復(fù)變函數(shù)的極限

1、 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二講第二講 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性學(xué)習(xí)要點學(xué)習(xí)要點掌握掌握 變函數(shù)的概念變函數(shù)的概念掌握復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性掌握復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換0000 ,0|(0),(, )zzzzU z 復(fù)復(fù)平平面面上上以以 為為心心為為半半徑徑的的圓圓: :所所確確定定的的平平面面點點集集，稱稱為為 的的鄰鄰域域，記記作作鄰鄰域域：一一 、 復(fù)平面上的點集與區(qū)域復(fù)平面上的點集與區(qū)域(P15)0000|(0)(,

2、).zzzUz 由由所所確確定定的的平平面面點點集集，稱稱為為的的去去心心鄰鄰域域，記記為為0z 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換內(nèi)點內(nèi)點: 對任意對任意z0屬于點集屬于點集E，若存在，若存在(z0 ,)， 使該鄰域內(nèi)的所有點都屬于使該鄰域內(nèi)的所有點都屬于E，則稱，則稱z0 是點集是點集E的內(nèi)點。的內(nèi)點。開集開集: 若若E內(nèi)的所有點都是內(nèi)的所有點都是 它的內(nèi)點，則稱它的內(nèi)點，則稱E是是 開集。開集。邊界與邊界點邊界與邊界點: 設(shè)有點設(shè)有點P，若點，若點P的任何鄰域的任何鄰域 中既有屬于都包含中既有屬于都包含E中的點又有不屬于中的點又有不屬于 E的點，則稱的點，

3、則稱P是是E的邊界點；點集的邊界點；點集E的的 所有邊界點的集合稱為所有邊界點的集合稱為E的邊界的邊界0z 內(nèi)點內(nèi)點外點外點P 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換 , .DD區(qū)區(qū)域域 與與它它的的邊邊界界一一起起稱稱閉閉為為D D的的閉閉包包記記為為包包：000,zEzEzE：若若 屬屬于于點點集集但但存存在在 的的某某個個去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)無無 中中的的點點，則則孤孤立立點點稱稱 為為 的的孤孤立立點點():PU PEPE若若點點 的的任任意意鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)都都包包含含有有 中中的的無無限限個個點點，則則稱稱聚聚為為點點的的聚聚點點. .點集點集 E 的聚點的

4、聚點 P 可能屬于可能屬于E 也可能不屬于也可能不屬于E 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換區(qū)域區(qū)域 設(shè)設(shè) D是一個開集，且是一個開集，且D連通，即連通，即D中任中任 任意兩點均可用完全屬于任意兩點均可用完全屬于D的連線連起的連線連起 來，稱來，稱 D是一個區(qū)域。是一個區(qū)域。 ,.DD區(qū)區(qū)域域 與與它它的的邊邊界界一一起起構(gòu)構(gòu)成成閉閉區(qū)區(qū)域域閉閉記記為為區(qū)區(qū)域域有界區(qū)域與無界區(qū)域有界區(qū)域與無界區(qū)域000,|RDzzRD 若若存存在在使使區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)每每一一點點 都都滿滿足足，則則稱稱 為為有有界界區(qū)區(qū)域域；否否則則為為無無界界區(qū)區(qū)域域. . 哈爾濱工程大學(xué)哈爾

5、濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換區(qū)域的例子區(qū)域的例子:1 ( , )U a r例例圓圓盤盤有有界界開開區(qū)區(qū)域域 |zzar 其其邊邊界界為為點點集集 ： 1022 ,z rzzr 例例點點集集是是一一有有界界區(qū)區(qū)域域0102,.zzrzzr 其其邊邊界界由由兩兩個個圓圓周周構(gòu)構(gòu)成成,如如果果在在圓圓環(huán)環(huán)內(nèi)內(nèi)去去掉掉若若干干個個點點 它它仍仍是是區(qū)區(qū)域域但但邊邊界界有有變變化化 是是兩兩個個圓圓周周及及其其若若干干個個孤孤立立點點所所構(gòu)構(gòu)成成. . 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換( )(),( )( )( )xx ttyy tx ty t 平平

6、面面上上一一條條可可表表示示為為：其其中中、是是連連續(xù)續(xù)的的實實連連續(xù)續(xù)曲曲線線變變函函數(shù)數(shù)。二、簡單曲線（或二、簡單曲線（或Jardan曲線曲線)(P17)( )( )( ),( )()z tx tiy ttzz tt 令令則則平平面面曲曲線線的的復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)表表示示式式為為. .( ), ()zz稱稱為為曲曲線線的的端端點點。22( )( ) , ( ) ( )0.xty tC a bxty t 若若、且且則則稱稱曲曲線線為為光光滑滑的的該該 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換( )( ) zz ：除除端端點點和和外外, ,本本身身不不自自簡簡單單曲曲線線（J

7、J交交的的連連續(xù)續(xù)曲曲線線o or rd da an n曲曲線線）稱稱為為簡簡單單曲曲線線。( )( )zz 的的簡簡單單曲曲線線，稱稱為為或或簡簡單單閉閉曲曲線線, ,約約當(dāng)當(dāng)閉閉曲曲線線. .( )()zz ( )()zz 簡單閉曲線簡單閉曲線不是簡單閉曲線不是簡單閉曲線 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換z(a)=z(b)約當(dāng)定理約當(dāng)定理（簡單閉曲線的性質(zhì)）簡單閉曲線的性質(zhì)）任一條簡單閉曲線任一條簡單閉曲線C：z=z(t)， ta，b，把復(fù)平面唯一地分成兩個互不相交的部分：把復(fù)平面唯一地分成兩個互不相交的部分：內(nèi)部內(nèi)部外部外部邊界邊界C是它們的公共邊界。是

8、它們的公共邊界。Cz(a)=z(b)一個是有界區(qū)域，稱為一個是有界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；的內(nèi)部；一個是無界區(qū)域，稱為一個是無界區(qū)域，稱為C的外部的外部. 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換單連通域與多連通域單連通域與多連通域(P17)復(fù)平面上的一個區(qū)域復(fù)平面上的一個區(qū)域 D ，如果，如果D內(nèi)的任何簡單內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)部總在閉曲線的內(nèi)部總在D內(nèi)，就稱內(nèi)，就稱 D為單連通域；為單連通域；非單連通域稱為多連通域。非單連通域稱為多連通域。多連通域多連通域單連通域單連通域例如例如 |z|0）是單連通的；）是單連通的； 0r|z|R是多連通的。是多連通的。 哈爾濱工程大

9、學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換三、復(fù)變函數(shù)三、復(fù)變函數(shù)(P18) ( ).GGzxiyfwuivwGzwf z 設(shè)設(shè)為為給給定定的的平平面面點點集集，若若對對于于 中中每每一一個個復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)，按按著著某某一一確確定定的的法法則則 ，總總有有確確定定的的一一個個或或幾幾個個復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)與與之之對對應(yīng)應(yīng)，則則稱稱 是是 上上的的關(guān)關(guān)于于 的的復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)，簡簡稱稱復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)，記記作作 .zwG其其中中 稱稱為為自自變變量量，稱稱為為因因變變量量，點點集集稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域 zGw 若若每每個個，有有且且僅僅有有一一個個 與與之之對對應(yīng)應(yīng)，稱稱此此函函數(shù)數(shù)為

10、為單單單單值值函函數(shù)數(shù)值值函函數(shù)數(shù)。 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換( ),( , ),( , )wf zuu x y vv x y 定定義義一一個個復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)相相當(dāng)當(dāng)于于定定義義兩兩個個二二元元實實函函數(shù)數(shù)2wz 考考察察函函數(shù)數(shù)222()2wuivxiyxyxyi 222,2wzuxyvxy 因因此此對對應(yīng)應(yīng)222222042.xyuvxyxyxy將將定定義義在在全全平平面面除除原原點點區(qū)區(qū)域域上上的的一一對對二二元元實實變變函函數(shù)數(shù)，化化為為一一個個復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)例例例例3 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換解解

11、,zxiy wuiv 設(shè)設(shè)222xiywuivxy 則則2211()()22xzzyzzxyzzi 因因為為，31(0)22wzzz 所所以以 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換( )wf z 函函數(shù)數(shù)在在幾幾何何上上，可可以以看看成成四、映射四、映射復(fù)變函數(shù)的幾何表示復(fù)變函數(shù)的幾何表示(P19) ,.wzzw稱稱為為 的的象象稱稱為為 的的原原象象oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)( )*( )().wf zzGzwGw 平平面面平平面面 的的映映射射 定義域定義域函數(shù)值集合函數(shù)值集合zw=f(z)w 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換

12、復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個映射（變換）復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個映射（變換）F 函數(shù)，映射，變換都是一種對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，映射，變換都是一種對應(yīng)關(guān)系的 反映，是同一概念。反映，是同一概念。分析中，兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系稱為函數(shù)；分析中，兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系稱為函數(shù)；幾何中，兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系稱為映射；幾何中，兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系稱為映射；代數(shù)中，兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系稱為變換；代數(shù)中，兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系稱為變換；以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換F 實變量的實函數(shù)的性質(zhì)往往

13、可以通過它們實變量的實函數(shù)的性質(zhì)往往可以通過它們 的圖形表示出來。但當(dāng)?shù)膱D形表示出來。但當(dāng)w=f(z)是復(fù)變量時，是復(fù)變量時， 就不容易找出方便的圖形，這是因為就不容易找出方便的圖形，這是因為z和和w 在一個平面上，而不是一條直線上在一個平面上，而不是一條直線上, 因此，分別在兩個平面上畫出它們。因此，分別在兩個平面上畫出它們。 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換.wz 研研究究所所構(gòu)構(gòu)成成的的映映射射(cossin)izrire 設(shè)設(shè)例例5解解關(guān)于實軸對稱的一個映射關(guān)于實軸對稱的一個映射oxy(z)uv(w)oizre 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與

14、積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換x、uy、v(z)、(w)o (.iwe z 研研究究實實常常數(shù)數(shù)）所所構(gòu)構(gòu)成成的的映映射射例例6,izre 設(shè)設(shè)解解()iiiiwe ze rere 有有 (cossin)()wuivixiy ( cossin)( sincos)，xyi xy cossinsincos即uxyvxy 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換(映射映射) 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換2wz 已已知知映映射射，求求例例73)1,2zxyw平平面面上上直直線線映映成成 平平面面上上怎怎樣樣的的曲曲線線？222)2;xyazwxyb 平平面面上上曲曲線線映映成成 平平面面上上

15、怎怎樣樣的的曲曲線線1231)1,1;zzzi ziw 平平面面上上的的點點在在平平面面上上的的象象 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換211)()( 1)1,w z 2232()(1) 2cossin4422( 2) cos()sin()244w ziiii解解2,ArgwArgzArgwzzz 由由乘乘法法的的輻輻角角公公式式：通通過過映映射射的的輻輻角角增增大大一一倍倍, ,2 .zw 因因此此， 平平面面上上與與正正實實軸軸夾夾角角為為 的的角角形形域域映映成成 平平面面上上與與正正實實軸軸夾夾角角為為的的角角形形域域 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變

16、函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換2)2222()2wzxiyxyixy 因因為為22,uxya 于于是是有有2vxyb 所以所以z平面的曲線映成平面的曲線映成w平面的直線平面的直線211,2xuyvy214vu3)2222()2wzxiyxyixy 因因為為224,4yuxvx 2416vu所以所以z平面的直線映成平面的直線映成w平面的拋物線平面的拋物線 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換oxy(z)ouv(w) 2 oxy(z)ouv(w)R=2R=4422 yx2zw 2zw 2zw 2zw 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換

17、*( )( )( )wf zzwwf zGG 若若和和其其反反函函數(shù)數(shù)都都是是單單值值函函數(shù)數(shù)，則則稱稱是是一一一一映映射射. .也也稱稱 和和是是一一一一對對應(yīng)應(yīng)的的. .( )( )( )( )wf zzwwf zwf z 確確定定了了一一個個單單值值或或多多值值函函數(shù)數(shù)稱稱為為的的反反函函數(shù)數(shù), , 也也稱稱為為映映射射的的逆逆映映射射. .反函數(shù)反函數(shù) 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換五、復(fù)變函數(shù)的極限五、復(fù)變函數(shù)的極限(P20)00000( )00,0( )( )lim( )( )()zzf zzzzf zAAf zzzf zAf zAzz 設(shè)設(shè)函函

18、數(shù)數(shù)在在 的的某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，若若對對，當(dāng)當(dāng)時時恒恒有有則則稱稱 為為函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) 趨趨于于 時時的的極極限限，記記作作或或注意：注意：00( )zzzzf zA這這里里， 趨趨于于 的的方方式式是是任任意意的的，即即若若極極限限存存在在是是指指 沿沿著著任任意意方方向向，以以任任意意方方式式趨趨于于 時時，都都要要趨趨于于同同一一值值 。 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換00000001( )( , )( , )lim( ):zzf zu x yiv x yzzxiyf zAuiv定定理理設(shè)設(shè)，在在 的的某某空空心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定

19、義義，其其中中，則則的的充充分分必必要要條條件件為為000000lim ( , )lim ( , )xxxxyyyyu x yuv x yv，例例1 試求下列函數(shù)的極限試求下列函數(shù)的極限.1111.lim2.lim1zizzzzzzzz 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換,zxiy 設(shè)設(shè)zxiy zxiyzxiy 于于是是2222222xyxyixyxy 1limzizz 11222222112limlimyyxxxyxyiixyxy 解解解法解法21limzizz 11lim1lim1ziziziizi 11.limzizz 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變

20、函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換zxiyzxiy 設(shè)設(shè)，11lim1zzzzzz 則則1(1)(1)lim1zzzz 1lim(1)2zz 112.lim1zzzzzz 解：解： 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換例例2 ( )0.zf zzz證證明明函函數(shù)數(shù)在在時時極極限限不不存存在在證證,zxiy 設(shè)設(shè)2222222xyxyixyxy ( , )( , )0u x yx yykxk 考考慮慮二二元元實實函函數(shù)數(shù)，當(dāng)當(dāng)沿沿著著（ 為為任任意意實實數(shù)數(shù)）趨趨于于 ，即即( )zf zz 2222( , )xyu x yxy 令令，222( , )xyv x yx

21、y 22( , )(0,0)0()1lim( , )lim( , )1x yxy kxku x yu x yk 不存在不存在 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)的極限四則運(yùn)算法則：復(fù)變函數(shù)的極限四則運(yùn)算法則：00lim( ),lim ( )zzzzf zg z設(shè)設(shè)都都存存在在，則則0001. lim( )( )lim( )lim ( )zzzzzzf zg zf zg z 0002. lim( ) ( )lim( ) lim ( )zzzzzzf z g zf zg z 0000lim( )( )3. lim(lim ( )0)( )lim ( )zzzzzzzzf zf zg zg zg z 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換000lim( )()( )( ),zzf zzf zGf zf zf zG 在在 處處連連續(xù)續(xù)如如果果則則稱稱如如果果在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)每每一一點點均均連連續(xù)續(xù)，. .稱稱在在則則內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)。000003 ( )( , )( , ), ), ( , )(,).f zu x yiv x yzxu x y v x yiyxy 定定理理在在點點處處連連續(xù)續(xù)的的充充分分必必要要條條件件是是在在點點連連續(xù)續(xù)六、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性六、