高等動(dòng)力學(xué)習(xí)題附答案

1、漩-B習(xí)題12-8侶區(qū)圖12-8機(jī)構(gòu)如圖，已知OA = OiB = l, OiB_LOOi,力偶矩M。試求機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時(shí)， 力F的大小解：應(yīng)用虛位移原理：F，arB-M ,貿(mào)=0如圖所示，VaSinB = Ne；其中：*a =l汨；所以：l 89 sinB =sin8 arB,代入式（1）得：F =Ml12- 13在圖示結(jié)構(gòu)中，已知 F = 4kN , q = 3kN/mM = 2kN m, BD = CD , AC = CB = 4m,9 = 306 試求固定端A處的約束力偶Ma與鉛垂方向的約束力 FAyo解：解除A處約束力偶，系統(tǒng)的虛位移如圖（ a）。M a 瀘 +2q 汗F sin

2、 8 訊=0 (1)其中：ar =1 ,沸；SrC = SrD = SrB =4 代入式（1）得：（M a +2q 4F sin 6）漕=0M a =4Fsin r -2q =2kN m解除A處鉛垂方向位移的 約束，系統(tǒng)的虛位移如圖（b）。 應(yīng)用虛位移原理：FAy SrA Fcos2 arD +M 部BC =0 (2)其中：aA = srC =4cos 洲BC ； aD = 2 洲BC代入式(2)得：(FAy 4cosBFcos2B，2 + M )湃 Bc=° ； FAy1 F -M 0.577 kN4cos30例圖d；系統(tǒng)物塊C質(zhì)帝為m*均質(zhì)輪B質(zhì)吊均為半祥均為X囚作純滾 動(dòng)，求系

3、統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方林，解系笑n有一自山度，保守系統(tǒng)，以物塊瑣平衡位置為嶂點(diǎn)，取X為廣義坐標(biāo)：7777777777,丁=：處尸+： /筋；+!; s=-/?/ X2 +-)2 + -Z7/-)2 +2 122 2 2R 2 - 2Or-Ux=（8/ZL + 71612以平倒位置為不力勢能零點(diǎn),，弟簧原長處為彈性勢能零點(diǎn),則v=!"，+；）”x0無一靜止平衡時(shí)彈簧的伸長右恣切ori|± 靜止平衡時(shí)有：澎可=2將1VL = T-V =一（8叫 4-7m.）x2 k（6、 -F-）2 +，叫g(shù)x16-22* = ：（8叫 +7m.）ig* = ：（84 +7.iox 8dt ox 8d

4、L.z c xx 11 ._ = -（Ju+-）-4-/71=- ox2 24代入涵氏方程4%字=0（8七+7n片+ 2奴=0dt ox ox鑰7,一長盼的輕桿，現(xiàn)端各固結(jié)有質(zhì)量分別為膽和2m的質(zhì)點(diǎn)，置于半 徑為面光滑球形碗內(nèi)。用虛功原理求平衡時(shí)桿的位置。解：設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)分別叫,凹改曲，力學(xué) 體系只有一個(gè)自由度，取。為廣義承標(biāo)。由虛功原理得：8A =+ 2m3y2 =0 (1)由于桿長為岳,圖中的三角形為等腰直角三角形，則a = °變換為廣義坐標(biāo)yx =rsina = rsiny2 = rcos ->= fcos 死。、Sy： =-rsin6e（2）（2）代入:nigrce

5、s 伐汨-2mgrsin 0S6 = 0-> （mgr cos G 2/ngrsin 6）60 = 0石河于大字*理系段保律11T mgr cos 0- 2mgr sin 3 = 0 T cos。= 2sin 8.Jg = 5例：濃搜：tlfi： m、R；軸：r (不計(jì)m) 0 求滾擺的運(yùn)動(dòng)微分方程.辛解;件0； qHsl ar 1 小 r1"瓦=云勺次2+不)6 -O-6定常保守系統(tǒng)：H = T= mx2 + mR2()2 -mgx24 r>p:D1QX m(2 +R")“于是： p =(2)dxR?由式(1)(2)得： A：(l+) g二0一滾擺的運(yùn)動(dòng)微分方

6、程2r此題無循環(huán)積分.有能量積分：H=7+/=const設(shè)開始系統(tǒng)靜止，則T=0，SO,.H =T +【，= mx2 + -湖2( _=o.注意：有無循環(huán)坐標(biāo)要看、P,(哈氏變量)，不要掉了0廠、例5兩均質(zhì)桿為8】與為82各長小1,各幣R、Pv放在如圖位置，接觸處均光滑。求平衙時(shí)的91、代關(guān)系。解：系統(tǒng)為一自由度(1)W析法建立如圖坐標(biāo),則為=cos(px 3(p% = M sin 代，亟=j cos / 溯2(一已;cos 們十 R COS 牲 )際=o22 l2 sin(p2,:兇、小.( ) = 0平衡"笠"的cos 伊， * cos(p或tan。_匕tan 飽 R5

7、-27質(zhì)量為mi的滑塊Ml可沿光滑水平面滑動(dòng)，質(zhì)量為m2的小球M2用長為l的桿AB與滑塊連接，桿可繞軸 A轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。若忽略桿的重量，試求系統(tǒng)的首次積分。解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象， 該系統(tǒng)有二個(gè)自由度， 取滑塊的位移X,以及桿AB與鉛垂方向的夾 角中為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)能為：vB212=mx21. 2. 2-m2( lcos *)2( l sin )212. .12. 2=-(m1 m2)xm2l cos x-m2l設(shè)中=0時(shí)勢能為零，系統(tǒng)的勢能為： V = m2gl (1 - cos中)拉格朗日函數(shù)：L =T -V1 ,= _(m2-o. .1m2)xm2l cos xm2l 廠 m2g

8、l(1cos )2拉格朗日函數(shù)中不顯含廣義坐標(biāo)x和時(shí)間t,存在循環(huán)積分和廣義能量積分，即:冬=旦 = (m + m2)x + m2仰cos中=常數(shù) .x :xT +V = 1 (m +m2)x2 + m2l cos中x甲 + 1 m2l2平2 + m2gl(1 cos平)=常數(shù)225-28圖示質(zhì)量為m2的滑塊B沿與水平成傾角的光滑斜面下滑，質(zhì)量為 m1的均質(zhì)細(xì)桿 OD借助皎鏈O和螺旋彈簧與滑塊 B相連，桿長為l,彈簧的剛度系數(shù)為 k。試求系統(tǒng)的首次積分。解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，該系統(tǒng)有二個(gè)自由度， 取滑塊B沿斜面的位移s,以及桿OD與鉛垂方 向的夾角中為廣義坐標(biāo)。桿OD作平面運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的動(dòng)能

9、為:1 21/12、.212T =瑚& 頊 mJ )-m2VB2 2 122-m2s221.2.l 212 2=-m1( ssin :八)scos« : )- m1l *=1 (m1 m2)s2 _ 1 mJ scos。八) 1 m1l2 , 2226設(shè)s = 0,平=90°時(shí)勢能為零，系統(tǒng)的勢能為：k'21 ,、.1cos：注一(m1 m2)gssin :-2 2拉格朗日函數(shù)L=T-V中不顯含時(shí)間t,存在廣義能量積分，即:T V = (m1 m2) s2 _ 1 m11 scos :八)m112'222611 . 2+ m1g §cos中

10、一(m + m2)gssinak平 =常數(shù)例8圖示系統(tǒng)中，4為小球，可以視作質(zhì)點(diǎn)，王質(zhì)量為m 如為一長質(zhì)量不計(jì)的直桿，BC為長食的軟繩，"為球錢鏈，OB=b.平衡時(shí)，敦"Q4在水平技置而8。在鉛垂位置*表小球A的運(yùn) /匚-、二動(dòng)律分方程?！敖猓盒∏蚓哂幸粋€(gè)白曲度，設(shè)J的坐標(biāo)為（屯呵土），期B的坐標(biāo)為（眾出，&M，*3刀，。的坐脈為（執(zhí)仇0、約束方程為系統(tǒng)為完整系統(tǒng).解：系統(tǒng)的約束方程由Lagrange第一類方程 月-心+ £Ari - 0，:可解得："geos。/2 +"，i 辿 a(2>弓mxm. cos a七=* 二用2 +竺

11、 g sin a cos am2 + mx sin 2 a。:+7？ )gsui, am2 + /；! sui a小球受到的主動(dòng)力為重力，沿負(fù)*2軸方向，即有F = 3= 0, F2 = Mg系統(tǒng)的完整約束的個(gè)數(shù)(1=1,"=/此1. =1、二.、)代入I.agrange第一類方程4-岫+家七二°d1、3)可得-尸疽匚小八 1 = JZj Yj +I.Vj 一 I FZ22b2.h/x2 - mg + 2z4jX2 + -p"(.v2 - Jh/b %/.v3 = M v3 +M例8.2質(zhì)量為"勺的質(zhì)點(diǎn)放在傾角為“、質(zhì)筆 為巾2的三角形楔塊的斜邊上，楔塊又可在水平面 上滑動(dòng)。不計(jì)摩擦，適/t)Lagrange第一類方程求 殖點(diǎn)和枚塊的加速度以及它們所受的約束力。Mi= * tan aJ切 -= tan。Q>加J公0也。dx2中2主動(dòng)力心=0% =-?gF=0 x2烏=%g1 = y2 _ J'l _(毛 _ 旦)tan« = o A = y2 = h 1,2, 3/|得 mzX