小專題一矩形中的折疊問題

1、小專題（一）矩形中的折疊問題【例】（連云港中考）在矩形ABCD中，將點(diǎn)A翻折到對角線 BD上的點(diǎn)M處，折痕BE交AD于點(diǎn)E.將點(diǎn)C翻折到對角線BD上的點(diǎn)N處，折痕DF交BC于點(diǎn)F.（1）求證：四邊形 BFDE為平行四邊形；AE0ABfC（2）若四邊形BFDE為菱形，且 AB= 2，求BC的長.【思路點(diǎn)撥】證厶ABEA CDF推出AE= CF,求出DE= BF, DE/ BF,根據(jù)平行四邊形判定推出即可；（2）求出/ ABE= 30°,根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出AE、BE,即可求出答案.【方法歸納】解決有關(guān)矩形的折疊問題時(shí)，通常方法是利用根據(jù)矩形的性質(zhì)、折疊的對稱性及勾股定理求解.A針對訓(xùn)

2、練11.如圖,A . 122.如圖，將紙片折疊，使點(diǎn) B落在紙片上的點(diǎn)A . 5個(gè)B. 4個(gè)已知矩形紙片 ABCD點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn)，/ BEG= 60° .現(xiàn)沿直線 GEBEG相等的角的個(gè)數(shù)為（）D. 2個(gè)3.如圖，將矩形 ABCD沿直線EF對折，點(diǎn)D恰好與BC邊上的點(diǎn) 的度數(shù)等于.H 重合，/ GFA 62°，那么/ EHF4. 把一張矩形紙片（矩形ABCD按如圖方式折疊，使頂點(diǎn) B和點(diǎn)BC= 5 cm,則重疊部分 DEF的面積是 cm2.D重合，折痕為 EF.若AB= 3 cm ,在矩形 ABCD中, AB= 8, BC= 4,將矩形沿 AC折疊，則

3、重疊部分 AFC的面積為（）B. 10C. 8D. 65.如圖,(1)FC折疊矩形一邊 AD,點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，BC= 10 cm, AB= 8 cm，求: 的長；(2)EF 的長.6.如圖，四邊形 ABCD為平行四邊形紙片.把紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B恰好落在CD邊上，折痕為AF,且 AB= 10 cm, AD= 8 cm , DE= 6 cm.（1）求證：平行四邊形 ABCD是矩形；求BF的長;求折痕AF長.7.將矩形 OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0, 4)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m, 0)(m > 0)，點(diǎn)D(m, 1)在BC上，將矩形OABC沿AD折疊壓平，使點(diǎn) B落

4、在坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E.(1)當(dāng)m= 3時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)和點(diǎn)E的坐標(biāo)；(自己重新畫圖)(2) 隨著m的變化，試探索：點(diǎn) E能否恰好落在x軸上？若能，請求出 m的值；若不能，請說明 理由.&如圖，矩形 ABCD中, AB= 8, AD= 10.(1)求矩形ABCD勺周長；E 是CD上的點(diǎn)，將 ADE沿折痕AE折疊，使點(diǎn) D落在BC邊上點(diǎn)F處.求DE的長；點(diǎn)P是線段CB延長線上的點(diǎn)，連接 卩人若厶PAF是等腰三角形，求 PB的長.(3) M 是AD上的動(dòng)點(diǎn)，在 DC上存在點(diǎn)叫使厶MDN&折痕MN折疊，點(diǎn)D落在BC邊上點(diǎn)T處，求 線段CT長度的最大值與最小值之和.參考答案

5、【例】 證明：四邊形 ABCD是矩形，./ A=Z C= 90°, AB= CD AB/ CD./ ABD=Z CDB. / ABE=Z CDF.1 1由折疊的性質(zhì)可得：/ ABE=Z EBD=/ ABD / CDF=/ CDB/ A=Z G在厶 ABE和 CDF中， AB= CD,/ ABE=Z CDF ABEm CDF(ASA) AE= CF.四邊形 ABCD是矩形， AD= BC, AD/ BC. DE= BF, DE/ BF,四邊形BFDE為平行四邊形.(2)v四邊形BFDE為菱形, BE= ED, / EBD=Z FBD=Z ABE.四邊形ABCD是矩形, AD= BC,

6、/ ABC= 90° / ABE= 30° ./ A= 90° , AB= 2,設(shè) AE= x , BE= 2x. 根據(jù)勾股定理得AE= , 3x. x = ,即 AE= ®BE = ®333BC= AD= AE+ ED= AE+ BE=2 ,33 +針對訓(xùn)練1.B2.A3.56 °4.5.15. (1)由題意可得 AF= AD= 10 cm,在 Rt ABF 中，AB= 8 cm , BF= 6 cm. FC= BC BF= 10 6= 4(cm).(2)由題意可得 EF= DE可設(shè)DE的長為x ,則在 Rt EFC 中，(8 x)

7、 + 4 = x ,解得x= 5 ,即EF的長為5 cm.6. (1)證明：把紙片 ABC斷疊,使點(diǎn)B恰好落在CD邊上, AE= AB= 10 , AE= 102= 100.又 AD+ dE= 82+ 62= 100 , aD+ dE= aE". ADE是直角三角形，且/ D= 90° .又四邊形 ABCD為平行四邊形，平行四邊形 ABCD是矩形.FC= BC BF= 8 x ,(2)設(shè) BF= x,貝U EF= BF= x , EC= CD- DE= 10 6= 4(cm), 在 Rt EFC中,eC+ f6= EF,即 42 + (8 x)2= x2 , 解得x= 5.

8、故 BF= 5 cm.(3)在Rt ABF中，由勾股定理得 Ah+ BF2= aFT AB= 10 cm , BF= 5 cm ,. AFu-JlO? + 5 = 5 5(cm).7. (1)如圖，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3 , 4)./ AB= BD= 3,/ BAD= 45° .則/ DAE=Z BAD= 45° .貝U E在 y 軸上.AE= AB= BD= 3, 四邊形ABDE是正方形，OE= 1.則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,1).(2)點(diǎn)E能恰好落在x軸上.理由如下：四邊形 OABC為矩形， BC= OA= 4，/ AOC=Z DCE= 90° 由折疊的性質(zhì)可得：DE=

9、BD= OA-CD= 4 1= 3, AE= AB= OC= m.假設(shè)點(diǎn)E恰好落在x軸上，在Rt CDE中，由勾股定理可得 EC= ,DE CD= 32 12 = 2 2.則有 OE= OC CE= m- 2 2.在 Rt AOE中，OA+ OE= aE.即 42+ (m 2yJ2)2=吊，解得 m= 32.8. (1)周長為 2X (10 + 8) = 36. 四邊形 ABCD是矩形，由折疊對稱性得 AF= AD= 10，F(xiàn)E= DE. 在Rt ABF中，由勾股定理得 BF= 6，. FC= 4.在 Rt ECF中,42 + (8 DE)2= EF2，解得 DE= 5.分三種情形討論：若 AP= AF，t AB丄PF，. PB= BF= 6;若 PF= AF，貝U