4.3高階微分方程的降價和冪級數解法ppt課件

1、14.3高階高階微分方程的降階和冪級數解法微分方程的降階和冪級數解法 2一、可降階的一些方程類型一、可降階的一些方程類型 n階微分方程的一般形式階微分方程的一般形式:0),()(nxxxtF)57. 4(0),()()1()(nkkxxxtF階方程的則可把方程化為若令knyyxk,)()58. 4(0),()(knyyytF 1、 不顯含未知函數不顯含未知函數x 或更一般不顯含未知函數及其直到或更一般不顯含未知函數及其直到 階導數的方程：階導數的方程：1 (1)kk3若能求得若能求得(4.58)的通解的通解),(1knccty對上式經過對上式經過k次積分次積分,即可得即可得(4.57)的通解的

2、通解即即( )1( ,).kn kxt cc11( ,),nnxt cccc這里為任常數.4 解題步驟解題步驟:則方程化為令,)(yxk第一步第一步:0),()(knyyytF第二步第二步:求以上方程的通解求以上方程的通解),(1knccty即即),(1)(knkcctx第三步第三步: 對上式求對上式求k次積分次積分,即得原方程的通解即得原方程的通解為任常數這里nncccctx,),(11)57. 4(0),()()1()(nkkxxxtF5解解:令令,44ydtxd則方程化為則方程化為01ytdtdy這是一階方程這是一階方程,其通解為其通解為,cty 即有即有,44ctdtxd對上式積分對上

3、式積分4次次, 得原方程的通解為得原方程的通解為53212345.xctc tc tc tc例例1.014455的通解求方程dtxdtdtxd6 2、 不顯含自變量不顯含自變量t的方程的方程 一般形式一般形式:)59. 4(, 0),()(nxxxF 解題步驟解題步驟:第一步第一步:,yxyx令并以 為新的未知函數 為新的自變量 原方程化為0),()1()1(nndxyddxdyyxG7第二步第二步: 求以上方程的通解求以上方程的通解),(11nccxy第三步第三步: 解方程解方程),(11nccxdtdx即得原方程的通解。即得原方程的通解。8解：解：令令,作為新的自變量并以xydtdx則方程

4、化為則方程化為02 ydxdyxy從而可得從而可得, 0y及及,xydxdy這兩方程的全部解是這兩方程的全部解是,1xcy 例例2.0)(222的通解求方程dtdxdtxdx再代回原來變量得到再代回原來變量得到,1xcdtdx所以得原方程的通解為所以得原方程的通解為12,c txc e9 3、 已知齊線性方程的非零特解已知齊線性方程的非零特解,進行降階進行降階22( )( )0,(4.69)d xdxp tq t xdtdt的解。的解。解題步驟為：解題步驟為：對于二階齊次線性微分方程，如果知道它的一對于二階齊次線性微分方程，如果知道它的一個解，則方程的求解過程如下：個解，則方程的求解過程如下：

5、10 xx設設是二階齊次線性微分方程是二階齊次線性微分方程第一步第一步:1xx y令方程變?yōu)?112( )0 x yxp t x y第二步第二步:zy令方程變?yōu)?112( )0dzxxp t x zdt10解之得解之得( )21,p t dtczex即即( )112211,(4.70)p t dtxx ccedtx1112( )0 dzxxp t x zdt112( )xdzp t zdtx 這是一階齊次線性微分方程。這是一階齊次線性微分方程。11第三步第三步:1210,ccx令=1得與 線性無關一個解:( )21211,p t dtxxedtx第四步第四步: (4.69)的的通解通解為為( )112211,(4.70)p t dtxx ccedtx12,c c這里是任常數.注：注：一般求一般求(4.69)的解直接用公式的解直接用公式(4.70)12解：解：這里這里12sin( ),tp txtt由由(4.70)得得例例322sin20.td xdxxxtdtt dt已知是方程的解,試求方程的通解21222si