正弦定理證明(共5頁)

1、一、正弦定理的幾種證明方法abDABC1.利用三角形的高證明正弦定理（1）當(dāng)ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有,。由此，得 ，同理可得 ， 故有 .從而這個結(jié)論在銳角三角形中成立.ABCDba（2）當(dāng)ABC是鈍角三角形時，過點C作AB邊上的高，交AB的延長線于點D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有， 。由此，得 ，同理可得 故有 .由(1)(2)可知，在ABC中， 成立.從而得到：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，即.2.利用三角形面積證明正弦定理DCBA已知ABC,設(shè)BCa, CAb,ABc,作ADBC,垂足為D.則RtADB中, ,AD=AB&#

2、183;sinB=csinB.SABC=.同理,可證 SABC=. SABC=.absinc=bcsinA=acsinB,在等式兩端同除以ABC,可得.即.3.向量法證明正弦定理(1)ABC為銳角三角形,過點A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90°-A,j與的夾角為90°-C.由向量的加法原則可得,為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,得到 由分配律可得. B C|j|Cos90°+|j|Cos(90°-C)=|j|Cos(90°-A). j asinC=csinA. A 另外,過點C作與垂直的

3、單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與的夾角為90°+B,可得.(此處應(yīng)強調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點為前提,防止誤解為j與的夾角為90°-C,j與的夾角為90°-B).CA(2)ABC為鈍角三角形,不妨設(shè)A90°,過點A作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為A-90°,j與的夾角為90°-C.由,得j·+j·=j·, jAB即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),asinC=csinA.另外,過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為9

4、0°+C,j與夾角為90°+B.同理,可得. 4.外接圓證明正弦定理在ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作ABC的外接圓,O為圓心,連結(jié)BO并延長交圓于B,設(shè)BB=2R.則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到BAB=90°，C =B，sinC=sinB=.同理,可得.這就是說,對于任意的三角形,我們得到等式.ACB法一(平面幾何)：在ABC中，已知，求c。過A作，在Rt中，法二（平面向量）：，即：法三（解析幾何）：把頂點C置于原點，CA落在x軸的正半軸上，由于ABC的AC=b，CB=a，AB=c，則A，B，C點的坐標(biāo)分別為A(b，0

5、)，B(acosC，asinC)，C(0，0)|AB|2=(acosCb)2+(asinC0)2=a2cos2C2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b22abcosC，即c2=a2+b22abcosC.法五（用相交弦定理證明余弦定理）: 如圖，在三角形ABC中，A=，AB=a，BC=b，AC=c?，F(xiàn)在以B為圓心，以長邊AB為半徑做圓，這里要用長邊的道理在于，這樣能保證C點在圓內(nèi)。BC的延長線交圓B于點D和E      這樣以來，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因為AG=2acos，所以CG=2acos-c。根據(jù)相交弦定理

6、有：      DC×CE=AC×CG，帶入以后就是      (a-b)(a+b)=c(2acos-c)   化簡以后就得b2=a2+c2+2accos。也就是我們的余弦定理。如圖，在ABC中，AB4 cm，AC3 cm，角平分線AD2 cm，求此三角形面積.分析：由于題設(shè)條件中已知兩邊長，故而聯(lián)想面積公式SABCAB·AC·sinA，需求出sinA，而ABC面積可以轉(zhuǎn)化為SADCSADB，而SADCAC·ADsin，SAD

7、BAB·AD·sin，因此通過SABCSADCSADB建立關(guān)于含有sinA，sin的方程，而sinA2sincos，sin2cos21，故sinA可求，從而三角形面積可求.解：在ABC中，SABCSADBSADC，AB·ACsinA·AC·AD·sin·AB·ADsin·4·3sinA·3·2sin，6sinA7sin12sincos7sinsin0，cos，又0A，0sin，sinA2sincos，SABC·4·3sinA（cm2）. 在ABC中，AB5

8、，AC3，D為BC中點，且AD4，求BC邊長.解：設(shè)BC邊為x，則由D為BC中點，可得BDDC，在ADB中，cosADB在ADC中，cosADC又ADBADC180°cosADBcos（180°ADC）cosADC.解得，x2所以，BC邊長為2.2.在ABC中，已知角B45°，D是BC邊上一點，AD5，AC7，DC3，求AB.解：在ADC中，cosC，又0C180°，sinC在ABC中，ABAC··7.3.在ABC中，已知cosA，sinB，求cosC的值.解：cosAcos45°，0A45°A90°，sinAsinBsin30°，0B0°B30°或150°B180°若B150°，則