初等數(shù)學(xué)研究ppt課件

1、整理課件1.1 數(shù)系的擴充數(shù)系的擴充整理課件“數(shù)系數(shù)系”的歷史擴展與邏輯擴展過程不同的歷史擴展與邏輯擴展過程不同 “數(shù)學(xué)史上這一系列事件的發(fā)生順序是耐數(shù)學(xué)史上這一系列事件的發(fā)生順序是耐人尋味的，數(shù)學(xué)家們并不是按照先整數(shù)、人尋味的，數(shù)學(xué)家們并不是按照先整數(shù)、分數(shù)，然后無理數(shù)、復(fù)數(shù)、代數(shù)學(xué)和微積分數(shù)，然后無理數(shù)、復(fù)數(shù)、代數(shù)學(xué)和微積分的順序，而是按照相反的順序與它們打分的順序，而是按照相反的順序與它們打交道的看來，他們進行邏輯化的工作是交道的看來，他們進行邏輯化的工作是極不情愿的極不情愿的” M.Kline 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)確定性的喪失確定性的喪失整理課件數(shù)學(xué)教育研究表明，人們認識負數(shù)比起認識無理數(shù)要容易些

2、但是，歷史有獨特的自身發(fā)展邏輯 事實上，當人們還普遍懷疑負整數(shù)也是一種數(shù)時，人們就已經(jīng)在研究正的有理數(shù)與無理數(shù)，甚至已經(jīng)開始使用復(fù)數(shù)了 整理課件“數(shù)系”的歷史擴展途徑 “數(shù)系”的邏輯擴展途徑整理課件新數(shù)產(chǎn)生的原因新數(shù)產(chǎn)生的原因數(shù)是抽象思維的產(chǎn)物真正與實體直接相關(guān)的、用日常生活經(jīng)驗可以獲得的數(shù)，只有自然數(shù)其他的數(shù)，都需要進行理性思考才能獲得數(shù)的概念產(chǎn)生于對實物的計量在漫長的史前時代，人類已經(jīng)認識了抽象的自然數(shù)隨著人類文明的進步，數(shù)的概念從實體的測量發(fā)展為抽象的存在，如從正方形對角線的測量得到脫離經(jīng)驗的“無理數(shù)”接著是代數(shù)運算的需要，因減法、開方運算的需要產(chǎn)生了負數(shù)、無理數(shù)和復(fù)數(shù)到了近代，“數(shù)”不

3、再只是單個的量的表示，人們?yōu)榱俗非筮\算的無矛盾性，接受了理想的“數(shù)”，包括復(fù)數(shù)、四元數(shù)、八元數(shù)等等整理課件“新數(shù)新數(shù)”為何最初不被承認？為何最初不被承認？不能夠測量并非非有不可不能夠理解邏輯基礎(chǔ)不清楚整理課件“新數(shù)新數(shù)”為何最終獲得承認？為何最終獲得承認？ “因為在數(shù)學(xué)中和在其他場合一樣，成功因為在數(shù)學(xué)中和在其他場合一樣，成功是最高法庭，任何人都得服從它的裁決是最高法庭，任何人都得服從它的裁決. .” D.Hilbert論無限論無限整理課件算法合理性是“新數(shù)”獲得承認的主要原因算術(shù)到代數(shù)的演進加速了數(shù)系的形成廣泛的應(yīng)用促進廣泛的承認“理想數(shù)” 的思想整理課件1.2 數(shù)系的構(gòu)造理論數(shù)系的構(gòu)造理論

4、 整理課件1.2.1自然數(shù)的定義自然數(shù)的定義自然數(shù)嚴格的抽象定義是由peano公理給出的，它刻畫了自然數(shù)的本質(zhì)屬性，并導(dǎo)出了有關(guān)自然數(shù)的所有運算和性質(zhì)。Peano公理陳述如下：（1）0是自然數(shù)；（2）每個自然數(shù)都有一個后繼，a的后繼記為a+ ；（3）沒有自然數(shù)的后繼為0；（4）不同的自然數(shù)有不同的后繼，即若a+= b+，則a= b；（5）（歸納公理）如果0有某個屬性，而且若自然數(shù)a有該屬性則a+也有該屬性，那么所有自然數(shù)都有該屬性。整理課件例 設(shè)m N, m0, 那么，必有n N使得 n+=m 證明 設(shè)集合A由所有這樣的自然數(shù)組成：它是某個自然數(shù)的后繼. 設(shè)S=0A. 顯然, 0 S. 若x

5、S, 由A的定義有x+ A, 因而x+ S . 由歸納公理知, S=N. 因此，若m N, m0, 就必有m A, 即存在n N, 使得 n+=m.該例題表明：每個不為0的自然數(shù)必為某個自然數(shù)的后繼。整理課件加法加法定義1 自然數(shù)集N上的二元運算“+”稱為加法，滿足條件：(1)對任何aN ， a+0=a(2)對任何a, bN a+b+=(a+b)+ 整理課件例 證明 2+3=5證明： 2+0=22+1=2+0+=(2+0)+=2+=32+2=2+1+=(2+1)+=3+=42+3=2+2+=(2+2)+=4+=5整理課件例 對任何aN ，證明0+a=a+0.證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明當a=0時，

6、結(jié)論顯然成立。假使a=n時，結(jié)論成立，即0+n=n+0 ，則當a=n+時 0+n+=(0+n)+=(n+0)+=n+= n+0 結(jié)論亦成立。整理課件乘法乘法定義2 自然數(shù)集N上的二元運算“”稱為乘法，滿足條件：(1)對任何aN ， a0=0(2)對任何a, bN ab+=(ab)+a 整理課件例 證明 a3=a+a+a證明:a0=0a1=a0+=(a0)+a=0+a=a+0=aa2=a1+=(a1)+a=a+aa3=a2+=(a2)+a=a+a+a整理課件運算律運算律定理2 對任何a, b, cN 有加法交換律 a+b=b+a加法結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c)加法相消律 若 a+b=a

7、+c, 則 b=c. 若 b+a=c+a, 則 b=c.乘法交換律 ab=ba乘法結(jié)合律 (ab)c=a(bc)乘法相消律 若 a0, ab=ac, 則 b=c. 若 a0, ba=ca, 則 b=c.乘法對加法分配律 a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc整理課件代數(shù)結(jié)構(gòu)代數(shù)結(jié)構(gòu)定理3 自然數(shù)集關(guān)于加法和乘法都是一個可交換的半群，0是其零元，1是其單位元。 0的負元是0，1的逆元是1，除此之外其他自然數(shù)都沒有負元和逆元。整理課件減法減法加法的相消律保證我們可以定義加法的逆運算減法。定義3 設(shè)a，bN，若存在xN，使x+b=a，則稱x=a-b.根據(jù)定義，有 (a-b)+b=a; 除

8、零元之外其他自然數(shù)都沒有負元，這說明在整數(shù)集上減法不具有封閉性。0abab整理課件例 證明不存在xN，使得x+2=1成立.證明：反證法 假使存在xN, 滿足x+2=1, 則 (x+1)+=0+ x+1=0 (x+0)+=0 x+=0 這與0不是任何自然數(shù)的后繼相矛盾。整理課件除法除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運算除法。定義4 設(shè)a，bN, b0, 若存在xN，使xb=a，則稱x= .根據(jù)定義，有 除單位元之外其他自然數(shù)都沒有逆元，這說明在自然數(shù)集上除法不具有封閉性。( )ababab1aabb整理課件例 證明不存在xN，使得x2=1成立.證明：反證法 假使存在xN, 滿足x2=1,

9、則 x+x=1 顯然x0, 可設(shè)x=y+, 所以 y+y+=1 (y+y)+)+=0+ (y+y)+=0 這與0不是任何自然數(shù)的后繼相矛盾。整理課件自然數(shù)的序關(guān)系自然數(shù)的序關(guān)系定義5 對給定的a, bN, 若存在xN，使得b=a+x, 則稱ab, 或 ba. 定理5 關(guān)系“”()是自然數(shù)集上的全序關(guān)系，即滿足自反性、反對稱性、傳遞性和強連接性。定理6 （最小自然數(shù)原理） (N, )是良序集，即N的每一個非空子集都有最小數(shù)。整理課件定理7 對任何aN, a0 定理8 若a, b, cN, 則 當ab時，a+cb+c 當ab時，acbc所以，“”() 是自然數(shù)集上的大小關(guān)系。整理課件定義6 若ab

10、, 且ab, 則稱aa.定理9 “) 也是自然數(shù)集上的大小關(guān)系。定理10（阿基米德性質(zhì)） 對于任意a，bN，a0，總存在nN，使nab.整理課件1.2.2從自然數(shù)到整數(shù)從自然數(shù)到整數(shù)定義1 NN上的關(guān)系“”規(guī)定如下：對于任意(a, b), (c, d) NN, 如果a+db+c, 則稱(a, b)(c, d). 定理1：關(guān)系“” 是NN上的一個等價關(guān)系，即滿足自反性、對稱性和傳遞性。定義2： NN按等價關(guān)系“”劃分的等價類（以(a,b)表示(a,b)所屬的等價類）叫做整數(shù)，一切整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集，記為Z.整理課件定理2 設(shè)Z+=(a,0)|aN-0 Z- =(0,a)|aN-0 則Z=

11、Z+(0,0)Z-, 且Z+, (0,0), Z-兩兩不相交.定義3 稱Z+為正整數(shù)集，稱Z-為負整數(shù)集。整理課件整數(shù)集上的運算整數(shù)集上的運算定義4（整數(shù)加法） 整數(shù)集Z上的二元運算加法“+”規(guī)定如下：對于任意(a,b),(c,d) Z, (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)上述定義是合理的，可以證明Z中的加法運算與等價類代表的選取無關(guān)。即 若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 則(a1+c1, b1+d1)(a2+c2, b2+d2).整理課件定義5 （整數(shù)乘法） 整數(shù)集Z上的二元運算加法“”規(guī)定如下：對于任意(a,b),(c,d) Z, (a

12、, b)(c, d)=(ac+bd, ad+bc)上述定義是合理的，可以證明Z中的乘法運算與等價類代表的選取無關(guān)。即 若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 則(a1c1+b1d1, a1d1+b1c1)(a2c2+b2d2, a2d2+b2c2).整理課件定理3 對任何a, b, cZ 有加法交換律 a+b=b+a加法結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c)加法相消律 若 a+b=a+c, 則 b=c. 若 b+a=c+a, 則 b=c.乘法交換律 ab=ba乘法結(jié)合律 (ab)c=a(bc)乘法相消律 若 a0,0, ab=ac, 則 b=c. 若 a0,0

13、, ba=ca, 則 b=c.乘法對加法分配律 a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc整理課件定理4 整數(shù)集是一個交換環(huán)， (a,a)是其零元， (a+1,a)是其單位元。 (a,b)的負元是(b,a),單位元的逆元是自身，除此之外其他整數(shù)都沒有逆元。整理課件減法減法加法的消去律保證我們可以定義加法的逆運算減法。定義6 設(shè)a，bZ，若存在xZ，使x+b=a，則稱x=a-b.整數(shù)都有負元保證了整數(shù)集上減法的封閉性。整理課件除法除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運算除法。定義7 設(shè)a，bZ, b(0,0), 若存在xZ，使xb=a，則稱x= .除單位元之外其他整數(shù)都沒有逆元，這說

14、明在整數(shù)集上除法不具有封閉性。ab整理課件整數(shù)集上的序關(guān)系整數(shù)集上的序關(guān)系定義8 對于任意(a, b), (c, d) Z, 如果a+db+c, 則稱(a, b)(c, d)定理5 關(guān)系“” 是整數(shù)集上的全序關(guān)系，即滿足自反性、反對稱性、傳遞性和強連接性。整理課件定理6 若a, b, cZ, 則 當ab時，a+cb+c 當ab, (0,0)c時，acbc所以，“” 是整數(shù)集上的大小關(guān)系。整理課件整數(shù)集是自然數(shù)集的擴張整數(shù)集是自然數(shù)集的擴張定理7 整數(shù)集Z是自然數(shù)集N的一個擴張，即存在一個N到Z上的一個一一映射f，使得（1）對于任意a, b N, 都有 f(a+b)=f(a)+f(b) f(ab

15、)=f(a)f(b)（2）對于任意a, b N, 若ab, 則f(a)f(b).證明：構(gòu)造f: NZ如下 f(a)=(a,0) 即可滿足定理要求。整理課件因此，以后我們可以對a與(a,0)不加區(qū)別地使用，從而有Z+=N-0. 因為(0,a)是(a,0)的負元，所以我們也用-a表示(0,a).整理課件1.2.3從整數(shù)到有理數(shù)從整數(shù)到有理數(shù) 記Z0= Z+Z-.定義1 ZZ0上的關(guān)系“”規(guī)定如下：對于任意(a, b), (c, d) ZZ0, 如果adbc, 則稱(a, b)(c, d). 定理1：關(guān)系“” 是ZZ上的一個等價關(guān)系，即滿足自反性、對稱性和傳遞性。定義2： ZZ按等價關(guān)系“”劃分的等

16、價類（以(a,b)表示(a,b)所屬的等價類）叫做有理數(shù)，一切有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集，記為Q.整理課件有理數(shù)集上的運算有理數(shù)集上的運算定義3（有理數(shù)加法）有理數(shù)集Q上的二元運算加法“+”規(guī)定如下：對于任意(a,b),(c,d) Q, (a, b)+(c, d)=(ad+bc, bd)上述定義是合理的，可以證明Q中的加法運算與等價類代表的選取無關(guān)。即 若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 則(a1d1+b1c1, b1d1)(a2d2+b2c2, b2d2).整理課件定義4 （有理數(shù)乘法）有理數(shù)集Q上的二元運算加法“”規(guī)定如下：對于任意(a,b),(c,

17、d) Q, (a, b)(c, d)=(ac, bd)上述定義是合理的，可以證明Q中的乘法運算與等價類代表的選取無關(guān)。即 若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 則(a1c1, b1d1)(a2c2, b2d2).整理課件定理2 對任何a, b, c Q 有加法交換律 a+b=b+a加法結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c)加法相消律 若 a+b=a+c, 則 b=c. 若 b+a=c+a, 則 b=c.乘法交換律 ab=ba乘法結(jié)合律 (ab)c=a(bc)乘法相消律 若 a(0,1), ab=ac, 則 b=c. 若 a(0,1), ba=ca, 則 b=

18、c.乘法對加法分配律 a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc整理課件定理3 有理數(shù)集是一個域， (0,a)是其零元， (a,a)是其單位元。(a,b)的負元是(-a, b), (a,b)的逆元是(b,a).整理課件減法減法加法的消去律保證我們可以定義加法的逆運算減法。定義5 設(shè)a，bQ ，若存在xQ ，使x+b=a，則稱x=a-b.有理數(shù)都有負元保證了有理數(shù)集上減法的封閉性。整理課件除法除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運算除法。定義6 設(shè)a，bQ, b(0,1), 若存在xQ，使xb=a，則稱x= .有理數(shù)都有逆元保證了有理數(shù)集上除法的封閉性。 ab整理課件有理數(shù)集上的序關(guān)

19、系有理數(shù)集上的序關(guān)系定義7 對于任意(a, b), (c, d)Q, 如果abd2cdb2, 則稱(a, b)(c, d).定理4 關(guān)系“” 是有理數(shù)集上的全序關(guān)系，即滿足自反性、反對稱性、傳遞性和強連接性。整理課件定理5 若a, b, cQ, 則 當ab時，a+cb+c 當ab, (0,1)c時，acbc所以，“” 是有理數(shù)集上的大小關(guān)系。整理課件有理數(shù)集是整數(shù)集的擴張有理數(shù)集是整數(shù)集的擴張定理6 有理數(shù)Q是整數(shù)集Z的一個擴張，即存在一個Z到Q上的一個一一映射f，使得（1）對于任意a, b Z, 都有 f(a+b)=f(a)+f(b) f(ab)=f(a)f(b)（2）對于任意a, b Z,

20、 若ab, 則f(a)f(b).證明：構(gòu)造f: ZQ如下 f(a)=(a,1) 即可滿足定理要求。整理課件因此，以后我們可以對a與(a,1)不加區(qū)別地使用. 因為(a,b)= , 所以我們也用 表示(a,b).( ,1)( ,1)abab整理課件1.2.4實數(shù)的構(gòu)造實數(shù)的構(gòu)造有理數(shù)集的缺陷有理數(shù)域缺乏連續(xù)性有理數(shù)域缺乏連續(xù)性 有理數(shù)域雖是稠密的，但它未鋪滿數(shù)軸，中間還有空隙。它不能與直線等量齊觀，因為直線是連續(xù)的。有理數(shù)域缺乏完備性有理數(shù)域缺乏完備性 盡管有理數(shù)集是一個域，在加減乘除運算下都封閉，但它在極限運算下并不是一個封閉的數(shù)域。因為盡管某些有理序列本身收斂（cauchy序列意義下），但在

21、有理數(shù)范圍內(nèi)找不到一個極限值。正是對有理數(shù)域的缺陷兩方面的思考，康托爾從完備性要求出發(fā)，戴德金從連續(xù)性要求（完備性的幾何性質(zhì)）出發(fā)，同時洞悉了無理數(shù)的本質(zhì)，并得到了表示它們的兩種形式，奠定了實數(shù)的構(gòu)造理論。整理課件Cantor構(gòu)造構(gòu)造定義1 記所有有理數(shù)Cauchy序列的集合為. 實際上， 2NQ定義2 上的關(guān)系“”規(guī)定如下：對于任意 (rn), (Sn) , 如果 , 則稱(rn)(Sn). 定理1：關(guān)系“” 是上的一個等價關(guān)系，即滿足自反性、對稱性和傳遞性。lim()0nnnrs整理課件定義3： 按等價關(guān)系“”劃分的等價類（以(rn)表示(rn)所屬的等價類）叫做實數(shù)，一切實數(shù)組成的集合叫

22、做實數(shù)集，記為R.整理課件實數(shù)集上的運算實數(shù)集上的運算定義4（實數(shù)加法）實數(shù)集R上的二元運算加法“+”規(guī)定如下：對于任意(rn),(sn) R, (rn)+(sn)=(rn+sn)上述定義是合理的，這需要證明若(rn), (sn)是有理數(shù)Cauchy序列, 則(rn+sn)也是有理數(shù)Cauchy序列.R中的加法運算與等價類代表的選取無關(guān)。即 若(rn)(xn), (sn)(yn), 則(rn+sn)(xn+yn).整理課件定義5（實數(shù)乘法）實數(shù)集R上的二元運算乘法“”規(guī)定如下：對于任意(rn),(sn) R, (rn)(sn)=(rnsn)上述定義是合理的，這需要證明若(rn), (sn)是有

23、理數(shù)Cauchy序列, 則(rnsn)也是有理數(shù)Cauchy序列.R中的乘法運算與等價類代表的選取無關(guān)。即 若(rn)(xn), (sn)(yn), 則(rnsn)(xnyn).整理課件定理2 對任何a, b, cR 有加法交換律 a+b=b+a加法結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c)加法相消律 若 a+b=a+c, 則 b=c. 若 b+a=c+a, 則 b=c.乘法交換律 ab=ba乘法結(jié)合律 (ab)c=a(bc)乘法相消律 若 a(0), ab=ac, 則 b=c. 若 a(0), ba=ca, 則 b=c.乘法對加法分配律 a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc整理課件

24、定理3 實數(shù)集是一個域， (0)是其零元， (1)是其單位元。(rn)的負元是(-rn), (rn)(rn0)的逆元是(1/rn).整理課件實數(shù)集上的序關(guān)系實數(shù)集上的序關(guān)系定義6 對于任意(rn),(sn) R, 如果存在有理數(shù)0和自然數(shù)N，使得當nN時，恒有rn+0, 都存在自然數(shù)N，當nN時，恒有|rn- r|0, 都存在自然數(shù)N，使得當n,mN時，恒有|rn- rm|成立， 那么就稱(rn)為一個實數(shù)Cauchy序列。定理7 實數(shù)序列極限存在的充要條件是它是實數(shù)Cauchy序列。整理課件Dedekind構(gòu)造構(gòu)造定義1 設(shè)A, B Q, 二元組(A,B)稱為Dedekind分割, 當且僅當

25、滿足：1) AB=Q2) AB=3) 對于任意aA, bB, 有a0，b0，c0，都有 ， 當 時等號成立。 222222aab bbbc caac c111bac60obac60o整理課件整理課件解不等式解不等式解不等式基本思路是，將超越不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式；將無理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式，將高次不等式轉(zhuǎn)化為低次不等式等解不等式需要注意同解變形。若要解決的問題不能統(tǒng)一處理（如含有參數(shù)）時，要按各種情況進行分類討論，然后解相應(yīng)的不等式組。如果不等式的結(jié)構(gòu)可以通過某種方式與圖形建立起聯(lián)系，則可設(shè)法構(gòu)造圖形，將不等式所表達的抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形加以解決整理課件整理課件整理課件整理課件整理課件3

26、 方程方程整理課件方程的價值方程的價值數(shù)學(xué)有“好”數(shù)學(xué)和“不太好”數(shù)學(xué)之分。方程，是“好”的數(shù)學(xué)的代表。（陳省身）方程的思想無所不在，方程的概念不斷發(fā)展。從經(jīng)典的代數(shù)方程到微分方程、積分方程，方程無疑是數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一。許多數(shù)學(xué)的進步是隨著方程研究發(fā)展而發(fā)展的。科學(xué)的基本任務(wù)是由已知的數(shù)量計算未知的數(shù)量，由已知的前提推證未知的結(jié)論這種計算或推理的問題，也是方程的基本內(nèi)容整理課件一個方程的例子一個方程的例子化學(xué)方程式配平，相當于是解方程的過程。整理課件方程的定義方程的定義含有未知數(shù)的等式叫做方程(目前中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中通用的方程定義)這個定義用的是“種屬差”的邏輯定義方式，即“它首先是等式”

27、，再指出它是“含有未知數(shù)的”等式由于它比較直觀、形象、簡潔明了，便于初學(xué)者理解和掌握，能為大家所認同和接受外延很大，可包括一切形式的方程(組)甚至微分(積分)方程(只要把未知數(shù)、已知數(shù)擴展為未知函數(shù)、已知函數(shù))缺憾：無法從中獲得方程的思想實質(zhì)通過已知與未知的關(guān)系，認識和研究未知。整理課件方程定義教學(xué)中的問題分歧的焦點是：究竟是看重方程的邏輯定義，還是看重方程的思想方法沒有哪一個學(xué)生是因為“記不住這一定義”而不會解方程的。方程的邏輯定義，簡單交代，不需深究方程的思想需要特別關(guān)注整理課件一個真實的例子一個真實的例子20 世紀 70 年代，上海 51 中學(xué)的一位畢業(yè)生到和平飯店擔任電工工作中，他發(fā)現(xiàn)

28、 12 樓客房的室溫，和地下室設(shè)定的溫度有差異他懷疑是地下室到12樓空調(diào)器的三根導(dǎo)線不一樣長，造成電阻不同所致。但距離如此遠，如何測知它們的電阻？整理課件于是這位電工想到了數(shù)學(xué)，想到了方程盡管單根電線的電阻很難測知，但是 12 樓上兩根電線連接起來，在地下室測量兩根電線的電阻卻是輕而易舉的xyz整理課件于是，他列出了以下的方程：可貴之處：測量電阻時能想到運用方程思想求未知數(shù)整理課件形式化定義形式化定義定義 l 形如 f(xl, x2, , xn)=g(xl, x2, , xn)的等式叫做方程，變元xl, x2, , xn稱為未知數(shù)，解析式f與g的定義域的交集叫做方程的定義域多個n元方程的集合，

29、叫做n元方程組方程組中所有方程的定義域的交集叫做該方程組的定義域定義 2 如果用定義域中有序數(shù)組(al, a2, , an) 取代n元方程(組)中相應(yīng)的未知數(shù)能使方程(組)中(每一個)等式都成立，則該有序數(shù)組稱為方程(組)的一個解.方程(組)的所有解的集合叫做方程(組)的解集上述定義的一個好處是確定了未知數(shù)的取值范圍一次方程可以有整數(shù)解和有理數(shù)解的區(qū)別高次方程的解有實數(shù)解和復(fù)數(shù)解的區(qū)別整理課件整理課件方程的同解變形方程的同解變形定義 如果方程(1)的任何一個解都是方程(2)的解，并且方程(2)的任何一個解也是方程(1)的解，則方程(1)與(2)稱為同解方程如果方程(1) 的每一個解都是方程(2

30、)的解，那么方程(2)稱為方程(1)的結(jié)果約定: 對于整式方程，僅當它們相同的根還具有相同的次數(shù)時，才認為它們是同解方程如方程 x-1=0與方程(x-1)2=0不被認為是同解方程為了求出方程或方程組的解，需要將方程不斷地變形，在保持它的解不變前提下的變形，稱為同解變形整理課件判斷：是否為同解變形？增根還是失根？判斷：是否為同解變形？增根還是失根？整理課件整理課件整理課件整理課件整理課件整理課件整理課件整理課件總結(jié)：總結(jié)：一般來說，當在方程兩端施行某一運算，而這種運算的逆運算的運算結(jié)果不是唯一確定的時候，便將得到與原方程不同解的方程。由于方程變形后，改變了（擴大或縮?。┰匠痰亩x域，變形后的方

31、程往往是不同解的。一個變形有可能既產(chǎn)生增根又產(chǎn)生失根（如：合分比變形雖可互逆，但對定義域既可能擴大又可能縮小）。應(yīng)根據(jù)變形對方程不同的影響判斷是否有增根和失根整理課件剔除增根剔除增根在方程變形過程中，把由原方程的結(jié)果得到的解代入原方程檢驗滿足與否，以判斷是不是增解在方程變形過程中，把原方程的定義域的擴大部分中的數(shù)代入原方程檢驗滿足與否，以判斷是不是增解整理課件找回失根找回失根在方程變形過程中，把原方程的定義域的縮小部分中的數(shù)代入原方程檢驗滿足與否，以判斷是不是原方程的解注：合分比變形雖可互逆，但對定義域既可能擴大又可能縮小。整理課件解決思路是化為缺項的三次方程，再作變換轉(zhuǎn)換為二次方程來求解。三

32、次方程的解法三次方程的解法整理課件整理課件整理課件三次方程的判別式三次方程的判別式 23427qpD 整理課件整理課件四次方程的解法四次方程的解法方法一：用待定系數(shù)的方法設(shè)法將其化為二個二次因式的形式，再解二次方程方法二：轉(zhuǎn)換為缺項的四次方程，再將缺項的四次方程轉(zhuǎn)換為三次方程，解出三次方程后，再求出四次方程的根整理課件整理課件整理課件4.1 函數(shù)函數(shù)整理課件函數(shù)的價值函數(shù)的價值18 世紀以來，分析學(xué)一直占據(jù)著數(shù)學(xué)的核心地位，是數(shù)學(xué)的核心學(xué)科，從而把函數(shù)概念和方法置于整個數(shù)學(xué)的中心地位許多現(xiàn)實問題都可以歸因于研究數(shù)量的變化過程，幾乎所有領(lǐng)域都有函數(shù)應(yīng)用的實例。日常生活的語言也引入了函數(shù)的許多詞匯

33、。20 世紀以來，世界各國的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容從以解方程為中心轉(zhuǎn)到以研究函數(shù)為中心函數(shù)的觀念已經(jīng)成為對公民素質(zhì)的基本要求，成為人們在現(xiàn)代社會交往中必備的能力整理課件初等函數(shù)的重要性初等函數(shù)的重要性初等函數(shù)的研究是與微積學(xué)的研究結(jié)合在一起的。初等函數(shù)的使用面相當廣泛，在建立描摹大自然的數(shù)學(xué)模型時，初等函數(shù)能夠基本上滿足需要整理課件舊函數(shù)，新意義舊函數(shù)，新意義對數(shù)的發(fā)明在于簡化計算20世紀中葉以后，計算機和計算器的普遍使用使得對數(shù)的這種計算功能幾乎完全廢棄對數(shù)函數(shù)的現(xiàn)代意義是：作為一種數(shù)學(xué)模型，對數(shù)函數(shù)提供了緩增的類型整理課件最初引入三角函數(shù)是幾何學(xué)的需要，是為了處理三角形，其基本思想是使用比例手段定量

34、地表示三角形邊角之間的關(guān)系三角函數(shù)的重要，在于它的周期性三角函數(shù)提供了周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型。三角函數(shù)的重要，還在于傅里葉發(fā)現(xiàn)：相當廣闊的一類函數(shù)(許多實用的周期函數(shù))都可以展開為三角級數(shù)。整理課件函數(shù)的定義函數(shù)的定義變量說：如果某些變量以如下方式依賴于另一些變量，即當后者變化時，前者本身也發(fā)生變化，則稱前一個變量是后一些變量的函數(shù)。 (歐拉， 1755)對應(yīng)(或映射)說：我們假定 Z 是一個變量如果對它的每一個值，都有未知量 W 的一個值與之對應(yīng)，則稱 W 是 Z 的函數(shù)。 (黎曼，1851 )關(guān)系說：若X,Y是兩個集合，XY的任何子集 S 稱為 它們之間的一種關(guān)系如果關(guān)系 F 滿足：對于每

35、一個xX，都存在唯一的一個 y ，使得(x,y)F ，則稱關(guān)系 F 是一個函數(shù) (布爾巴基學(xué)派，1939 )整理課件誰更重要？誰更重要？“變量說”建立在變量的基礎(chǔ)上，描述和強調(diào)了函數(shù)最重要的特性變化，其優(yōu)點是形象、直觀、自然，通俗易懂。任何人理解函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，都是從觀察兩個變量之間的依賴關(guān)系入手的因此“變量說”是最樸素、最根本的，對于初學(xué)者也最容易接受。這種描述性的定義沒有突出函數(shù)的本質(zhì)對應(yīng)關(guān)系。整理課件“對應(yīng)說”突出地反映了變量之間的對應(yīng)關(guān)系，它能夠微觀地、明確地指出因變量是如何隨著自變量的變化而變化的。“對應(yīng)說”抓住了函數(shù)的本質(zhì)。函數(shù)的本質(zhì)是變量之間的關(guān)系，而描述這種關(guān)系的正是“對應(yīng)

36、”?！皩?yīng)說”建立在集合論的基礎(chǔ)上，更接近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的語言，普適性強。但它沒能對“對應(yīng)”進行嚴格刻畫，對對應(yīng)關(guān)系的界定也不夠清楚。整理課件“關(guān)系說”沒有使用其他未經(jīng)定義的日常語言，完全用集合論的語言敘述。它通過外延定義徹底解決了對應(yīng)關(guān)系的界定問題，是完全數(shù)學(xué)形式化的表述，便于更深入地理解函數(shù)本質(zhì)，也便于計算機接受，廣泛用于計算機科學(xué)中。但正是由于它過于形式化，抽去了函數(shù)關(guān)系的生動直觀變量變化及相互依賴關(guān)系的特征，看不見對應(yīng)關(guān)系的形式和規(guī)律（解析式），對初學(xué)者來說不易理解和掌握?！瓣P(guān)系說”雖不適合放在中學(xué)教材中，但中學(xué)教師應(yīng)該掌握。整理課件函數(shù)的發(fā)展函數(shù)的發(fā)展古埃及、古巴比倫、古希臘、古印度、古代

37、中國的數(shù)學(xué)中都研究過方程，但是都沒有形成函數(shù)的思想。函數(shù)概念的產(chǎn)生是1617世紀由于人們對物體運動的研究，特別是對天體運動的研究而開始的。Galileo（15641642）自由落體運動S=0.5gt2、斜拋運動軌跡是拋物線Descartes（15961650）最先提出了“變量”的概念Newton認識到曲線是記錄了點的連續(xù)運動Leibniz最早使用“函數(shù)”這個詞，他用它表示任何一個隨著曲線上的點的變動而變動的量 李善蘭在代微積拾級中譯為“函數(shù)”整理課件函數(shù)的三種表示形式函數(shù)的三種表示形式函數(shù)的表達方法很多，列表法，圖像法和解析式法，都可以表示函數(shù)數(shù)學(xué)所要研究的函數(shù)，一般是需要解析式的建立函數(shù)模型

38、，主要是找到解析式表示，才能通過論證和計算解決問題離散的數(shù)字表格，可以插值形成連續(xù)函數(shù)，圖像則可以用解析式逼近或數(shù)字近似但并非所有的函數(shù)都能夠用算式表示也存在一些變量之間的變化關(guān)系我們可能能夠感覺得到，卻無法用簡單的數(shù)學(xué)方法描摹出來如統(tǒng)計報表，股票走勢圖等要尋求算式，但又不限于算式，是掌握函數(shù)概念的一部分整理課件整理課件函數(shù)與曲線、方程函數(shù)與曲線、方程函數(shù)的圖象是曲線，曲線又可以看作是坐標適合二元方程的點的軌跡，在上述意義下函數(shù)、曲線、方程沒有區(qū)別。這種統(tǒng)一性是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心思想，這樣幾何中的形與代數(shù)中的數(shù)就統(tǒng)一起來了，初中數(shù)學(xué)知識與高中數(shù)學(xué)知識也統(tǒng)一起來了。中學(xué)階段不必過分強調(diào)函數(shù)的圖象與方

39、程的曲線之間的差異，而更應(yīng)該強調(diào)統(tǒng)一性。整理課件復(fù)合函數(shù)中的定義域問題復(fù)合函數(shù)中的定義域問題門德榮. 關(guān)于復(fù)合函數(shù)的教學(xué). 數(shù)學(xué)通報,1995 , (9) :12.本題目的實質(zhì)是“已知fg(x)的定義域求f(x)的定義域.整理課件問題1誰對誰錯？整理課件類似的病題整理課件函數(shù)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間函數(shù)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間要求極大嗎？排他？例 已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+1的增區(qū)間為1,+)，求a的取值范圍解 f(x)=x2-2ax+1=(x-a)2 +1-a2 其增區(qū)間為a,+) 所以，a=1對嗎？為什么要引入單調(diào)區(qū)間的概念？不過是為了比較函數(shù)值的方便而已。與極大無關(guān)，當然單調(diào)區(qū)間越大越有利

40、。整理課件函數(shù)單調(diào)性的幾個結(jié)論函數(shù)單調(diào)性的幾個結(jié)論約定：兩個函數(shù)在所討論的區(qū)間里都是遞增的（或遞減的），就稱這兩個函數(shù)依同向變化；若其中一增一減，就稱這兩個函數(shù)依反向變化則 單調(diào)函數(shù)f(x)與函數(shù)f(x)c(c是常數(shù))依同向變化 單調(diào)函數(shù) f(x)與函數(shù)cf(x)(c是常數(shù))，當 c 0時，依同向變化；當c1，解關(guān)于x的不等式：2.解關(guān)于x的不等式222axxa232log4log12log( 2) log1 ( 2)log ()3nnaaaanaxxxnxxa 整理課件 整理課件整理課件解下列方程解下列方程1.求方程 的實數(shù)解，其中a是實參數(shù)2.求方程 的實數(shù)解，其中a, b是實參數(shù)2(1252)23aaxa1lg()lg2lg()2xaxb整理課件1.解：解：原方程等價于 或即 或2125202300aaax2212520231252aaaxaa320ax 34214aaxa 且整理課件即 或即 或2