正余弦定理知識點權(quán)威總結(jié)18頁

1、正余弦定理知識點權(quán)威總結(jié)：一、正弦定理和余弦定理1、定理正弦定理余弦定理2、內(nèi)容1、正弦定理：在中，、分別為角、的對邊，為的外接圓的半徑，則有 3、推論a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=,sinB=,sinC=;a:b:c=sinA: sinB: sinC;4、注意（1）在ABC中，已知A,a,b，討論三角形解的情況.先由可進一步求出B；則C =180°-(A+B),從而.（2）在ABC中，sinA>sinB是A>B的充要條件。（sinA>sinBa>bA>B）由余弦定理判斷三角形的形狀a2=b2+c2A是直角ABC是直角三

2、角形，a2b2+c2A是鈍角ABC是鈍角三角形，a2b2+cA是銳角/ABC是銳角三角形。（注意：A是銳角/ ABC是銳角三角形 ，必須說明每個角都是銳角）5、三角形面積公式三角形面積公式：； ，其中，為內(nèi)切圓半徑； ，為外接圓半徑6、已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況1.當(dāng)A為鈍角或直角時，必須ab才能有且只有一解；否則無解2.當(dāng)A為銳角時，如果ab，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若absinA，則有兩解；（2）若a=bsinA，則只有一解；（3）若absinA，則無解注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當(dāng)A為銳角且b

3、sinAab時，有兩解；其他情況時則只有一解或無解（1）A為直角或鈍角（2） A為銳角7、解三角形的一般思路：（1）已知兩角及一邊，利用正弦定理求解；（2）已知兩邊及其中一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一；（3）已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解；（4）已知三邊，利用余弦定理求解.8、方法與技巧總結(jié)1、已知兩角A、B，一邊,由A+B+C=及，可求角C，再求、；2、已知兩邊、與其夾角A，由2=2+2-2cosA，求出，再由余弦定理，求出角B、C；3、已知三邊、，由余弦定理可求出角A、B、C；4、已知兩邊、及其中一邊的對角A，由正弦定理，求出另一邊的對角B，由C=-(A+B

4、)，求出，再由求出C，而通過求B時，可能出一解，兩解或無解。二、例題精講&變式練習(xí)考點一：運用正余弦定理解三角形例題1：在ABC中，a2，b6，A30°，解三角形變式1：在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知A60°，a，b1，則c等于()A1 B2 C.1 D.變式2：在ABC中，已知a2，A30°，B45°，解三角形規(guī)律小結(jié)：對于已知兩邊及其中一邊的對角，或者已知兩個角以及任意一邊的情況下，套用正弦定理，可以直接求出對應(yīng)的角或邊考點二：運用余弦定理解三角形例題2：在ABC中，已知，B=45°，求b及A變式1：在ABC中

5、，邊a，b的長是方程x25x20的兩個根，C60°，求邊c.規(guī)律小結(jié)：在已知兩邊及夾角可利用余弦定理求出第三邊；在已知三邊的情況下，可利用余弦定理求出任意邊所對的角?？键c三：利用正弦定理、余弦定理判斷三角形的性狀及求取值范圍例2（1）（10上海文）若的三個內(nèi)角滿足則A一定是銳角三角形. B一定是直角三角形.C一定是鈍角三角形. D可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.（2）在銳角ABC中，BC1，B2A，則的值等于_，AC的取值范圍為_解析：1在ABC中，若，則ABC是()A直角三角形 B等邊三角形 C鈍角三角形 D等腰直角三角形答案B解析2在ABC中，sin A，a10，則邊長c的

6、取值范圍是()A. B(10，) C(0,10) D.答案D解析3在ABC中，a2bcos C，則這個三角形一定是()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形4、在ABC中，cos2，(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則ABC的形狀為 ()A正三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形解析：例題3：在中，若，試判斷形狀變式1：在中，已知，則為 三角形變式2：在ABC中，sin Asin Bsin C234，試判斷三角形的形狀變式3：在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，試確定ABC的形狀變式4：在三角形

7、ABC中，若acosB=bcosA，試判斷這個三角形的形狀變式5：在ABC中，a，b，c分別表示三個內(nèi)角A，B，C的對邊，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判斷三角形形狀規(guī)律小結(jié)：判斷三角形形狀的題型中，常常只給出三邊的關(guān)系，或者正余弦之間的關(guān)系式，那么，在做這類題型時，常常要將題目中的所有角度利用正余弦全部轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，進而化簡得到特殊關(guān)系；或者將所有的邊利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角度的關(guān)系，再利用三角恒等公式或者輔助角公式進行變換，最后得到特殊角，進而求解考點四：面積問題例3（2009浙江文）在中，角所對的邊分別為，且滿足， （I）求的面積； （II）若，求的值

8、1、在中，角所對的邊分別為，且滿足， （I）求的面積； BDCA（II）若，求的值 2、在ABC中，sin(C-A)=1, sinB=。（I）求sinA的值； (II)設(shè)AC=，求ABC的面積。 3在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且c10，又知，求a、b及ABC的內(nèi)切圓半徑解4在ABC中，a、b、c分別是三個內(nèi)角A、B、C的對邊，若a2，C，cos ，求ABC的面積S.解：例題4：在ABC中，a、b、c分別是角A，B，C的對邊，且=-.（1）求角B的大??；（2）若b=，a+c=4，求ABC的面積.變式1：在ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，則ABC的面積為

9、.變式2：在ABC中，內(nèi)角A、B、C對邊的邊長分別是a、b、c.已知c=2,C=.（1）若ABC的面積等于，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面積.變式3： 考點五：利用正余弦定理求角例4（2011屆稽陽聯(lián)考）如右圖，在中，為邊上一點， （1）求的大小；1.（2010山東文）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，,則角A的大小為 .【解析】考點六：證明恒等式1：在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a，b，c。已知。求證： 變式1：變式2：在ABC中，角A、B、C對邊分別為a、b、c。求證：在ABC中，角A、B、C對邊分別為a、b、c。求證：考點

10、七：運用余弦定與向量的綜合例題6：已知為的三內(nèi)角，且其對邊分別為若向量，向量，且.(1)求的值； (2)若，三角形面積，求的值：考點：三角函數(shù)的性質(zhì)以及解三角形變式練習(xí)2、（1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值范圍 考點八：正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用例1（11浙江文）在中，角所對的邊分.若，則（ ）A B C -1 D 1 1.在ABC中，則A的取值范圍是 （A）（B） （C）（D）2.在ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若ABC123，則abc等于()A123 B234 C345 D123 在ABC中，若tan A，C150°，BC1，則AB_4 在AB

11、C中，A60°，a6，b12，SABC18，則_，c_.考點九：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用1. 已知三角形ABC，B=450，AC= ， （1）求sinA；（2）求BC的長；（3）若D是AB的中點，求中線CD的長2. 設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，（）求B的大??；（）若，求b4. 在中， （）求的值；（）設(shè)，求的面積5. 設(shè)的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且a cosB=3，b sinA=4（）求邊長a；（）若的面積，求的周長 (1)6. 在中，內(nèi)角的對邊長分別為.已知，且，求.7. 設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c

12、，,，求B.8. 已知ABC的內(nèi)角，及其對邊，滿足，求內(nèi)角9.ABC中，D為邊BC上的一點，BD=33, ,.求AD.10.ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c己知（）求B；（）若11：在ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且（）求A+B的值；（）若得值. 12、考點十：正余弦定理與向量、數(shù)列的綜合應(yīng)用3四、方法與技巧總結(jié)1、已知兩角A、B，一邊,由A+B+C=及，可求角C，再求、；2、已知兩邊、與其夾角A，由2=2+2-2cosA，求出，再由余弦定理，求出角B、C；3、已知三邊、，由余弦定理可求出角A、B、C；4、已知兩邊、及其中一邊的對角A，由正弦定理，求

13、出另一邊的對角B，由C=-(A+B)，求出，再由求出C，而通過求B時，可能出一解，兩解或無解。五、課后作業(yè)1. 在ABC中，若2cosBsinA=sinC,則ABC一定是 三角形.2. 在ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，則的值為 .3. 在ABC中，BC=2，B=，若ABC的面積為，則tanC為 .4. 在ABC中，a2-c2+b2=ab,則C= .5. 在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c，若a=1,b=,c=,則B= .6. 某人向正東方向走了x千米，他右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走了3千米，結(jié)果他離出發(fā)點恰好千米，那么x的值是 .7. 已知ABC三邊滿足a2b2c2ab，則此三角形