2b2R ，則1122ab特別說明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)取“ =”6、柯西不等式（ 1）若 abc, ,d R ，則 ( a2b2 )(c2d 2 )( acbd) 2（ 2）若 a1 ,a2 , a3,b1 , b2 ,b3R ，則有：(a12a2 2a32 )(1b12b22b3 2 ) (a1b1a2b2a3b3 )2（ 3）設(shè) a1 , a2 , ,

3、 an與 b1 , b2 , bn 是兩組實(shí)數(shù)，則有(a12a22an 2 ) ( b12b22bn2 )(a1b1a2b2an bn ) 2二、題型分析題型一：利用基本不等式證明不等式1、設(shè) a,b 均為正數(shù)，證明不等式:ab 211ab2 、 已 知 a, b, c 為 兩 兩 不 相 等 的 實(shí) 數(shù) ， 求 證 ：a 2b 2c2abbcca3、已知 abc1，求證： a2b2c2134、已知a, b, cR， 且abc1 ， 求 證 ：(1a)(1b)(1c)8a b c5、已知a, b, cR， 且abc1 ， 求 證 ：1111118abc;.6、（ 2013 年新課 標(biāo) 卷數(shù)學(xué)（

4、理） 選 修 4 5：不等式選 講題型二：利用不等式求函數(shù)值域設(shè) a,b, c 均為正數(shù) , 且 a bc 1,證明:1、求下列函數(shù)的值域（ 1） y 3x 21（ 2） y x(4 x)( )ab bc ca1 ; ()a2b2c21.2x23bca（ 3） y x1 ( x 0)（ 4） y x1 ( x 0)xx題型三：利用不等式求最值（一）（湊項(xiàng)）41、已知 x2 ，求函數(shù) y2x4的最小值；2x4（ 2013年江蘇卷（數(shù)學(xué)）選 修 4 5：不等式選 講7、已知 ab 0 ，求證 : 2a3b32ab2a 2b4變式 1：已知 x2 ，求函數(shù) y2x的最小值；2x44變式 2：已知 x

5、2 ，求函數(shù) y2x的最大值；2x4;.練習(xí)： 1、已知 x5 ，求函數(shù) y 4 x 21的最小值；2、若 0x 2 ，求 yx(6 3x) 的最大值；44x52、已知 x5 ，求函數(shù)y 4 x 21的最大值；變式 ：若 0 x4 ，求 yx(8 2x) 的最大值；44 x5題型四：利用不等式求最值（二）（湊系數(shù)）3、求函數(shù) y2x 1 5 2 x ( 1x5) 的最大值；1、當(dāng)時(shí)，求 y x(82 x) 的最大值；22（提示：平方，利用基本不等式）變式 1：當(dāng)時(shí)，求 y4x(82x) 的最大值；變式：求函數(shù) y4x 3 11 4 x(3x11) 的最大值；44變式 2：設(shè) 0 x34x(3

6、2x) 的最大值。，求函數(shù) y2;.題型五：巧用“ 1”的代換求最值問題變式 4：已知 x, y0，且 194 ，求 xy 的最小值；1、已知 a, b 0, a 2b 1 ，求 t11的最小值；xyab法一：變式 5：法二：0 且 2 xy1，求 11（ 1）若 x, y的最小值；xy（ 2）若 a,b, x, y R且 ab1 ，求 xy 的最小值；xy變式 1：已知 a,b0, a2b2，求 t11 的最小值；ab變式 6：已知正項(xiàng)等比數(shù)列 an滿足： a7a6 2a5 ，若變式 2：已知 x, y 0, 281 ，求 xy 的最小值；4a114xy存在兩項(xiàng) am, an ，使得 ama

7、n，求的最小值；mn變式 3：已知 x, y0 ，且 119 ，求 xy 的最小值。xy;.題型六：分離換元法求最值（了解）題型七：基本不等式的綜合應(yīng)用x27x 101、已知 log 2 alog 2 b 1 ，求 3a9b 的最小值1、求函數(shù) yx 1( x1) 的值域；變式： 求函數(shù) yx28 ( x 1) 的值域；2、（ 2009 天津）已知 a, b0 ，求11x1a2 ab 的最小值；bx2變式 1：（2010 四川）如果 a b0 ，求關(guān)于 a,b 的表達(dá)2、求函數(shù) y5的最大值；（提示：換元法）2x式 a2 11的最小值；aba(ab)x1的最大值；變式： 求函數(shù) y變式 2：（

8、2012 湖北武漢診斷）已知，當(dāng)a 0, a 1 時(shí)，4x9函數(shù) ylog a (x1) 1 的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn) A在直線 mxy n0 上，求 4m2n 的最小值；;.3、已知 x, y0 ， x2 y2xy8 ，求 x2 y 最小值；變式 1：已知 a,b0 ，滿足 abab3 ，求 ab 范圍；變式 2：（ 2010 山東） 已知 x, y0 ，111 ，2x2 y3求 xy 最大值；（提示：通分或三角換元）變式 3：（ 2011 浙江） 已知 x, y0 ， x2y2xy1，求 xy 最大值；4 、（ 2013年 山 東 （ 理 ） 設(shè) 正 實(shí) 數(shù) x, y, z 滿 足x23xy

9、4 y2z0 , 則 當(dāng) xy取得最大值z時(shí) ,212的最大值為（）xyzA 0B 1C9D 34（提示：代入換元, 利用基本不等式以及函數(shù)求最值）變式： 設(shè) x, y, z 是正數(shù)，滿足x2 y3z0 ，求 y2 的xz最小值；;.題型八：利用基本不等式求參數(shù)范圍題型九：利用柯西不等式求最值1、（ 2012 沈陽檢測） 已知 x, y0 ，且 ( xy)( 1a )91、二維柯西不等式(a , b, c, dR , 當(dāng)且僅當(dāng) ab ；即 adbc時(shí)等號成立 )xyacd恒成立，求正實(shí)數(shù)的最小值；若 a, b, c, dR ，則 ( a2b2 )(c2d 2 )(ac bd ) 22、二維形式

10、的柯西不等式的變式(1) a2b2c2d 2acbd(a , b, c, dR , 當(dāng)且僅當(dāng) ab ；即 adbc時(shí)等號成立 )cd( 2) a2b2c2d 2ac bd2、已知 xy z0 且11n恒成立，(a , b, c, dR , 當(dāng)且僅當(dāng) ab ；即 adbc時(shí)等號成立 )x yy zx zcd如果 n N，求 n 的最大值；（參考： 4）(3)(ab)(cd )( acbd ) 2（提示：分離參數(shù)，換元法）(a , b, c, d0, 當(dāng)且僅當(dāng) ab ；即 adbc時(shí)等號成立 )cd3、二維形式的柯西不等式的向量形式(當(dāng)且僅當(dāng)0, 或存在實(shí)數(shù) k , 使 ak時(shí) ,等號成立 )4、

11、三維柯西不等式若 a1 ,a2 , a3 , b1, b2 ,b3R ，則有：變式：已知 a,b0滿則 142 ，若 a bc 恒成立，( a12a22a32 )(1b12b22b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3) 2求 c 的取值范圍；aba1a2a3( ai ,biR , 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立 )b1b2b35、一般 n 維柯西不等式設(shè) a1 ,a2 , an與 b1 ,b2 ,bn 是兩組實(shí)數(shù)，則有:( a12a22an 2 ) ( b12b22bn2 )( a1b1a2b2a nbn ) 2;.(ai , bi R , 當(dāng)且僅當(dāng) a1a2an 時(shí)等號成立 )b1b2bn題型分析題

12、型一：利用柯西不等式一般形式求最值（ 2013 年湖南卷（理） ）已知 a,b,c,a 2b3c 6,4、1、設(shè) x, y, zR ，若 x2y2z24，則 x 2y2z 的最小值為時(shí)， ( x, y, z)則 a24b29c2 的最小值是(Ans:12 )析： (x2y2 ) 2(x2y2z2 )12(2) 222 z4936 x2y2z 最小值為6此時(shí) xyz622212212( 2)23 x24， z43， y332、設(shè) x, y, zR ， 2xy 2z 6 ，求 x2y2z2 的最小值 m ，并求此時(shí) x, y, z之值。5 、（ 2013年 湖 北 卷 （ 理 ） 設(shè) x, y, zR,且滿Ans ： m4; (x, y, z)( 4 ,2 ,4)3 3 3足 : x2y2z21 , x 2 y 3z1