復(fù)變函數(shù)與積分變換期末總復(fù)習(xí)

1、1第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1. 復(fù)數(shù)代數(shù)運算復(fù)數(shù)代數(shù)運算2. 復(fù)數(shù)的各種表示法復(fù)數(shù)的各種表示法3. 乘冪與方根運算公式乘冪與方根運算公式4. 復(fù)數(shù)方程表示曲線以及不等式表示復(fù)數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域區(qū)域22117310,.xxxxx 已知求的值例例2 2解解),1)(1(123 xxxx因因為為, 012是一個三次單位根故而xxx1,37211 xxxxx從從而而. 0123711xxxxx所以3211,1.nn設(shè) 是任意一個不等于 的 次單位根 求的值例例3 3解解1 n 因因為為121 n 所所以以. 011 n424(49 )0.zizi解方程例例4 4解解. 0)94(4)2(4

2、22 iiizz原原方方程程為為iiz9)2(2 即即iiz92 于于是是1 , 0,222sin222cos3 kkik,22322231iz 故故.22322232iz 5; 0)(I)1(m z;)(I)2(m z例例5 5 滿足下列條件的點組成何種圖形滿足下列條件的點組成何種圖形?是不是區(qū)是不是區(qū)域域?若是區(qū)域請指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域若是區(qū)域請指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域.解解 是實數(shù)軸是實數(shù)軸,不是區(qū)域不是區(qū)域.0)(Im zxyO 是以是以 為界的帶形單連通區(qū)為界的帶形單連通區(qū) 域域. , y y解解 )(Imz6622)3( zz 是以是以 為焦點為焦點,以以3為半為半

3、長軸的橢圓閉區(qū)域長軸的橢圓閉區(qū)域,它不是區(qū)它不是區(qū)域域.2 32,32arg3)4( zz且且 不是區(qū)域，因為圖中不是區(qū)域，因為圖中32arg,3arg zz解解解解在圓環(huán)內(nèi)的點不是內(nèi)點在圓環(huán)內(nèi)的點不是內(nèi)點.oy23xoxy 3 2 2 37例例6 6 函數(shù)函數(shù) 將將 平面上的下列曲線變成平面上的下列曲線變成 平平面上的什么曲線？面上的什么曲線？zw1 zw22(1)9, (2)2xyx解解9 222 zyx因因為為又又iyxzw 11于是于是iyxivuw9191 yvxu91,91 91)(8112222 yxvu表示表示 平面上的圓平面上的圓.w22yxiyx ),(91iyx (1)8

4、. 2)2( x解解iyiyxz 2因因為為iyzw 211所以所以224,42yyvyu 22222)4(4yyvu 因因為為02 22 uvu所所以以表示表示 平面上以平面上以 為圓心，為圓心， 為半徑的圓為半徑的圓.w 0,4141ivuyiy 242,2412uy 1614122 vu9第二章 解析函數(shù)1. 解析函數(shù)的概念；解析函數(shù)的概念；2. 函數(shù)解析性的判別（函數(shù)解析性的判別（C-R方程）方程）3. 幾個常用初等函數(shù)幾個常用初等函數(shù)103.初等解析函數(shù)1)1)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù).)sin(cos.的的指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)為為稱稱設(shè)設(shè)zyiyeeiyxzxz 定定義義; 0, 0,)( z

5、xzeeeza則則對對任任意意復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)性性質(zhì)質(zhì);)(,)(zzzeezeb 而而且且平平面面上上處處處處解解析析在在;)(2121zzzzeeec .2)(為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)是以是以iedz 11 2)三角函數(shù).,2cos.,2sin余余弦弦函函數(shù)數(shù)正正弦弦函函數(shù)數(shù)定定義義稱稱為為稱稱為為izizizizeezieez .cos,sin)1(是是偶偶函函數(shù)數(shù)是是奇奇函函數(shù)數(shù)zz 性性質(zhì)質(zhì).cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .sincos)3(zizeiz .2)2(為為周周期期以以正正弦弦函函數(shù)數(shù)和和余余弦弦函函數(shù)數(shù)都都

6、12(4)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).sin)(cos,cos)(sinzzzz .cossintan正正切切函函數(shù)數(shù)定定義義稱稱為為zzz .cos,sin, 1cossin)5(22不不是是有有界界函函數(shù)數(shù)但但zzzz ).tan()tan(:tan)1(zzz 是是奇奇函函數(shù)數(shù) 性性質(zhì)質(zhì).tan)tan(:tan)2(zzz 為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù)是是以以 13其它復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)的定義其它復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)的定義,sincoscot zzz 余切函數(shù)余切函數(shù),cos1ec zzs 正正割割函函數(shù)數(shù).sin1csc zz 余割函數(shù)余割

7、函數(shù).cos1)(tantan)3(2zzz 在在解解析析區(qū)區(qū)域域有有 143 3）對數(shù)函數(shù)）對數(shù)函數(shù).Ln , )( )0( zwzfwzzew 記記為為稱稱為為對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)滿滿足足方方程程因此因此zizzwArglnLn ikziz 2argln)., 2, 1, 0( k所以所以支支的的數(shù)數(shù)稱為對數(shù)函稱為對數(shù)函其中其中),(Ln)arg(arglnln主值主值zzzizz )., 2, 1, 0(2lnLn kikzz15. . , , , , 的的一一個個分分支支稱稱為為可可確確定定一一個個單單值值函函數(shù)數(shù)對對于于每每一一個個固固定定的的zkLn;Ln )1(是是一一個

8、個無無窮窮多多值值的的函函數(shù)數(shù)z性性質(zhì)質(zhì);LnLnLn,LnLnLn, 0, 0)2(2121212121zzzzzzzzzz 則則設(shè)設(shè)且且處解析處解析處處實軸外實軸外在平面上除去原點和負在平面上除去原點和負,ln, )3(z.1)(lnzz 164)4)冪函數(shù)冪函數(shù):, 0,的的冪冪函函數(shù)數(shù)用用下下列列等等式式定定義義對對于于是是任任意意復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)zz 定定義義).0(Ln zezwz . 0,0, zz時時補補充充規(guī)規(guī)定定是是正正實實數(shù)數(shù)時時當當;,lnLn., )1(ln的的主主值值稱稱為為冪冪函函數(shù)數(shù)時時取取主主值值當當是是一一個個無無窮窮多多值值函函數(shù)數(shù)一一般般說說來來 zezzz

9、zz 性性質(zhì)質(zhì).)()2(1 zz17典型例題.)(33僅在原點有導(dǎo)數(shù)僅在原點有導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)證明函數(shù)iyxzf 例1例1證證zfzfz)0()(lim0 iyxiyxyx 330),(lim0)(lim220),( yxyixyx. 00)(處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為在在故故 zzf.在在再證其他處的導(dǎo)數(shù)不存再證其他處的導(dǎo)數(shù)不存18)()()()(0030303300iyxiyxiyxiyxzzzfzf 則則沿沿路路徑徑若若,0yyz 030300)()(xxxxzzzfzf 則則沿沿路路徑徑若若,0 xxz )(3)()()(020030300yyyyyiiyiyzzzfzf 當當.)(, 000

10、的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在否否則則故故除除非非zfyx )(3020 xxx當當19例例2 2 函數(shù)函數(shù) 在何處在何處可導(dǎo)，何處解析可導(dǎo)，何處解析.)2()()(222yxyixyxzf 解解,),(22xyxyxu ;2, 12yuxuyx ,2),(2yxyyxv ;22,2yxvyvyx .,xyyxvuvu 故故 僅在直線僅在直線 上可導(dǎo)上可導(dǎo).)(zf21 y,21)(,不不解解析析上上處處處處在在直直線線由由解解析析函函數(shù)數(shù)的的定定義義知知 yzf故故 在復(fù)平面上處處不解析在復(fù)平面上處處不解析.)(zf時，時，當且僅當當且僅當21 y20例例3 3 設(shè)設(shè) 為解析函數(shù)，求為解析函數(shù)，求

11、 的值的值.)(2323cxyxiybxay cba,解解 設(shè)設(shè)ivucxyxiybxayzf )()()(2323故故2323,cxyxvybxayu ,2bxyxu ,2cxyyv ,322cyxxv ,322bxayyu 由于由于 解析，所以解析，所以)(zfxvyuyvxu ,即即,22cbcxybxy 3,3332222 bcacyxbxay故故. 3, 3, 1 cba21 設(shè)設(shè) 為為 平面上任意一定點平面上任意一定點,000iyxz z0000)Re(1)()(zzzzzzzfzf 當點當點 沿直線沿直線 趨于趨于 時時,有有z)(0 xiyxz0z00001)()(xxxxzz

12、zfzf 2 解解例例4 4 研究研究 的可導(dǎo)性的可導(dǎo)性.zzzfRe)( 22)(01)()(000yyizzzfzf , 1 當點當點 沿直線沿直線 趨于趨于 時時,有有z)(0 yiyxz0z的的任任意意性性知知處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)且且由由在在故故00)(zzzf例例4 4 研究研究 的可導(dǎo)性的可導(dǎo)性.zzzfRe)( .)(處處處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)zf23例例5 5 解方程解方程0sin z解解0212sin2 izizizizieeieez12 izeikizee 22. kz), 2, 1, 0( k24例例6 6 求出求出 的值的值.2)2( 解解)2ln(22)2( e )2(2ln2

13、 kie)12(2sin)12(2cos2ln2 kike), 2, 1, 0( k25解解例例7 7 試求試求 函數(shù)值及其主值函數(shù)值及其主值:ii 1)1()1ln()1(1)1(iiiei kiie242ln)1( 2ln24242lnkike 2ln4sin2ln4cos224iek), 2, 1, 0( k令令 得主值得主值:0 k.2ln4sin2ln4cos2)1(4)1( ieii 2ln24242lnkike26 第三章 復(fù)變函數(shù)的積分1. 復(fù)積分的計算公式及基本性質(zhì)復(fù)積分的計算公式及基本性質(zhì)2.復(fù)積分的基本定理復(fù)積分的基本定理 3.柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式柯西積分公式與高階

14、導(dǎo)數(shù)公式27積分存在的條件及計算（1 1）化成線積分）化成線積分且且存存在在則則積積分分連連續(xù)續(xù)沿沿逐逐段段光光滑滑的的曲曲線線設(shè)設(shè),d)(,),(),()( CzzfCyxivyxuzf CCCyyxuxyxviyyxvxyxuzzf.d),(d),(d),(d),(d)(（2 2）用參數(shù)方程將積分化成定積分）用參數(shù)方程將積分化成定積分的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是設(shè)簡單光滑曲線設(shè)簡單光滑曲線 C)()()()(btatiytxtzz .d)()(d)(ttztzfzzfCba 則則284. 積分的性質(zhì);d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(為常數(shù)為常數(shù)kzzfkzzkfC

15、C ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf.)(),(連續(xù)連續(xù)沿曲線沿曲線設(shè)設(shè)Czgzf CCCzzfzzfzzfCCC12;d)(d)(d)(,)4(21則則連連結(jié)結(jié)而而成成由由設(shè)設(shè) CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )5(那那末末上上滿滿足足在在函函數(shù)數(shù)的的長長度度為為設(shè)設(shè)曲曲線線29 柯西古薩基本定理柯西古薩基本定理(柯西積分定理柯西積分定理) . d)( , )( 無無關(guān)關(guān)線線與與連連結(jié)結(jié)起起點點及及終終點點的的路路那那末末積積分分析析內(nèi)內(nèi)處處處處解解在在單單連連通通域域如如果果函函數(shù)數(shù)定定理理1 1CzzfBzfC . 0d)

16、( : )( , )( czzfCBzfBzf的積分為零的積分為零內(nèi)的任何一條封閉曲線內(nèi)的任何一條封閉曲線沿沿那末函數(shù)那末函數(shù)內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù)30 閉路變形原理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn為邊界的區(qū)域全含于為邊界的區(qū)域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它們它們內(nèi)部的簡單閉曲線內(nèi)部的簡單閉曲線是在是在內(nèi)的一條簡單閉曲線內(nèi)的一條簡單閉曲線多連通域多連通域為為設(shè)設(shè) , )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在在如果如果DzfDC1C2C3C 復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理 一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲一個解

17、析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.那末那末31). , , , , :( , , , , 2121順時針進行順時針進行按按按逆時針進行按逆時針進行其方向是其方向是組成的復(fù)合閉路組成的復(fù)合閉路為由為由這里這里nnCCCCCCCC . 0d)()2( zzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf32柯西積分公式 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那末那末內(nèi)任一點內(nèi)任一點為為于于它的內(nèi)部完全含它的內(nèi)部完全含閉曲線閉曲線內(nèi)的任何一條正向簡單內(nèi)的

18、任何一條正向簡單為為內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值平均值.則有則有是圓周是圓周如果如果,0 ieRzzC .d)(21)(2000 ieRzfzf33 高階導(dǎo)數(shù)公式. , )( ), 2 , 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的內(nèi)部全含于而且它的內(nèi)部全含于線線任何一條正向簡單閉曲任何一條正向簡單閉曲的的內(nèi)圍繞內(nèi)圍繞的解析區(qū)域的解析區(qū)域為在函數(shù)為在函數(shù)其中其中導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為階階它的它的的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)解析函數(shù)解

19、析函數(shù) 34. ),( 0, , ),( 2222內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù)為區(qū)域為區(qū)域那末稱那末稱并且滿足拉普拉斯方程并且滿足拉普拉斯方程有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具內(nèi)具在區(qū)域在區(qū)域如果二元實變函數(shù)如果二元實變函數(shù)DyxyxDyx 調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù) 任何在任何在 D 內(nèi)解析的函數(shù)內(nèi)解析的函數(shù), ,它的實部和虛部它的實部和虛部都是都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù).35. . , , 的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)稱稱為為和和函函數(shù)數(shù)中中的的兩兩個個調(diào)調(diào)內(nèi)內(nèi)滿滿足足方方程程在在即即uvxvyuyvxuD ,. ),( ),( , ),( 的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)稱稱為為函函數(shù)數(shù)內(nèi)

20、內(nèi)構(gòu)構(gòu)成成解解析析函函數(shù)數(shù)的的調(diào)調(diào)和和在在們們把把使使我我內(nèi)內(nèi)給給定定的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)yxuyxvDivuDyxu 定理定理 區(qū)域區(qū)域D D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù)軛調(diào)和函數(shù). . 共軛調(diào)和函數(shù)36 典型例題例例1 1 計算計算 的值，其中的值，其中C為為1）沿從）沿從 到到 的線段：的線段：2）沿從）沿從 到到 的線段：的線段： 與從與從 到到 的線段的線段 所接成的折線所接成的折線. czzd)0 , 0()1 ,1(; 10 , ttytx)0 , 0()0 , 1(, 10 , 0,:1 tytxC)0 , 1()1 , 1

21、(10 , 1:2 ttyxC解解 10)(d)(dittittzzc 10d)1)(tiitt 10d2tt)1 , 1()0 , 1(C1C2COxy; 1 37zzzzzzcccddd)221 1010d)1 (dtiittt i2121.1i 說明說明 同一函數(shù)沿不同路徑所得積分值不同同一函數(shù)沿不同路徑所得積分值不同.38.10,d)1 (3光滑曲線的閉與是不經(jīng)過其中計算CzzzeCz例例5 5解解分以下四種情況討論：分以下四種情況討論：則則也也不不包包含含既既不不包包含含若若封封閉閉曲曲線線, 10)1C,)1()(3內(nèi)內(nèi)解解析析在在Czzezfz . 0d)1(3 Czzzze古薩

22、基本定理得古薩基本定理得由柯西由柯西39則則而不包含而不包含包含包含若封閉曲線若封閉曲線, 10)2C由由柯柯西西積積分分公公式式得得內(nèi)內(nèi)解解析析在在,)1()(3Czezfz xyOC 1zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 03)1(2 zzzei.2 i 40則則而不包含而不包含包含包含若封閉曲線若封閉曲線, 01)3C,)(內(nèi)解析內(nèi)解析在在Czezfz 由高階導(dǎo)數(shù)公式得由高階導(dǎo)數(shù)公式得zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 zzzeCzd)1(3 )1(! 22fi 132)22( zzzezzi. ie 41, 01)4又又包包含含既既包包含含若若封封閉閉曲曲線線C,0

23、,1 , 0212121互不包含互不包含互不相交互不相交與與且且內(nèi)內(nèi)也在也在和和使使為半徑作圓為半徑作圓以以為圓心為圓心則分別以則分別以CCCCCCC 據(jù)復(fù)合閉路定理有據(jù)復(fù)合閉路定理有 Czzzzed)1(3 21d)1(d)1(33CzCzzzzezzzexyOC 11C2C42 Cziezzze.)2(d)1(3所所以以,)3d)1(23iezzzeCz 的結(jié)果的結(jié)果即為即為而積分而積分,2)2d)1(13izzzeCz 的的結(jié)結(jié)果果即即為為而而積積分分43解解0)1(1)1()!1(2d)1( znznnizz; 0 0)1(1)()!1(2d)2( znzznzenizze0)!1(2

24、 zzeni.)!1(2 ni.d)2(,d)1(11zzezzznzzn 為大于為大于1的自然數(shù)的自然數(shù).n 例6 計算下列積分所所以以的的奇奇點點和和是是因因為為,10nznzezz 44).,(),()(),(.),(22yxivyxuzfyxvxyyxyxu 及及解解析析函函數(shù)數(shù)軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)求求其其共共已已知知調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)例例7 7解法一解法一 不定積分法不定積分法. 利用柯西利用柯西黎曼方程黎曼方程, ,2)2(xyxyyuxv ),(22d)2(2ygxxyxxyv 得得).(2ygxyv .2yxxuyv 又又45,2)(2:yxygx 比較兩式可得比較兩式可得.)(

25、yyg 故故 .2d)(2Cyyyyg即即)(22222為為任任意意常常數(shù)數(shù)因因此此CCyxxyv 因而得到解析函數(shù)因而得到解析函數(shù)),(),()(yxiyxuzf iCyxxyixyyx 222)(2222iCyixyxiyixyx )2(2)2(2222.)2(22iCiz 46解解xuyv 因因為為yyxyxyxvd)3123(),(22 所所以以),(63322xgyxyyx ,yuxv 因因為為)666()(66222yxyxxgyxy 所所以以26)(xxg xxxgd6)(2 ,23Cx 3223236),(yxyyxxyxu ivuzf )(. 0)0( f例8 已知 求解析函

26、數(shù) ,使符合條件,312322yxyx 47)263(236)(33223223Cxyxyyxiyxyyxxzf iCzi 3)21(0)0( f.)21()(3zizf 故故Cxyxyyxyxv 3322263),(且且, 0 C48第四章 級 數(shù)1、復(fù)數(shù)列、復(fù)級數(shù)收斂充要條件、復(fù)數(shù)列、復(fù)級數(shù)收斂充要條件2、冪級數(shù)收斂半徑求法冪級數(shù)收斂半徑求法3、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)函數(shù)展開成泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)49,! 21)1(02 nnnznznzzze,111)2(02 nnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)4(1253 nzzzzznn常見函數(shù)的泰勒展開式)1( z)1( z

27、)( z)( z,) 1() 1(111)3(02 nnnnnzzzzz50,)!2()1(! 4! 21cos)5(242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6(132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7(zzzz ,!)1()1( nznn )1( z51根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性, 可可用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開 .(2) 間接展開法間接展開法將函數(shù)展為洛朗級數(shù)的方法(1) 直接展開法直接展開法,d)()(2110

28、 Cnnzfic 根據(jù)洛朗定理求出系數(shù)根據(jù)洛朗定理求出系數(shù).)()(0nnnzzczf 然然后后寫寫出出52典型例題例例1 1 判別級數(shù)的斂散性判別級數(shù)的斂散性.;21)1(1 nnin解解 11 nn因為因為發(fā)散，發(fā)散， 121nn收斂，收斂，. 21 1發(fā)發(fā)散散所所以以 nnin53典型例題典型例題例例1 1 判別級數(shù)的斂散性判別級數(shù)的斂散性.;251)2(1 nni解解,226251 nni 因為因為, 0226lim nn. 251 1發(fā)發(fā)散散所所以以 nni54;)3(1 nnni解解 541321 1iiininn因為因為 614121,51311 i . 1收收斂斂故故 nnni

29、收斂收斂收斂收斂典型例題典型例題例例1 1 判別級數(shù)的斂散性判別級數(shù)的斂散性.55.)32(1)4(1 nni解解 ,)32(1nni 設(shè)設(shè)innnn321limlim 1 因為因為131 , 1 由正項級數(shù)的比值判別法知由正項級數(shù)的比值判別法知 1)32(1nni絕對收斂絕對收斂.典型例題典型例題例例1 1 判別級數(shù)的斂散性判別級數(shù)的斂散性.56例例2 2 求下列冪級數(shù)的收斂半徑求下列冪級數(shù)的收斂半徑.)4(!) 3(!)2() 1 (100022kknnnnnnzznnznz解解nnncc1lim )1( 由由22)1(lim nnn, 1 . 1 R得得nnncc1lim )2( 由由)

30、!1(!lim nnn, 0 . R得得nnncc1lim )3( 由由!)!1(limnnn , . 0 R得得57 12)4(kkz ., 1;, 0,22knknCn即即因因為為級級數(shù)數(shù)是是缺缺項項級級數(shù)數(shù), 1lim1 nnnCR故故. 1 R58分析：分析：采用間接法即利用已知的展開式來求采用間接法即利用已知的展開式來求.解解)(21cos izizzzeeeze 因為因為21)1()1(ziziee 00!)1 (!)1 (21nnnnnnnzinzinnnnziin)1 ()1(!1210 )( z例例4 4 求求 在在 的泰勒展式的泰勒展式.zezfzcos)( 0 z解析函數(shù)

31、展為冪級數(shù)的方法解析函數(shù)展為冪級數(shù)的方法59nnininnzzeenze 044!)2(21cos 所所以以.4cos!)2(0nnnznn )( z由于由于,214iei ;214iei 60例例7 7. 1 )1(1 3內(nèi)內(nèi)的的泰泰勒勒展展開開式式在在求求函函數(shù)數(shù) zz分析：分析：利用逐項求導(dǎo)、逐項積分法利用逐項求導(dǎo)、逐項積分法.解解 )1(21)1(1 13zz因因為為)1( z所以所以 0321)1(1nnzz22)1(21 nnznn.)1)(2(210mmzmm )1( z61例例9 9. 0 )1)(3(785)( 2234的的泰泰勒勒展展開開式式在在點點求求 zzzzzzzzf

32、分析分析:利用部分分式與幾何級數(shù)結(jié)合法利用部分分式與幾何級數(shù)結(jié)合法. 即把函數(shù)即把函數(shù)分成部分分式后分成部分分式后, 應(yīng)用等比級數(shù)求和公式應(yīng)用等比級數(shù)求和公式.解解2)1(1322)( zzzzf1313131 zznnnz 0131)3( z)(1111zz nnnz 0) 1()1( z62 1112)1()1(1 nnnnzz即即nnnzn)1()1(0 )1( z故故2)1(1322)( zzzzf,) 1()1 (1112 nnnznz)1( z兩端求導(dǎo)得兩端求導(dǎo)得63nnnnnnznzz)1()1(3122001 zzzznnn213129232221 nnnzn) 1() 1(2

33、 nnnnznz 2132)1()1(921312)1( z64, 0 內(nèi)內(nèi)在在 z nzznzzzez!1! 2111 2212所所以以.!1! 31! 2122 nznzzz 0! nnznze因為因為例例1010. 0 12的的去去心心鄰鄰域域的的洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)在在求求 zezz解解,!101 nnzzne65例例11111 ( ) ()(2).fzziz將在 下 列 圓 環(huán) 域 內(nèi)展 開 成 洛 朗 級 數(shù), 21)1( z.2)2( z解解, 21 )1(內(nèi)內(nèi)在在 z有有. 12, 1 zzi )2)(1)(zizzf zizi2112166 21211121zzizi 00112

34、)(21nnnnnnzzii.221)(210110 nnnnnnzizii, 2 )2(內(nèi)內(nèi)在在 z12, 1 zzi 21121)( zizizf故故67 zzzizi2111121 00112)(21nnnnnnzzii .2)(2101 nnnnzii 同一級數(shù)在不同圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)展開式同一級數(shù)在不同圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)展開式是不同的是不同的.68, 1 時時在在 z zzzzzf111) 1(1)(2 zzz11111 211111zzzz解解例例1212.)1(1)(, 3 , d)( 2 zzzfzCzzfC且且周周為正向圓為正向圓其中其中的值的值求積分求積分69 d)()(2

35、1 10 CnnzfiC因因為為 d )(21 1 CfiC所所以以12d )( iCzzfC. 0d)1(12 zzzC故故 4323211zzzz 4321zz70 第五章 留 數(shù)1、孤立奇點的判別、孤立奇點的判別2、留數(shù)的計算與留數(shù)定理留數(shù)的計算與留數(shù)定理711）定義定義 如果如果函數(shù)函數(shù))(zf0z在在 不解析不解析, 但但)(zf在在0z的某一去心鄰域的某一去心鄰域 00zz內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析, 則稱則稱0z)(zf為為的孤立奇點的孤立奇點. 孤立奇點的概念與分類孤立奇點孤立奇點奇點奇點2）孤立奇點的分類孤立奇點的分類依據(jù)依據(jù))(zf在其孤立奇點在其孤立奇點0z的去心鄰域的去心鄰域

36、 00zz內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類:i) 可去奇點可去奇點; ii) 極點極點; iii) 本性奇點本性奇點.72定義定義 如果洛朗級數(shù)中不含如果洛朗級數(shù)中不含 的負冪項的負冪項, 那末那末0zz 0z)(zf孤立奇點孤立奇點 稱為稱為 的可去奇點的可去奇點. i) 可去奇點73ii) 極點極點 01012020)()()()(czzczzczzczfmm 0, 1 mcm )(01zzc, )()(1)(0zgzzzfm 0zz 定義定義 如果洛朗級數(shù)中只有有限多個如果洛朗級數(shù)中只有有限多個的的10)( zz,)(0mzz 負冪項負冪項, 其中關(guān)于其中關(guān)于的最高冪

37、為的最高冪為即即級極點級極點.0z)(zfm那末孤立奇點那末孤立奇點稱為函數(shù)稱為函數(shù)的的或?qū)懗苫驅(qū)懗?4極點的判定方法極點的判定方法0z在點在點 的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)mzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的鄰域內(nèi)解析的鄰域內(nèi)解析, 且且 )(zg0z. 0)(0 zg)(zf的負冪項為有的負冪項為有0zz 的洛朗展開式中含有的洛朗展開式中含有限項限項.(a) 由定義判別由定義判別(b) 由定義的等價形式判別由定義的等價形式判別(c) 利用極限利用極限 )(lim0zfzz判斷判斷 .75如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個0zz 那末孤立奇點那末孤立奇點0z稱為

38、稱為)(zf的本性奇點的本性奇點.的負冪項的負冪項,注意注意: 在本性奇點的鄰域內(nèi)在本性奇點的鄰域內(nèi))(lim0zfzz不存在且不不存在且不為為. iii)本性奇點76i) 零點的定義零點的定義 不恒等于零的解析函數(shù)不恒等于零的解析函數(shù))(zf如果如果能表示成能表示成),()()(0zzzzfm )(z 0z其中其中在在, 0)(0 z解析且解析且m為某一正整數(shù)為某一正整數(shù), 那末那末0z稱為稱為)(zf的的 m 級零點級零點. 3)函數(shù)的零點與極點的關(guān)系ii)零點與極點的關(guān)系零點與極點的關(guān)系如果如果0z是是)(zf的的 m 級極點級極點, 那末那末0z就是就是)(1zf的的 m 級零點級零點

39、. 反過來也成立反過來也成立.77 2. 留數(shù)記作記作.),(Res0zzf域域內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)中中負負.)(101的的系系數(shù)數(shù)冪冪項項 zzc為為中中心心的的圓圓環(huán)環(huán)在在即即0)(zzf定義定義 如果如果)(0zfz 為為函函數(shù)數(shù)的一個孤立奇點的一個孤立奇點, 則沿則沿Rzzz 000的的某某個個去去心心鄰鄰域域在在內(nèi)包含內(nèi)包含0z的的任意一條簡單閉曲線任意一條簡單閉曲線 C 的積分的積分 Czzfd)(的值除的值除i 2后所得的數(shù)稱為后所得的數(shù)稱為.)(0的的留留數(shù)數(shù)在在zzf以以781)留數(shù)定理留數(shù)定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(zf在區(qū)域在區(qū)域 D內(nèi)除有限個孤內(nèi)除有限個孤nzzz,21外

40、處處解析外處處解析, C 是是 D內(nèi)包圍諸奇內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線點的一條正向簡單閉曲線, 那末那末 nkkCzzfizzf1),(Res2d )(立奇點立奇點留數(shù)定理將沿封閉曲線留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在在C內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù)內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù).79(1) 如果如果0z為為)(zf的可去奇點的可去奇點, 則則. 0),(Res0 zzf)()(lim),(Res0000zzfzzzzfzz 如果如果 為為 的一級極點的一級極點, 那末那末0z)(zf a) (2) 如果如果0z為為的本性奇點的本性奇點, 則需將則需將成洛朗級數(shù)求成洛朗級數(shù)求

41、1 c)(zf)(zf展開展開(3) 如果如果0z為為的極點的極點, 則有如下計算規(guī)則則有如下計算規(guī)則)(zf2)留數(shù)的計算方法80 c)設(shè)設(shè),)()()(zQzPzf )(zP及及)(zQ在在0z如果如果,0)(,0)(,0)(000 zQzQzP那末那末0z為一級極點為一級極點, 且有且有都解析，都解析，.)()(),(Res000zQzPzzf 如果如果 為為 的的 級極點級極點, 那末那末0z)(zfm)()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz b)81.),(Res1 Czf也可定義為也可定義為 Czzfid)(21記作記作 Czzfizfd)(21),(Res1.定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(zf在圓環(huán)域在圓環(huán)域 z0內(nèi)解析內(nèi)解析C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條正向簡單閉曲線為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條正向簡單閉曲線那末積分那末積分值為值為)(zf在在 的留數(shù)的留數(shù).的值與的值與C無關(guān)無關(guān) , 則稱此定則稱此定 Czzfid)(21