小學(xué)奧數(shù)-幾何五大模型(蝴蝶模型)

1、任意四邊形、 梯形與相似模型模型三蝴蝶模型 （任意四邊形模型）任意四邊形中的比例關(guān)系( “蝴蝶定理”) ：AS1S2 ODS4S3BC S1:S2 S4:S3或者 S1 S3S2 S4AO:OC S1 S2 : S4S3蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系?！纠?】 ( 小數(shù)報(bào)競(jìng)賽活動(dòng)試題 ) 如圖，某公園的外輪廓是四邊形 ABCD，被對(duì)角線 AC、BD 分成四個(gè)部分， AOB面積為 1 平方千米， BOC面積為 2 平方千米 ， COD的面積為 3

2、平方千米，公園由陸地面積是6 92 平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？CBOAD【分析】 根據(jù)蝴蝶定理求得S AOD3121.5 平方千米，公園四邊形ABCD 的面積是 1231.57.5 平方千米，所以人工湖的面積是7.56.920.58平方千米【鞏固】如圖，四邊形被兩條對(duì)角線分成4 個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面積已知，求：三角形BGC 的面積；AG : GC？A D12 3GBC【解析】 根據(jù)蝴蝶定理，SBGC 123，那么 S BGC 6 ；根據(jù)蝴蝶定理，AG:GC12: 3 6 1:3 (？)4- 2- 3 任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 1 of 17【例2

3、】四邊形 ABCD 的對(duì)角線 AC 與 BD 交于點(diǎn) O ( 如圖所示 ) 。如果三角形 ABD 的面積等于三角形BCD 的面積的1，且 AO2，DO3 ，那么 CO 的長度是 DO 的長度的 _倍。3ADADOH OGBCBC【解析】 在本題中，四邊形ABCD 為任意四邊形，對(duì)于這種”不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；通過畫輔助線來改造不良四邊形?？吹筋}目中給出條件 S ABD : S BCD 1:3 ，這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法。又觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個(gè)中

4、介來改造這個(gè)”不良四邊形” ，于是可以作 AH 垂直 BD 于 H ， CG 垂直 BD 于 G ，面積比轉(zhuǎn)化為高之比。再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果。請(qǐng)老師注意比較兩種解法，使學(xué)生體會(huì)到蝴蝶定理的優(yōu)勢(shì)，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題。解法一： AO : OCSABD:SBDC1:3 ，OC236，OC :OD 6:32:1解法二：作 AHBD于H，CGBD于GS ABD1S BCD，3 AH 1CG ， 3S AOD1S DOC，3 AO1CO，3OC2 36 ，OC :OD 6:32:1【例3】如圖，平行四邊形ABCD 的對(duì)角線交于 O 點(diǎn)， CEF

5、、 OEF 、 ODF 、 BOE 的面積依次是2、4、 4 和 6。求：求 OCF 的面積；求 GCE 的面積 。ADOFGBEC【解析】 根據(jù)題意可知，BCD 的面積為 24 46 16 ，那么 BCO 和CDO 的面積都是 16 28 ，所以 OCF 的面積為844；由于 BCO的面積為8， BOE 的面積為6，所以 OCE 的面積為 8 6 2，根據(jù)蝴蝶定理，EG:FGSCOE:SCOF2 : 41: 2，所以 S GCE :S GCFEG:FG1:2，那么 S GCE1S CEF122 12334- 2- 3 任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 2 of 17【例4】圖中的四邊形

6、土地的總面積是52 公頃，兩條對(duì)角線把它分成了4 個(gè)小三角形， 其中 2 個(gè)小三角形的面積分別是6 公頃和 7 公頃。那么最大的一個(gè)三角形的面積是多少公頃？D66CE77AB【解析】 在ABE ， CDE 中有AEBCED ，所以ABE ， CDE的面積比為 (AE EB) :( CE DE ) 。同理有ADE ， BCE 的面積比為 ( AE DE ) : (BEEC) 。所以有 S ABE ×S CDE = S ADE ×S BCE ，也就是說在所有凸四邊形中，連接頂點(diǎn)得到2 條對(duì)角線，有圖形分成上、下、左、右4 個(gè)部分，有：上、下部分的面積之積等于左右部分的面積之積。

7、即S ABE 6=SADE 7，所以有ABE 與ADE 的面積比為721公頃， S ADE =63918公頃。7:6， S ABE =397676顯然，最大的三角形的面積為21 公頃?！纠?】 ( 2008 年清華附中入學(xué)測(cè)試題) 如圖相鄰兩個(gè)格點(diǎn)間的距離是1 ，則圖中陰影三角形的面積為。AADDBBOCC【解析】連接 AD、CD、BC。則可根據(jù)格點(diǎn)面積公式，可以得到ABC 的面積為：412 ，ACD 的面積為： 3311 3.5，22ABD 的面積為： 243 12所以 BO: OD S ABC : S ACD2:3.5 4 : 7 ，所以 S ABO4S ABD4312 471111【鞏固

8、】如圖，每個(gè)小方格的邊長都是1，求三角形 ABC 的面積。EDABC【解析】 因?yàn)?BD :CE2:5 ，且 BD CE ，所以 DA : AC2:5 ， S ABC5，SDBC5210 2577【例6】 ( 2007 年人大附中考題) 如圖，邊長為1 的正方形 ABCD 中， BE2EC ， CFFD ，求三角形 AEG4- 2- 3 任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 3 of 17的面積ADADGGFFBECBEC【解析】 連接 EF 因?yàn)?BE2EC ， CFFD ，所以 S DEF1111(3) S ABCDS ABCD 2212因?yàn)?S AED1AG :GF116:1，S AB

9、CD ，根據(jù)蝴蝶定理，:12266132所以 S AGD6S GDFS ABCDS ADF74S ABCD7131422 ，所以 S AGES AEDS AGDS ABCDS ABCDS ABCD21477即三角形 AEG 的面積是 2 7【例7】如圖，長方形 ABCD 中， BE : EC2:3 ，DF:FC1: 2 ，三角形 DFG 的面積為 2 平方厘米，求長方形 ABCD 的面積AGDAGDFFBECBEC【解析】 連接 AE ， FE 因?yàn)?BE : EC 2:3， DF :FC1: 2，所以 S DEF3111(3)S長方形 ABCDS長方形 ABCD 1115210因?yàn)?S AE

10、D:5S GDF10 平方厘米， 所以 S AFD12 平S長方形 ABCD ，AG : GF25:1 ，所以 S AGD210方厘米因?yàn)?S AFD1 S長方形 ABCD ，所以長方形ABCD 的面積是 72平方厘米6【例8】如圖，已知正方形ABCD 的邊長為10 厘米， E 為 AD 中點(diǎn)， F 為 CE 中點(diǎn)， G 為 BF 中點(diǎn)，求三角形 BDG 的面積AEDAEDOFFGGBCBC【解析】 設(shè) BD 與 CE 的交點(diǎn)為 O ，連接 BE 、 DF 由蝴蝶定理可知1S ABCD ， S BCD1EO:OC S BED :S BCD ，而 S BEDS ABCD ，424- 2- 3 任

11、意四邊形、梯形與相似模型題庫page 4 of 17所以 EO :OCS BED : S BCD 1:2，故 EO1EC 13由于 F 為 CE 中點(diǎn)，所以 EF2:3 ， FO :EO1:2EC ，故 EO:EF211由蝴蝶定理可知SBFD:SBEDFO:EO1: 2 ，所以S BFDS BEDS ABCD ，281S BFD11106.25 （平方厘米）那么 S BGDS ABCD1021616【例9】如圖，在 ABC 中，已知 M 、 N 分別在邊 AC 、 BC上， BM 與 AN 相交于 O , 若AOM 、 ABO 和BON 的面積分別是3、 2、1，則 MNC 的面積是AMOCB

12、N【解析】 這道題給出的條件較少，需要運(yùn)用共邊定理和蝴蝶定理來求解根據(jù)蝴蝶定理得S MONS AOMS BON313S AOB22設(shè)SMONx ，根據(jù)共邊定理我們可以得3S ANMS ABM33 2，2，解得 x22.5S MNCS MBCx31x2【例10】( 2009 年迎春杯初賽六年級(jí)) 正六邊形 A1 A2 A3 A4 A5 A6的面積是 2009 平方厘米， B1B2 B3 B4 B5B6 分別是正六邊形各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是平方厘米A1B1A2A1B1A2B6B2B6OB2A6A3A6A3B5B3B5B3A 5B4A4A5B4A4【解析】 如圖，設(shè) B6 A2 與

13、B1 A3 的交點(diǎn)為 O ，則圖中空白部分由6 個(gè)與A2OA3 一樣大小的三角形組成，只要求出了A2OA3 的面積，就可以求出空白部分面積，進(jìn)而求出陰影部分面積連接 A6 A3 、 B6B1、 B6A3 設(shè) ABBBABA A BA A B面積為A A B1 16 的面積為” 1“，則1 2 6 面積為” 1“，126 面積為” 2“，那么63 61 2 6的 2倍，為” 4“，梯形 A1 A2 A3 A6 的面積為224212，A2 B6 A3 的面積為”6“，B1A2 A3 的面積為 24- 2- 3 任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 5 of 17根據(jù)蝴蝶定理，B1OA3OS B1

14、A2B6: S A3A2B61:6，故 S A OA36 ，SBA A312 ，216127121 ，故為六邊形所以 S AOA :S梯形AAA A6:12:1: 7，即A2OA3 的面積 為梯形A1 A2 A3 A6面 積的2312377A1 A2 A3 A4 A5 A6 面積的1 ，那么空白部分的面積為正六邊形面積的163 ，所以陰影部分面積為141472009 131148 (平方厘米 ) 74- 2- 3 任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 6 of 17板塊二梯形模型的應(yīng)用梯形中比例關(guān)系( “梯形蝴蝶定理”) ：aADS1S2O S4S3BCb S1 : S3a 2 : b2 S

15、1 : S3 : S2 : S4a2 : b2 : ab : ab ；2 S 的對(duì)應(yīng)份數(shù)為ab梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道，通過構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié)論，往往在題目中有事半功倍的效果( 具體的推理過程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進(jìn)行說明)【例11】如圖， S22 ， S34 ，求梯形的面積S2S1S4S3【解析】 設(shè) S1 為 a2 份， S3 為 b2 份，根據(jù)梯形蝴蝶定理，S34 b 2 ，所以 b2 ；又因?yàn)?S22ab ，所以a 1；那么 S1a21， S4ab2，所以梯形面積SS1S2S3S4124 29，或者根據(jù)梯形蝴蝶定理， Sa b

16、21229 【鞏固】 ( 2006 年南京智力數(shù)學(xué)冬令營) 如下圖，梯形ABCD 的 AB 平行于 CD ，對(duì)角線 AC ， BD 交于 O ，已知 AOB 與 BOC 的面積分別為25平方厘米與 35 平方厘米，那么梯形 ABCD 的面積是 _平方厘米AB25O35DC2【解析】 根 據(jù) 梯 形 蝴 蝶 定 理 ， S AOB : S BOCa : ab25: 35 ， 可 得 a : b5:7 ， 再 根 據(jù) 梯 形 蝴蝶 定 理 ，25353549144(平方厘米 ) 【例12】梯形 ABCD 的對(duì)角線AC 與 BD 交于點(diǎn) O ，已知梯形上底為2，且三角形ABO 的面積等于三角形 BO

17、C 面積的 2 ，求三角形 AOD 與三角形 BOC 的面積之比34- 2- 3 任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 7 of 17ADOBC【解析】 根據(jù)梯形蝴蝶定理，S AOB :S BOCab : b22: 3 ，可以求出 a : b2:3 ，再根據(jù)梯形蝴蝶定理，S AOD :S BOCa2 : b 222 :324:9通過利用已有幾何模型，我們輕松解決了這個(gè)問題，而沒有像以前一樣，為了某個(gè)條件的缺乏而千辛萬苦進(jìn)行構(gòu)造假設(shè)，所以，請(qǐng)同學(xué)們一定要牢記幾何模型的結(jié)論【例 13】( 第十屆華杯賽三角形 ABD的面積三角形 CBD的面積B) 如下圖，四邊形ABCD 中，對(duì)角線AC 和 BD

18、交于 O 點(diǎn)，已知AO1 ，并且3 ，那么 OC 的長是多少？5ACOD【解析】 根據(jù)蝴蝶定理，三角形 ABD的面積AOAO31 ，所以 CO5三角形 CBD的面積CO，所以，又 AOCO53【例 14】梯形的下底是上底的 1.5 倍，三角形 OBC 的面積是 9cm2 ，問三角形 AOD 的面積是多少？ADOBC【解析】 根據(jù)梯形蝴蝶定理，a :b 1:1.5 2:3 ， S AOD : S BOC a2 : b 222 :324:9 ，所以 S AOD 4 cm2【鞏固】如圖，梯形ABCD 中，AOB 、COD 的面積分別為1.2 和 2.7 ，求梯形 ABCD 的面積ABODC【解析】

19、根據(jù)梯形蝴蝶定理，S AOB : S ACOD a 2 : b 24 : 9，所以 a :b2:3 ，S AOD :SAOBab : a 2b : a3:2， SAODS COB1.231.8 ，2S梯形 ABCD1.21.81.8 2.77.5 4- 2- 3 任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 8 of 17【例15】如下圖，一個(gè)長方形被一些直線分成了若干個(gè)小塊，已知三角形 ADG 的面積是 11，三角形 BCH的面積是23，求四邊形 EGFH 的面積AFBAFBGHGHDECDCE【解析】 如圖，連結(jié) EF ，顯然四邊形ADEF 和四邊形 BCEF 都是梯形，于是我們可以得到三角形E

20、FG 的面積等于三角形ADG 的面積；三角形 BCH 的面積等于三角形EFH 的面積，所以四邊形EGFH 的面積是 11 23 34【鞏固】 ( 人大附中入學(xué)測(cè)試題) 如圖，長方形中，若三角形1 的面積與三角形3 的面積比為4 比 5，四邊形 2的面積為36，則三角形1 的面積為 _123123【解析】 做輔助線如下：利用梯形模型，這樣發(fā)現(xiàn)四邊形2 分成左右兩邊，其面積正好等于三角形1 和三角形3，所以 1 的面積就是416 ， 3 的面積就是 3653620 4545【例 16】如圖，正方形ABCD 面積為3平方厘米， M 是 AD 邊上的中點(diǎn)求圖中陰影部分的面積BCGAMD【解析】 因?yàn)?

21、M 是 AD 邊上的中點(diǎn)，所以AM :BC1: 2，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道S AMG : S ABG : S MCG : SBCG2（）（）21: 2:2:4，設(shè)S AGM 1份，則 SMCD 1 2 3份，1: 12 : 12 : 2所以正方形的面積為1 2 24 312份， S陰影2 2 4份，所以 S陰影 : S正方形1: 3 ，所以 S陰影1平方厘米【鞏固】在下圖的正方形ABCD 中， E 是 BC 邊的中點(diǎn)， AE 與 BD 相交于 F 點(diǎn)，三角形 BEF 的面積為1 平方厘米，那么正方形ABCD 面積是平方厘米ADFBEC【解析】 連接DE，根據(jù)題意可知BE: AD 1: 2，根

22、據(jù)蝴蝶定理得（29(平方厘米 ) ，S ECD3 ( 平梯形）S12方厘米 ) ，那么 S ABCD12( 平方厘米 ) 4- 2- 3 任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 9 of 17【例17】如圖面積為 12 平方厘米的正方形ABCD 中， E, F 是 DC 邊上的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積ABODCEF【解析】 因?yàn)?E , F 是 DC 邊上的三等分點(diǎn)，所以EF:AB1:3，設(shè) SOEF 1 份，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道S AOE S OFB 3 份，S AOB 9份，S ADE S BCF(13)份，因此正方形的面積為 4 4 (1 3)224份， S陰影6 ，所以 S陰影

23、: S正方形6:241: 4 ，所以 S陰影3 平方厘米【例18】如圖，在長方形ABCD 中， AB 6厘米， AD2 厘米， AEEF FB ，求陰影部分的面積AEFBAEFBOODCDC【解析】 方 法一：如圖，連接DE ， DE 將陰影部分的面積分為兩個(gè)部分，其中三角形AED 的面積為26322 平方厘米由于 EF:DC1:3 ，根據(jù)梯形蝴蝶定理，SS3SS2DEO:EFO 3:1 ，所以 S DEOSDEF ，而DEFADE34平方厘米，所以 S DEO2 1.53.5 平方厘米2 1.5 平方厘米，陰影部分的面積為4方法二：如圖，連接DE ， FC ，由于 EF :DC1:3，設(shè) S

24、 OEF1 份，根據(jù)梯形蝴蝶定理， S OED3份， S梯形 EFCD(1 3)216 份， S ADES BCF134 份，因此 S長方形 ABCD416424 份，S陰影437份，而S長方形 ABCD6 212 平方厘米，所以 S陰影3.5 平方厘米【例19】( 2008 年”奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級(jí)試題) 已知 ABCD 是平行四邊形，BC : CE 3: 2 ，三角形 ODE 的面積為6 平方厘米則陰影部分的面積是平方厘米ADADOOBCEBCE【解析】 連接 AC 由于 ABCD 是平行四邊形，BC :CE3:2 ，所以 CE: AD2:3 ，根據(jù)梯形蝴蝶定理，S COE :S AOC :S

25、 DOE :S AOD22:23: 23: 324: 6:6:9 ，所以 S AOC6( 平方厘米)，SAOD9(平方厘米 )，又 S ABCS ACD6 915 ( 平方厘米 ) ，陰影部分面積為 61521( 平方厘米 )【鞏固】右圖中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示( 單位：平方厘米 ) ，陰影部分的面積是平方厘米4- 2- 3 任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 10 of 17ADAD992121O44BECBEC【分析】 連接 AE 由于 AD 與 BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么S OCDSOAE根據(jù)蝴蝶定理， S OCDS O

26、AES OCES OAD236，4 9 36，故 S OCD所以 S OCD6(平方厘米 )【鞏固】 ( 2008 年三帆中學(xué)考題 ) 右圖中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示( 單位：平方厘米 ) ，陰影部分的面積是平方厘米ADAD881616OB2CB2CEE【解析】 連接 AE 由于 AD 與 BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么S OCDSOAE根據(jù)蝴蝶定理， S OCDS OAES OCES OAD2816216，所以 S OCD4(平方厘米 )，故 S OCD另解：在平行四邊形ABED 中， S ADE1116812 (平方厘米 )，SAB

27、ED22所以 S AOES ADES AOD 128 4(平方厘米 )，根據(jù)蝴蝶定理，陰影部分的面積為8 2 4 4(平方厘米 )【例20】如圖所示， BD 、 CF 將長方形 ABCD 分成 4 塊，DEF 的面積是5 平方厘米，CED 的面積是10 平方厘米問：四邊形ABEF 的面積是多少平方厘米？AFDAFD55E10E10BCBC【分析】 連接 BF ，根據(jù)梯形模型，可知三角形BEF 的面積和三角形DEC 的面積相等，即其面積也是10 平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形BCE 的面積為10 10520( 平方厘米 ) ，所以長方形的面積為20 102 60 ( 平方厘米 ) 四邊形 AB

28、EF 的面積為 60510 20 25(平方厘米 )【鞏固】如圖所示，BD 、 CF 將長方形 ABCD 分成 4 塊，DEF 的面積是 4 平方厘米， CED 的面積是6平方厘米問：四邊形ABEF 的面積是多少平方厘米？4- 2- 3 任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 11 of 17AFDAFD44E6E6BCBC【解析】 ( 法 1) 連接 BF ，根據(jù)面積比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF 的面積和三角形DEC 的面積相等，即其面積也是6 平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形BCE 的面積為 664 9(平方厘米 )，所以長方形的面積為9 62 30 ( 平方厘米 ) 四邊形 ABEF 的面積為 30469 11(平方厘米 ) ( 法 2) 由題意可知， EF42 ，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，EDEF2，所以三角形 BCE 的面積為：EC63EBEC3629( 平方厘米 ) 則三角形 CBD 面積為15 平方厘米，長方形面積為 15230 ( 平方厘米 ) 四3邊形 ABEF 的面積為 3046 9 11(平方厘米 )【鞏固】 ( 98 迎春杯初賽 ) 如圖， ABCD 長方形中，陰