圓的知識點(diǎn)總結(jié)及典型例題

1、圓的知識點(diǎn)總結(jié)（一）圓的有關(guān)性質(zhì)知識歸納1. 圓的有關(guān)概念： 圓、圓心、半徑、圓的內(nèi)部、圓的外部、同心圓、等圓； 弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圓的內(nèi)接三角形、三角形的外接圓、三角形的外心、圓內(nèi)接多邊形、多邊形的 外接圓；圓心角、圓周角、圓內(nèi)接四邊形的外角。2. 圓的對稱性圓是軸對稱圖形， 經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸， 圓有無數(shù)條對稱軸； 圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形； 圓具有旋轉(zhuǎn)不變性。3. 圓的確定不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個圓。4. 垂直于弦的直徑垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。煌普?1（1）平分弦（不是直徑）

2、的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。唬?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。 垂徑定理及推論 1 可理解為一個圓和一條直線具備下面五個條件中的任意兩 個，就可推出另外三個：過圓心；垂直于弦；平分弦（不 是直徑）；平分弦所對的優(yōu)??；平分弦所對的劣弧。推論 2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等。5. 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等；所對 的弦的弦心距相等。推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心 距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其

3、余各組量都分別相等。 此定理和推論可以理解成：在同圓或等圓中，滿足下面四個條件中的任何一個 就能推出另外三個：兩個圓心角相等；兩個圓心角所對的弧相等；兩 個圓心角或兩條弧所對的弦相等；兩條弦的弦心距相等。 圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。6. 圓周角定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；推論 1 同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對 的弧也相等；推論 2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角； 90°的圓周角所對的弦是直徑； 推論 3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半7. 圓內(nèi)接四

4、邊形的性質(zhì) 圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角。8. 軌跡軌跡 符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個條件的點(diǎn)的軌跡。1）平面內(nèi)，到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以這個定點(diǎn)為圓心，定長為半徑 的圓；2）平面內(nèi)，和已知線段兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線；3）平面內(nèi)，到已知角兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個角的平分線。例題分析例 1. 已知：如圖 1，在 O中，半徑 OM弦 AB于點(diǎn) N。圖1若 AB， ON1，求 MN的長；若半徑 OMR， AOB120°，求 MN的長。 解： AB，半徑 OMAB，AN BN ON1，由勾股定理

5、得 OA2MNOMONOAON1半徑 OMAB，且 AOB120° AOM 60 ONOA·cosAONOM·cos60°說明：如圖 1，一般地，若 AOB2n°， OMAB于 N，AOR，ONh，則 AB2Rsin n ° 2htan n °例 2. 已知：如圖 2，在 ABC中， ACB 90°， B25°，以點(diǎn) C為圓心、 AC為 半徑作 C，交 AB于點(diǎn) D，求的度數(shù)。圖2 分析：因?yàn)榛∨c垂徑定理有關(guān)；與圓心角、圓周角有關(guān)；與弦、弦心距有關(guān)；弧與弧之 間還存在著和、差、倍、半的關(guān)系，因此這道題有很

6、多解法，僅選幾種供參考。解法一：（用垂徑定理求）如圖 21，過點(diǎn) C作 CEAB于點(diǎn) E，交于點(diǎn) F。圖 2 1又 ACB90°， B25°， FCA25° 的度數(shù)為 25°，的度數(shù)為 50°。 解法二：（用圓周角求）如圖 22，延長 AC交 C于點(diǎn) E，連結(jié) ED圖 2 2AE是直徑， ADE90° ACB90°， B25°， E B 25°的度數(shù)為 50°。 解法三：（用圓心角求）如圖 23，連結(jié) CD圖 2 3 ACB90°， B25°， A65° CACD，

7、 ADC A 65° ACD50°，的度數(shù)為 50°。例 3. 已知：如圖 3， ABC內(nèi)接于 O且 AB AC， O的半徑等于 6cm，O點(diǎn)到 BC的距 離 OD等于 2cm，求 AB的長。析：因?yàn)椴恢?A 是銳角還是鈍角，因此圓心有可能在三角形內(nèi)部，還可能在三角形 外部，所以需分兩種情況進(jìn)行討論。略解：（ 1）假若 A是銳角， ABC是銳角三角形。如圖 3，由 AB AC，可知點(diǎn) A是優(yōu) 弧的中點(diǎn)，因?yàn)?ODBC且 AB AC，根據(jù)垂徑定理推論可知， DO的延長線必過點(diǎn) A，連結(jié) BO BO6，OD2在 RtADB中， ADDOAO628圖3圖 31（2）若

8、 A是鈍角，則 ABC是鈍角三角形，如圖 31添加輔助線及求出，在 RtADB 中，ADAODO624AB 綜上所述 AB 小結(jié)：凡是與三角形外接圓有關(guān)的問題，一定要首先判斷三角形的形狀，確定圓心與三 角形的位置關(guān)系，防止丟解或多解。例 4. 已知：如圖 4，AB是O的直徑，弦 CDAB，F(xiàn)是 CD延長線上一點(diǎn)， AF交 O 于 E。求證： AE· EFEC· ED圖4分析：求證的等積式 AE·EFEC·ED中，有兩條線段 EF、ED在 EDF中，另兩條線段 AE、EC沒有在同一三角形中，欲將其置于三角形中，只要添加輔助線AC，設(shè)法證明 FEDCEA即可

9、。證明：連結(jié) AC四邊形 DEAC內(nèi)接于圓 FDE CAE， FED DCA直徑 AB CD， DCA CEA， FED CEA FED CEA ， AE·EFEC· ED 小結(jié)：四邊形內(nèi)接于圓這一條件，常常不是在已知條件中明確給出的，而是隱含在圖形之中，在分析已知條件時，千萬不要忽略這一重要條件例 5. 已知：如圖 5， AM是 O的直徑，過 O上一點(diǎn) B作 BNAM，垂足為 N，其延長線 交O于點(diǎn) C，弦 CD交AM于點(diǎn) E。圖5（1）如果 CDAB，求證： ENNM；（2）如果弦 CD交 AB于點(diǎn) F，且 CD AB，求證 CE2EF·ED；（3）如果弦 C

10、D繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)，并且與 AB的延長線交于點(diǎn) F，且 CDAB，那么（ 2）的結(jié) 論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。證明：（ 1）連結(jié) BM（如圖 51）圖 5 1 AM是直徑， ABM90° CD AB， BMCD ECN MBN，又 AMBC，CNBN RtCENRtBMN，ENNM （2）連結(jié) BD，BE，AC（如圖 5 2） 圖 5 2點(diǎn) E是 BC垂直平分線 AM上一點(diǎn)， BEEC CDAB， ACD BDC，又 ABAC，AEAE ABE ACE， ABE ACD BDC BED是公共角， BEDFEB BE2EF·ED， CE2EF·

11、;ED（3）結(jié)論成立。如圖 5 3圖 5 3 證明：仿（ 2）可證 ABE ACE BECE，且 ABEACE 又 ABCD， ACB DBC， BDAC BDE ACE180° 而 FBE ABE180° BDE FBE，而 BED是公共角 BED FEB BE2EF·ED， CE2EF·ED（二）直線與圓的關(guān)系1. 直線與圓的位置關(guān)系直線和圓的位置相離相切相交公共點(diǎn)的個數(shù)012公共點(diǎn)名稱無切點(diǎn)交點(diǎn)直線名稱無切線割線圓心到直線的 距離 d 與半徑 r 的 關(guān)系2. 切線的判定經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。3. 切線的性質(zhì)（1）圓的切

12、線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；（2）推論 1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；（3）推論 2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。此定理及推論可理解為以下三個條件中任知其中兩個就可推出第三個： 垂直于 切線；經(jīng)過切點(diǎn)；經(jīng)過圓心。4. 切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線 的夾角。5. 弦切角定理（1）弦切角等于它所夾的弧對的圓周角； （ 2）推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等；（3）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。6. 和圓有關(guān)的比例線段（ 1）相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等；（ 2

13、）推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比 例中項(xiàng)；（ 3）切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的 兩條線段長的比例中項(xiàng)；（ 4）推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段 長的積相等。7. 三角形的內(nèi)切圓（1）有關(guān)概念： 三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、 圓的外切三角形、多邊形的內(nèi)切圓、 圓的外切多邊形；（2）作圖：作一個圓，使它和已知三角形的各邊都相切。例題分析例 6. 已知：如圖 6， AB是 O的直徑， C是 AB延長線上一點(diǎn)， CG切 O于 D， DE AB于 E。圖6求證： CDB EDB。分析：由

14、AB是 O的直徑，聯(lián)想到直徑的三個性質(zhì)：（1）直徑上的圓周角是直角。若連結(jié) AD，則得 RtABD；（2）垂徑定理。如圖 62，若延長 DE交 O于 F，則可得 DEEF，；（3）過直徑外端的切線與直徑垂直。如圖 63，若過 B點(diǎn)作 O的切線 BM，則 ABBM。 由 CD是 O的切線，聯(lián)想到切線的三個性質(zhì)：（1）過切點(diǎn)的半徑垂直于切線。如圖 61，若連結(jié) OD，則 ODCD；（2）弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。若連結(jié) AD，則 CDB A；（3）切割線定理。如圖 6，CD2CB· CA。由 DE AB 于 E，聯(lián)想到以下一些性質(zhì)：（1）RtDEB中兩銳角互余，即 EDB EBD9

15、0°；（2）垂徑定理。如圖 62，只要延長 DE交 O于 F，則可得到相等的線段，相等的??；（3）構(gòu)造與射影定理相關(guān)的基本圖形。即連結(jié) AD，則可得到 ADB是直角三角形， DE 是斜邊上的高，又可得到兩對相等的銳角，三個相似的三角形，還可運(yùn)用射影定理、勾股定 理、面積公式等。證明：連結(jié) AD，如圖 6， AB是直徑， ADB 90°。 DEAB， EDBACD是O的切線， CDB A， CDB EDB此例題還有許多證法，比如連結(jié) OD，如圖 61，利用切線的定義；又比如延長 DE交 O 于 F，連結(jié) BF，如圖 62，利用垂徑定理；還可以過點(diǎn) B作 O的切線交 CD于點(diǎn)

16、M，如圖 6 3，利用切線長定理，等等，這諸多證法，讀者不妨試證之。小結(jié)：此例題證明 CDBEDB，即證明 BD是 CDE的平分線，由此證明可以聯(lián)想到 AD 也是 GDE的平分線。另外，通過對此例題的分析和證明可知，圖 64 中隱含著很多圖形的性質(zhì)，如相等的銳 角、相等的線段、相等的弧及相似三角形等等，為此可將圖64 分解成三個基本圖形。如圖65，以利于進(jìn)一步理解線段之間的比例關(guān)系。圖 6 4圖 6 5例 7. 已知：如圖 7，點(diǎn) P是半圓 O的直徑 BA延長線上的點(diǎn)， PC切半圓于 C點(diǎn)，CD AB 于 D點(diǎn)，若 PA：PC1：2，DB4，求 tan PCA及 PC的長。圖7 證明：連結(jié) C

17、B PC切半圓 O于 C點(diǎn)， PCA B P P， PAC PCB AC：BCPA：PCAB是半圓 O的直徑， ACB90° 又 CDAB例 8. 已知：如圖 8，在 RtABC中，B90°， A的平分線交 BC于點(diǎn) D，E 為 AB 上的一點(diǎn)， DE DC，以 D為圓心， DB長為半徑作 D。圖8求證：（ 1）AC是 D的切線；（2）ABEBAC分析：（ 1）欲證 AC與 D相切，只要證圓心 D到 AC的距離等于 D的半徑 BD。因此 要作 DFAC于 F（2）只要證 ACAFFCABEB，證明的關(guān)鍵是證 BEFC，這又轉(zhuǎn)化為證 EBD CFD。 證明：（ 1）如圖 8，

18、過 D作 DF AC，F(xiàn)為垂足 AD是BAC的平分線， DB AB， DBDF 點(diǎn) D到 AC的距離等于圓 D的半徑AC是D的切線（2）ABBD， D的半徑等于 BD，AB是D 的切線， ABAF在 RtBED和 RtFCD中， EDCD，BDFD BED FCD， BEFCABBEAFFCAC 小結(jié)：有關(guān)切線的判定，主要有兩個類型，若要判定的直線與已知圓有公共點(diǎn)，可采 用“連半徑證垂直”的方法；若要判定的直線與已知圓的公共點(diǎn)沒有給出，可采用“過圓心 作垂線，證垂線段等于半徑”的方法。此例題屬于后一類例 9. 已知：如圖 9，AB為 O的弦， P為BA延長線上一點(diǎn)， PE與O相切于點(diǎn) E，C

19、為中點(diǎn)，連 CE交 AB于點(diǎn) F。圖9 求證： 分析：由已知可得 PE2PA·PB，因此要證 PF2PA·PB，只要證 PEPF。即證 PFE PEF。證明一：如圖 9，作直徑 CD，交 AB于點(diǎn) G，連結(jié) ED， CED 90°點(diǎn) C為的中點(diǎn)， CDAB， CFG DPE為O切線， E為切點(diǎn) PEF D， PEF CFG CFG PFE， PFE PEF， PE PFPE2PA·PB， PF2PA·PB證明二：如圖 91，連結(jié) AC、AE點(diǎn) C是的中點(diǎn)， CAB AECPE切O于點(diǎn) E， PEAC PFE CAB C， PEF PEA AEC

20、 PFE PEF， PEPFPE2PA·PB， PF2PA·PB例 10. （1）如圖 10，已知直線 AB過圓心 O，交O于A、B，直線 AF交 O于 F（不 與 B重合），直線 l 交 O于 C、D，交 BA延長線于 E，且與 AF垂直，垂足為 G，連結(jié) AC、 AD圖 10圖 10 1求證： BAD CAG；AC·ADAE·AF（2）在問題（ 1）中，當(dāng)直線 l 向上平行移動，與 O相切時，其它條件不變。請你在圖 101 中畫出變化后的圖形，并對照圖 10標(biāo)記字母；問題（ 1）中的兩個結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請 說明理由。證

21、明：（ 1）連結(jié) BDAB是 O的直徑， ADB90° AGC ADB90°又 ACDB是 O內(nèi)接四邊形 ACG B， BAD CAG連結(jié) CF BAD CAG， EAG FAB DAE FAC又 ADCF， ADE AFC， AC·ADAE· AF（2）見圖 101兩個結(jié)論都成立，證明如下：連結(jié) BC，AB是直徑， ACB90° ACB AGC90°GC切O于 C， GCAABC BAC CAG（即 BAD CAG）連結(jié) CF CAG BAC， GCF GAC， GCF CAE， ACF ACG GFC， E ACGCAE ACF

22、E， ACF AEC，AC2AE· AF（即 AC·ADAE· AF） 說明：本題通過變化圖形的位置，考查了學(xué)生動手畫圖的能力，并通過探究式的提問 加強(qiáng)了對學(xué)生證明題的考查，這是當(dāng)前熱點(diǎn)的考題，希望引起大家的關(guān)注。例 11. 如圖 11，AB是O的直徑， O過 AC的中點(diǎn) D， DEBC，垂足為 E。（1）由這些條件，你能推出哪些正確結(jié)論？（要求，不再標(biāo)注其它字母，找結(jié)論的過程 中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過程，寫出 4 個結(jié)論即可）。（2）若 ABC為直角，其他條件不變，除上述結(jié)論外，你還能推出哪些新的正確結(jié)論？ 并畫出圖形。分析：（ 1）若連結(jié) DO

23、，可證得 DE是 O的切線。若連結(jié) DB，由直徑 AB和點(diǎn) D是 AC的中點(diǎn)，可得 ABBC， AC等。而且 DEBC于 點(diǎn) E，又由雙垂圖形，可得，等。（2）連結(jié) DO、OB。方法同上。答：下列結(jié)論可供選擇，如圖 111圖 11 1（1） DE是O的切線 ABBC A C DE2BE·CECD2CE·CB C CDE90° （2）CEBE DEBE DECE DEAB CB是 O的切線B A CDE45° C CDE45° CB2CD· CA （11）（12） 說明：本題是結(jié)論開放的探索性問題，答案不唯一。尋找結(jié)論的關(guān)鍵是抓住命題的

24、條件 及其特點(diǎn)（尤其是利用特殊幾何圖形的判定和性質(zhì)），在幾何中諸如：相等關(guān)系、特殊圖形、 兩圖形的關(guān)系等。（三）圓和圓的位置關(guān)系 知識歸納1. 基本概念 （1）兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的定義。（2）兩圓的公切線、外公切線、內(nèi)公切線、公切線長的定義（3）兩圓的連心線、圓心距、公共弦。2. 圓和圓的位置關(guān)系兩圓的位置圓心距 d 與兩圓的 半徑 R、r 的關(guān)系外公切 線條數(shù)內(nèi)公 切線 條數(shù)公切線條數(shù)外離224外切213相交202內(nèi)切101內(nèi)含0003. 相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦4. 相切兩圓的性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上例題分析例 12. 已知兩圓外

25、切時， 圓心距為 10cm，兩圓內(nèi)切時， 圓心距為 4cm，求兩圓半徑的長。解：設(shè)兩圓的半徑分別為 Rcm和 r cm 。依題意，得答：大圓的半徑為 7cm，小圓的半徑為 3cm。例 13. 已知：如圖 12，兩圓相交于 A、B，過點(diǎn) A 的直線交兩圓于 C、D，過點(diǎn) B的直線 交兩圓于 E、 F。圖 12求證： CEFD。分析：要證 CEFD，可通過角的關(guān)系證平行，即只要證 E BFD或證 ECD D 180°，若證 E BFD，只需將 BFD轉(zhuǎn)化成與 O1有關(guān)的圓周角，或圓內(nèi)接四邊形的外 角，只要連結(jié) AB即可；若要證 ECD D180°，也需連結(jié) AB，得 EBA D

26、， EBA ECD180°，則也可得證。證明一：（用同位角證）連結(jié) AB四邊形 EBAC內(nèi)接于 O1， BAD E 又 BFDBAD， BFD E CEFD 證明二：（用同旁內(nèi)角證）連結(jié) AB 四邊形 EBAC內(nèi)接于 O1， C B180°，又 BD， C D 180°， EC FD 小結(jié)：兩圓相交時，常添的輔助線是作兩圓的公共弦。（四）正多邊形和圓知識歸納1. 基本概念 正多邊形、正多邊形的中心、正多邊形的半徑、正多邊形的邊心距、正多邊形的中心角 以及平面鑲嵌等。2. 正多邊形的判定與性質(zhì)（1）把圓分成等份： 依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正 n 邊形

27、； 經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個圓的外切正 n 邊形。（2）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓。3. 正多邊形的有關(guān)計(jì)算正 n邊形的半徑和邊心距把正 n邊形分成 2n 個全等的直角三角形。如圖 16 所示，設(shè)正 n 邊形的中心角為，半徑為 R，邊長為，邊心距為 r n，周長為 Pn， 面積為 Sn，則由有關(guān)圖形的性質(zhì)可以推得：圖 16（1）（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；4. 與圓有關(guān)的計(jì)算1 ）圓的周長；（ 2）弧長；3 ）圓的面積；（ 4）扇形面積；5）弓形面積（如圖 16）5. 與圓有關(guān)的作圖（1）過不在同一條直線上的三點(diǎn)作圓；（2）作三角形的內(nèi)切圓；（3）等分圓周（三、六、十二、四、八、五等分），作正三角形、正四邊形、正六邊 形。6. 圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖（ 1）圓柱的側(cè)面積：（ r ：底面半徑， h：圓柱高）（2）圓錐的側(cè)面積：（ L2R， R是圓錐母線長， r 是底面半徑）。（n 為側(cè)面展開圖扇形的圓心角的度數(shù)， R為母線長）。例題分析例 14. 已知：如圖 17，在兩個同心圓中