單自由度機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)任意時(shí)間函數(shù)力

1、1.1.3 單自由度機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)任意時(shí)間函數(shù)力單自由度機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)任意時(shí)間函數(shù)力 激勵(lì)的受迫振動(dòng)激勵(lì)的受迫振動(dòng)1.1 1.1 單自由度機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng) 內(nèi)容提要u一、一、任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng) 系統(tǒng)的作用系統(tǒng)的作用u二、二、非周期力作用下單自由度振子非周期力作用下單自由度振子 的振動(dòng)的振動(dòng) 為周期力：為周期力： 運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：)(tf)()(nTtftf)(22tfDxdtdxRdtxdmm 由于方程是線(xiàn)性的，所以由于方程是線(xiàn)性的，所以 和和 可以看可以看作是一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)的輸出和輸入（激勵(lì)和響應(yīng)）：作是一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)的輸出和輸入（激勵(lì)和響應(yīng)

2、）： )(tx)(tf一、一、 任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用根據(jù)線(xiàn)性系統(tǒng)的迭加原理，若根據(jù)線(xiàn)性系統(tǒng)的迭加原理，若 是是 的響應(yīng)，的響應(yīng)， 是是 的響應(yīng)；的響應(yīng)；則則 的響應(yīng)是的響應(yīng)是 對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，若激勵(lì)對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，若激勵(lì) 是頻率為是頻率為 的簡(jiǎn)諧函數(shù)，則響應(yīng)的簡(jiǎn)諧函數(shù)，則響應(yīng) 也必是頻率也必是頻率 為的簡(jiǎn)諧函數(shù)，在為的簡(jiǎn)諧函數(shù)，在 中并不會(huì)有其它頻率中并不會(huì)有其它頻率分量。分量。)()()(21tftftf)(1tx)(1tf)(2tx)(tf)()()(21txtxtx)(2tf)(tx)(tx一、一、 任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用任意

3、周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用由此可知求周期力激勵(lì)下系統(tǒng)響應(yīng)的方法為：由此可知求周期力激勵(lì)下系統(tǒng)響應(yīng)的方法為： （1 1）把把 表示成傅立葉級(jí)數(shù)形式：表示成傅立葉級(jí)數(shù)形式： )(tf)cos()(0nnnntAtf)cos()(022nnnnmtAtfDxdtdxRdtxdm（2 2）取，取，)cos()(nnnntAtf一、一、 任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用（3 3）令，）令， 是是 激勵(lì)下的位移響應(yīng)，則：激勵(lì)下的位移響應(yīng)，則：)(txn)(tfn)cos()()()()(22nnnnnnmntAtftDxdttdxRdttxdm一、一、 任意周

4、期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用若：若： ，則：則：其特解（穩(wěn)態(tài)解）為：其特解（穩(wěn)態(tài)解）為：其中，其中， （振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械阻抗）（振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械阻抗）)(Re)(txtxnnj()( )ej()nntnnnnAx tZ()j()nmnnDZRm2j()2( )( )( )entnnmnnd x tdx tmRDx tAdtdt一、一、 任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用j()0( )Re ( )Reejj()nntnnnmnnAx tx tDRm所以所以:j()00( )( )ejj()nntnnnnnmnnAx tx t

5、DRm（4 4）由線(xiàn)性系統(tǒng)的迭加定理，可知：）由線(xiàn)性系統(tǒng)的迭加定理，可知： 一、一、 任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用綜上，此方法過(guò)程：綜上，此方法過(guò)程：(1)(1)周期力周期力 f(t) f(t) 分解成簡(jiǎn)諧力的迭加分解成簡(jiǎn)諧力的迭加; ;(2)(2)求出每個(gè)簡(jiǎn)諧力的響應(yīng)求出每個(gè)簡(jiǎn)諧力的響應(yīng); ;(3)(3)再將各簡(jiǎn)諧力的響應(yīng)迭加再將各簡(jiǎn)諧力的響應(yīng)迭加, ,得到周期力得到周期力 f(t) f(t) 作用下機(jī)械系統(tǒng)的響應(yīng)。作用下機(jī)械系統(tǒng)的響應(yīng)。此方法的條件：方程是線(xiàn)性的。此方法的條件：方程是線(xiàn)性的。 并且，在這里沒(méi)有考慮暫態(tài)解。并且，在這里沒(méi)有考慮暫態(tài)解

6、。一、一、 任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用)(tf為任意函數(shù)力為任意函數(shù)力運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：若為若為“0”0”初值問(wèn)題，則有：初值問(wèn)題，則有：)(22tfDxdtdxRdtxdmm一、一、 非周期力作用下單自由度振子的振動(dòng)非周期力作用下單自由度振子的振動(dòng)對(duì)方程兩側(cè)取傅立葉變換，對(duì)方程兩側(cè)取傅立葉變換，記：記： 0| )(0ttx0| )(0ttv0| )(0ttf 分別為分別為 和和 的傅立葉變換的傅立葉變換)()(txFX)()(tfFF)(tf)(tx( )( )j j()mFXDRm有：有：“0”初值問(wèn)題初值問(wèn)題一、一、 任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械

7、振動(dòng)系統(tǒng)的作用任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用所以所以 ： j1j1( )e( )( )2j j()1( )e2(j )(j )tmtFx tFXdDRmFdm 對(duì)于這個(gè)對(duì)于這個(gè) 的積分可利用的積分可利用留數(shù)定理留數(shù)定理來(lái)做來(lái)做),(一、一、 任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用上式中后一項(xiàng)是由系統(tǒng)參數(shù)決定的項(xiàng)，對(duì)應(yīng)于暫態(tài)上式中后一項(xiàng)是由系統(tǒng)參數(shù)決定的項(xiàng)，對(duì)應(yīng)于暫態(tài)解；隨時(shí)間增加，逐漸消失。解；隨時(shí)間增加，逐漸消失。前一項(xiàng)是由激勵(lì)力函數(shù)的富氏變換函數(shù)前一項(xiàng)是由激勵(lì)力函數(shù)的富氏變換函數(shù) 的奇點(diǎn)的奇點(diǎn)決定的項(xiàng)，對(duì)應(yīng)于穩(wěn)態(tài)解。決定的項(xiàng)，對(duì)應(yīng)于穩(wěn)態(tài)解。 )(zF

8、jj( )jj1( )e( )2(j )(j )1( )2 j2(j )(j )( )ej(j )(j )(j )e(j )j()22tjztztF ztttFx tdmF z eresm zzF zresm zzFFeemm 上半面上半面奇點(diǎn)傅立葉變換的方法并不是唯一解決此類(lèi)問(wèn)題（求任傅立葉變換的方法并不是唯一解決此類(lèi)問(wèn)題（求任意力激勵(lì)的響應(yīng)）的方法，傅立葉變換是在頻域上意力激勵(lì)的響應(yīng)）的方法，傅立葉變換是在頻域上的辦法，當(dāng)然還可以用時(shí)域的辦法：的辦法，當(dāng)然還可以用時(shí)域的辦法： 系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)：)()(1HFtg)()()(FXH系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)：系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)：一、一、 任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用對(duì)于前例單自由度阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，位移響應(yīng)的對(duì)于前例單自由度阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，位移響應(yīng)的傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：( )11( )( )j( )j j()mmXHDFZRmj11e( )( )2