勾股定理的證明(比較全的證明方法)

1、325242數(shù)形結(jié)合之美在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱(chēng)為在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱(chēng)為 勾勾 ，下半部分稱(chēng)為，下半部分稱(chēng)為 股股 。我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形。我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱(chēng)為較短的直角邊稱(chēng)為“勾勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱(chēng)為，較長(zhǎng)的直角邊稱(chēng)為“股股”，斜邊稱(chēng)為斜邊稱(chēng)為“弦弦”. .勾勾股股勾股弦的定義勾股定理的由來(lái)這個(gè)定理在中國(guó)又稱(chēng)為這個(gè)定理在中國(guó)又稱(chēng)為“商高定理商高定理”，在外國(guó)稱(chēng)為，在外國(guó)稱(chēng)為“畢達(dá)哥拉畢達(dá)哥拉斯定理斯定理”。為什么一個(gè)定理有這么多名稱(chēng)呢？商高是公元前十一世。為什么一個(gè)定理有這么多名稱(chēng)呢？商高是公元前十一世紀(jì)的中國(guó)人。當(dāng)時(shí)中

2、國(guó)的朝代是西周，是奴隸社會(huì)時(shí)期。紀(jì)的中國(guó)人。當(dāng)時(shí)中國(guó)的朝代是西周，是奴隸社會(huì)時(shí)期。 在中國(guó)古代大約是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期西漢的數(shù)學(xué)著作在中國(guó)古代大約是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期西漢的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)中記中記錄著商高同周公的一段對(duì)話。商高說(shuō)：錄著商高同周公的一段對(duì)話。商高說(shuō)：“故折矩，故折矩，勾廣三，股修勾廣三，股修四，經(jīng)隅五四，經(jīng)隅五?！笆裁词鞘裁词恰惫?、股勾、股“呢？在中國(guó)古代，人們把彎曲成呢？在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱(chēng)為直角的手臂的上半部分稱(chēng)為“勾勾”，下半部分稱(chēng)為，下半部分稱(chēng)為“股股”。商高那。商高那段話的意思就是說(shuō)：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為段話的意思就是說(shuō)：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊

3、分別為3 3（短邊）（短邊）和和4 4（長(zhǎng)邊）時(shí)，徑隅（就是弦）則為（長(zhǎng)邊）時(shí)，徑隅（就是弦）則為5 5。以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)。以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說(shuō)成事實(shí)說(shuō)成“勾三股四弦五勾三股四弦五”。由于勾股定理的內(nèi)容最早見(jiàn)于商高。由于勾股定理的內(nèi)容最早見(jiàn)于商高的話中，所以人們就把這個(gè)定理叫作的話中，所以人們就把這個(gè)定理叫作 商高定理商高定理 。畢達(dá)哥拉斯（畢達(dá)哥拉斯（PythagorasPythagoras）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年比商高晚出生五百多年。希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾。希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德（里德（EuclidE

4、uclid，是公元前三百年左右的人）在編著，是公元前三百年左右的人）在編著幾何原本幾何原本時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個(gè)時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個(gè)定理稱(chēng)為定理稱(chēng)為“畢達(dá)哥拉斯定理畢達(dá)哥拉斯定理”，以后就流傳開(kāi)了，以后就流傳開(kāi)了。（為了慶祝這一定理。（為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個(gè)定理又有人叫做的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個(gè)定理又有人叫做“百牛定理百牛定理”）走進(jìn)數(shù)學(xué)史走進(jìn)數(shù)學(xué)史 兩千多年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明頗感興趣，因?yàn)檫@個(gè)定理太貼近人兩千多年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明頗感

5、興趣，因?yàn)檫@個(gè)定理太貼近人們的生活實(shí)際，以至于古往今來(lái)，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討們的生活實(shí)際，以至于古往今來(lái)，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它的證明因此不斷出現(xiàn)關(guān)于勾股定理的新證法和研究它的證明因此不斷出現(xiàn)關(guān)于勾股定理的新證法1 1傳說(shuō)中畢達(dá)哥拉斯的證法傳說(shuō)中畢達(dá)哥拉斯的證法2 2趙爽弦圖的證法趙爽弦圖的證法4 4美國(guó)第美國(guó)第2020任總統(tǒng)茄菲爾德的證法任總統(tǒng)茄菲爾德的證法3 3劉徽的證法劉徽的證法勾股定理的證明勾股定理的證明5 5其他證法其他證法勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來(lái)，人所以它充滿魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之

6、若騖，其中有們對(duì)它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，有普通的老百姓，也有尊好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國(guó)家總統(tǒng)。貴的政要權(quán)貴，甚至有國(guó)家總統(tǒng)。也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾?jiǎn)也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾?jiǎn)單，更容易吸引人，才使它成百單，更容易吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。有資料表明，關(guān)于勾股定理證。有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有的證明方法已有500500余種，僅我余種，僅我國(guó)清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二國(guó)清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。十多種精彩的證法。 在這數(shù)百種

7、證明方法中，有在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡(jiǎn)潔，有的十分精彩，有的十分簡(jiǎn)潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。著名。 現(xiàn)在在網(wǎng)絡(luò)上看到較多的是現(xiàn)在在網(wǎng)絡(luò)上看到較多的是1616種種, ,包括前面的包括前面的6 6種種, ,還有還有: :返回 這棵樹(shù)漂亮嗎？如果在樹(shù)上掛上這棵樹(shù)漂亮嗎？如果在樹(shù)上掛上幾串彩色燈泡，再掛上些小鈴鐺、小幾串彩色燈泡，再掛上些小鈴鐺、小彩球、小禮盒、小的圣誕老人，是不彩球、小禮盒、小的圣誕老人，是不是更像一棵圣誕樹(shù)是更像一棵圣誕樹(shù) 也許有人會(huì)問(wèn)：也許有人會(huì)問(wèn)：“它與勾股定理它與勾股定理有什么關(guān)系嗎？有什么關(guān)系嗎？”仔細(xì)看看，你

8、會(huì)發(fā)現(xiàn)，奧妙在樹(shù)仔細(xì)看看，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，奧妙在樹(shù)干和樹(shù)枝上，整棵樹(shù)都是由下方的這干和樹(shù)枝上，整棵樹(shù)都是由下方的這個(gè)基本圖形組成的：個(gè)基本圖形組成的：一個(gè)直角三角形一個(gè)直角三角形以及分別以它的每邊為一邊向外所作以及分別以它的每邊為一邊向外所作的正方形的正方形 這個(gè)圖形有什么作用呢？不要小看它哦！古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)這個(gè)圖形有什么作用呢？不要小看它哦！古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就是利用這個(gè)圖形驗(yàn)證了勾股定理哥拉斯就是利用這個(gè)圖形驗(yàn)證了勾股定理 關(guān)于勾股定理的證明，現(xiàn)在人類(lèi)保存下來(lái)的最早的關(guān)于勾股定理的證明，現(xiàn)在人類(lèi)保存下來(lái)的最早的文字資料是歐幾里得（公元前文字資料是歐幾里得（公元前300年左右）所著的年左

9、右）所著的幾幾何原本何原本第一卷中的命題第一卷中的命題47：“直角三角形斜邊上的正直角三角形斜邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個(gè)正方形之和方形等于兩直角邊上的兩個(gè)正方形之和”其證明是用其證明是用面積來(lái)進(jìn)行的面積來(lái)進(jìn)行的傳說(shuō)中畢達(dá)哥拉斯的證法傳說(shuō)中畢達(dá)哥拉斯的證法已知：如圖，以在已知：如圖，以在RtABC中，中，ACB=90，分別以，分別以a、b、c為邊向外作正方形為邊向外作正方形 求證：求證：a2 +b2=c2數(shù)學(xué)故事鏈接數(shù)學(xué)故事鏈接 相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的

10、某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來(lái)觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什我們也來(lái)觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？么？探索勾股定理探索勾股定理數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：A、B、C的面積有什么關(guān)系？的面積有什么關(guān)系？SA+SB=SCABC探索勾股定理ABCS SA A=a=a2 2S SB B=b=b2 2S SC C=c=c2 2abca2+b2=c2設(shè)：直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是設(shè)：直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是a、b、c猜想猜想:兩直角邊兩直角邊a、b與斜邊與斜邊c 之間的關(guān)系？之間的關(guān)系？SA+SB=SC探索勾股定理返回 S矩形矩形ADNM2SA

11、DC又又正方形正方形ACHK和和ABK同底（同底（AK）、等高（即等高（即平行線平行線AK和和BH間的距離），間的距離）， S正方形正方形ACHK2SABK ADAB，ACAK，CADKAB， ADC ABK 由此可得由此可得S矩形矩形ADNMS正方形正方形ACHK 同理可證同理可證S矩形矩形MNEBS正方形正方形CBFG S矩形矩形ADNMS矩形矩形MNEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG 即即S正方形正方形ADEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG ， 也就是也就是 a2+b2=c2傳說(shuō)中畢達(dá)哥拉斯的證法傳說(shuō)中畢達(dá)哥拉斯的證法證明：從證明：從RtABC的三邊向外各作一

12、個(gè)正方形（如圖），作的三邊向外各作一個(gè)正方形（如圖），作CNDE交交AB于于M，那么正方形，那么正方形ABED被分成兩個(gè)矩形連結(jié)被分成兩個(gè)矩形連結(jié)CD和和KB返回由于矩形由于矩形ADNM和和ADC同同底（底（AD），等高，等高(即平行線即平行線AD和和CN間的距離間的距離)， 劉徽在劉徽在九章算術(shù)九章算術(shù)中對(duì)勾股定理的證明：中對(duì)勾股定理的證明：勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類(lèi)，因就其余不移動(dòng)也合成弦方之冪，開(kāi)從其類(lèi)，因就其余不移動(dòng)也合成弦方之冪，開(kāi)方除之，即弦也方除之，即弦也令正方形令正方形ABCD為朱方，正方為朱方，正方形形BEFG為

13、青方在為青方在BG間取一點(diǎn)間取一點(diǎn)H，使使AH=BG，裁下，裁下ADH，移至，移至CDI，裁下，裁下HGF，移至，移至IEF，是為是為“出入相補(bǔ)，各從其類(lèi)出入相補(bǔ)，各從其類(lèi)”，其，其余不動(dòng)，則形成弦方正方形余不動(dòng)，則形成弦方正方形DHFI勾股定理由此得證勾股定理由此得證 劉徽的證法劉徽的證法返回 我國(guó)對(duì)勾股定理的證明采取的是我國(guó)對(duì)勾股定理的證明采取的是割補(bǔ)法，最早的形式見(jiàn)于公元三、四割補(bǔ)法，最早的形式見(jiàn)于公元三、四世紀(jì)趙爽的世紀(jì)趙爽的勾股圓方圖注勾股圓方圖注在這在這篇短文中，趙爽畫(huà)了一張他所謂的篇短文中，趙爽畫(huà)了一張他所謂的“弦圖弦圖”，其中每一個(gè)直角三角形稱(chēng)，其中每一個(gè)直角三角形稱(chēng)為為“朱實(shí)

14、朱實(shí)”，中間的一個(gè)正方形稱(chēng)為，中間的一個(gè)正方形稱(chēng)為“中黃實(shí)中黃實(shí)”，以弦為邊的大正方形叫，以弦為邊的大正方形叫“弦實(shí)弦實(shí)”，所以，如果以，所以，如果以a、b、c分別分別表示勾、股、弦之長(zhǎng)，表示勾、股、弦之長(zhǎng)，那么：那么： 趙爽弦圖的證法趙爽弦圖的證法224()2abcba 得：得： c2 =a2+ b2返回學(xué)過(guò)幾何的人都知道勾股定理它是幾何中一個(gè)比較重要的定理，應(yīng)用十分廣學(xué)過(guò)幾何的人都知道勾股定理它是幾何中一個(gè)比較重要的定理，應(yīng)用十分廣泛迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有泛迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種其中，美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽余種其中，美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上

15、被傳為佳話菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話總統(tǒng)為什么會(huì)想到去證明勾股定理呢？難道他是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛(ài)好者？答案是總統(tǒng)為什么會(huì)想到去證明勾股定理呢？難道他是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛(ài)好者？答案是否定的事情的經(jīng)過(guò)是這樣的：否定的事情的經(jīng)過(guò)是這樣的：1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德他走著走著，突欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭(zhēng)然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳

16、上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)論，時(shí)而小聲探討由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么只見(jiàn)一個(gè)小男孩正俯著身子用樹(shù)枝在地上畫(huà)著一個(gè)直角三角小孩到底在干什么只見(jiàn)一個(gè)小男孩正俯著身子用樹(shù)枝在地上畫(huà)著一個(gè)直角三角形于是伽菲爾德便問(wèn)他們?cè)诟墒裁?？只?jiàn)那個(gè)小男孩頭也不抬地說(shuō)：形于是伽菲爾德便問(wèn)他們?cè)诟墒裁矗恐灰?jiàn)那個(gè)小男孩頭也不抬地說(shuō)：“請(qǐng)問(wèn)先生，請(qǐng)問(wèn)先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和和4，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？”伽菲爾德答到：

17、伽菲爾德答到：“是是5呀呀”小男孩又問(wèn)道：小男孩又問(wèn)道：“如果兩條直角邊分別為如果兩條直角邊分別為5和和7，那么這個(gè)直角三角形的，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？斜邊長(zhǎng)又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于那斜邊的平方一定等于5的平方的平方加上加上7的平方的平方”小男孩又說(shuō)道：小男孩又說(shuō)道：“先生，你能說(shuō)出其中的道理嗎？先生，你能說(shuō)出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)伽菲爾德一時(shí)語(yǔ)塞，無(wú)法解釋了，心理很不是滋味語(yǔ)塞，無(wú)法解釋了，心理很不是滋味 于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題他經(jīng)過(guò)于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討

18、小男孩給他留下的難題他經(jīng)過(guò)反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法總統(tǒng)巧證勾股定理總統(tǒng)巧證勾股定理美國(guó)第二十任美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)巧證勾股定理總統(tǒng)巧證勾股定理aabbccADCBE返回向常春的證明方法向常春的證明方法2111()()222ABCDSabbabaab 梯梯形形22211()22111222EBCAECDABCDSSScab bcabb 四四邊邊形形梯梯形形2221111122222aabcabb 222:abc 從從而而得得到到 注注:這一方法是向常春這一方法是向常春于于1

19、994年年3月月20日構(gòu)想發(fā)日構(gòu)想發(fā)現(xiàn)的新法現(xiàn)的新法abcba-bADCBEc 我們用拼圖的方法來(lái)說(shuō)明我們用拼圖的方法來(lái)說(shuō)明勾股定理是正確的勾股定理是正確的試試 一一 試試證明證明:上面的大正方形的面積為：上面的大正方形的面積為： 下面大的正方形的面積為：下面大的正方形的面積為： 從右圖中我們可以看出，這兩個(gè)正方形的從右圖中我們可以看出，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是邊長(zhǎng)都是ab，所以面積相等，即，所以面積相等，即2142cab22142abab222222114422cabcbabcab 以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于 . 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上.