小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種面積模型(等積-鳥頭-蝶形-相似-共邊)

1、小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種模型（等積，鳥頭，蝶形，相似，共邊）目標(biāo)：熟練掌握五大面積模型等積，鳥頭，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共邊（含燕尾模型和風(fēng)箏模型） ， 掌握五大面積模型的各種變形知識點撥一、等積模型等底等高的兩個三角形面積相等；兩個三角形高相等， 面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如右圖 S1 : S2a : bS1S2abA BCD夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖S ACDS BCD；反之，如果 BCD，則可知直線 AB 平行于 CD S ACDS等底等高的兩個平行四邊形面積相等( 長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形 ) ；三角形面積等于

2、與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比二、鳥頭定理兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對應(yīng)角( 相等角或互補角 ) 兩夾邊的乘積之比如圖在 ABC 中，D , E 分別是 AB, AC 上的點如圖( 或 D 在 BA 的延長線上， E 在AC上)，則 S ABC:SADE (ABAC):(ADAE )ADADEEDBCBC圖圖AS1S4S2O三、蝶形定理任意四邊形中的比例關(guān)系 ( “蝶形定理” ) ：S3BCS : SS:S或者S1 S3 S2S4AO:OC S1

3、S2: S4S3 1243蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊AaD形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積S1S2S4對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系O梯形中比例關(guān)系 ( “梯形蝶形定理” ) ：S3 S1 :S3a2 : b2BbC S1 : S3 : S2 : S4 a 2 : b 2 : ab : ab ； S 的對應(yīng)份數(shù)為 a b2 四、相似模型( 一) 金字塔模型(二) 沙漏模型AEFDADFEBGCBGC ADAEDEAF ；ABACBCAG SADE：S ABCAF 2 : AG2 所謂的相似三角形，就是形狀

4、相同，大小不同的三角形( 只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似) ，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形五、共邊定理（燕尾模型和風(fēng)箏模型）在三角形ABC 中， AD ， BE ， CF 相交于同一點 O ，那么ASABO :SACOBD:DC 上述定

5、理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因FE為 ABO 和 ACO 的形狀很象燕子的尾巴， 所以這個定理被稱為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，為OBDC三角形中的三角形面積對應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.典型例題【例1】如圖，正方形 ABCD的邊長為 6， AE1. 5， CF2長方形 EFGH的面積為HHADADEEGGBBFCFC【解析】 連接 DE，DF，則長方形 EFGH的面積是三角形DEF面積的二倍三角形 DEF的面積等于正方形的面積減去三個三角形的面積，S DEF661.5622624.54216.5 , 所以長方

6、形EFGH面積為 33【鞏固】如圖所示，正方形 ABCD 的邊長為 8 厘米，長方形 EBGF 的長 BG 為10 厘米，那么長方形的寬為幾厘米？EEABABFFDGCDGC【解析】本題主要是讓學(xué)生會運用等底等高的兩個平行四邊形面積相等 ( 長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形 ) 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半證明：連接 AG ( 我們通過 ABG 把這兩個長方形和正方形聯(lián)系在一起) 在正方形 ABCD中， S ABG1AB AB 邊上的高，21 S ABGS ABCD ( 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積2的一半 )同理， SABG1SEFGB 2正方形 AB

7、CD與長方形EFGB面積相等長方形的寬(厘米)88106.【例2】 長方形 ABCD 的面積為 36cm2 ， E 、 F 、G 為各邊中點， H 為 AD 邊上任意一點，問陰影部分面積是多少？AHDEGBFC【解析】 解法一：尋找可利用的條件，連接BH 、 HC ，如下圖：AHDEGBFC可得 ： SEHB 1SAHB、 SFHB1、 SDHG1SDHC ，而S CHB222SABCDS AHB S CHBS CHD36即SEHBS BHFS DHG1S CHBSCHD)118 ；(S AHB3622而S EHBS BHFS DHGS陰影S EBF，S EBF1BE BF1( 1AB) (1

8、BC)1 364.5 22228所以陰影部分的面積是： S陰影18S EBF 184.5 13.5解法二：特殊點法找 H 的特殊點，把 H 點與 D 點重合，那么圖形就可變成右圖：D (H)AEGBFC這樣陰影部分的面積就是DEF 的面積，根據(jù)鳥頭定理，則有：1111111S陰影 SABCD S AED S BEF S CFD 36236223636 13.52222【鞏固】在邊長為 6 厘米的正方形 ABCD 內(nèi)任取一點 P ，將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分，分別與 P 點連接 , 求陰影部分面積ADA(P)DADPPBCBCBC【解析】（法 1）特殊點法由于 P 是正方形內(nèi)部任

9、意一點，可采用特殊點法，假設(shè) P 點與 A 點重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個陰影三角形的面積分別占正方形面積的1和 1，所以陰影部分的面積為462116 (4) 15 平方厘米6（法 2）連接 PA 、 PC 由于 PAD 與 PBC 的面積之和等于正方形ABCD 面積的一半，所以上、下兩個陰影三角形的面積之和等于正方形ABCD 面積的 1 ，同理可知4左、右兩個陰影三角形的面積之和等于正方形ABCD 面積的 1 ，所以陰116影部分的面積為 62() 15 平方厘米46【例 3】 如圖所示，長方形ABCD 內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，AB 8，AD15，四邊形 EFGO 的面

10、積為ADOGEBFC【解析】 利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四邊形 EFGO 的面積之和，以及三角形 AOE 和 DOG 的面積之和，進而求出四邊形EFGO的面積由于長方形 ABCD的面積為15 8 120，所以三角形 BOC的面積為1320 ；12030 ，所以三角形 AOE 和 DOG 的面積之和為 1207044又三角形 AOE 、 DOG 和四邊形 EFGO 的面積之和為 12011，所以2304四邊形 EFGO 的面積為 30 2010 另解：從整體上來看，四邊形EFGO 的面積 三角形 AFC 面積三角形BFD 面積 白色部分的面積，而三角形 AFC 面積

11、 三角形 BFD 面積為長方形面積的一半， 即 60，白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即 1207050，所以四邊形的面積為605010【鞏固】如圖，長方形 ABCD 的面積是 36，E 是 AD 的三等分點， AE2ED ，則陰影部分的面積為AEDAEDNMOOBCBC【解析】 如圖，連接 OE 根據(jù)蝶形定理，ON:NDSCOE :SCDE1S CAE :S CDE 1:1， 所 以1 S2SOE N；2O E D1OM :MA S BOE :S BAE1 SBDE : S BAE1: 4 ，所以 S OEMS OEA1125又S OED3，SOEA2S OED6 ，所以陰影

12、部分面積為：3S矩形 ABCD4316122.7 5【例 4】 已知 ABC 為等邊三角形，面積為400， D 、 E 、 F 分別為三邊的中點，已知甲、乙、丙面積和為143，求陰影五邊形的面積( 丙是三角形HBC )A甲乙DIJFM NH 丙BEC【解析】 因為 D 、 E 、 F 分別為三邊的中點，所以DE 、 DF 、EF 是三角形 ABC 的中位線，也就與對應(yīng)的邊平行，根據(jù)面積比例模型，三角形ABN 和三角形 AMC 的面積都等于三角形 ABC 的一半，即為 200根據(jù)圖形的容斥關(guān)系，有 S ABCS丙S ABN S AMC SAMHN ，即 400S丙200200SAMHN ，所以

13、S丙SAMHN 又 陰影SADF甲乙AMHN ，所以SSSSS陰影S甲S乙S丙140043 S ADF 1434【例 5】 如圖，已知 CD 5 ， DE 7 ， EF 15 ， FG 6 ，線段 AB 將圖形分成兩部分，左邊部分面積是 38，右邊部分面積是 65，那么三角形 ADG 的面積是AACDEFGCDEFGBB【解析】 連接 AF ， BD 根據(jù)題意可知， CF571527； DG7156 28；7 SADG所以， S BEF15 S CBF ，S BEC12 S CBFS AEG21 S ADG S AED，27，28，2827于是： 21S ADG15S CBF65； 7 S A

14、DG12 S CBF38；28272827可得 S ADG40 故三角形 ADG 的面積是 40【例 6】 如圖在 ABC 中，D , E 分別是 AB, AC 上的點，且 AD : AB2:5 ，AE : AC 4:7 ，S ADE 16 平方厘米，求 ABC 的面積AADDEEBCBC【解析】 連接 BE ， S ADE : S ABEAD:AB2:5(2 4) :(54) ，S ABE : S ABC AE : AC4 :7(4 5):(75)，所以 SA DE:SABC(2 4) :(7，設(shè)S ADE8 份，則 S ABC35份， S ADE16 平方厘米，所以 1份是 2 平方厘米，

15、35 份就是 70 平方厘米， ABC 的面積是 70 平方厘米由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角( 相等角或互補角 ) 兩夾邊的乘積之比【鞏固】如圖，三角形 ABC 中， AB 是 AD 的 5 倍， AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形 ADE 的面積等于 1，那么三角形 ABC 的面積是多少？AADEDEBCBC【解析】 連接 BE EC 3AESABC3S ABE又 AB 5ADSADES ABE 5 S ABC 15 ， S ABC 15S ADE 15 【鞏固】如圖，三角形 ABC被分成了甲 ( 陰影部分 ) 、乙兩部分， BD DC 4 ， BE

16、 3 ， AE 6 ，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？AAE乙E乙甲甲BCBCDD【解析】 連接 AD BE 3，AE 63 AB 3BE， S ABD S BDE又 BDDC 4，SABC2S ABD ， S ABC6S BDE ， S乙5S甲 【例7】如圖在 ABC 中， D 在 BA的延長線上， E 在 AC上，且 AB: AD5: 2 ，AE : EC3: 2 ， S ADE12 平方厘米，求 ABC 的面積DDAAEEBCBC【解析】 連接 BE ， S ADE : S ABEAD:AB2:5(23): (53)S ABE : S ABCAE:AC 3:(32)(35): (32)5，

17、份，則 S ABC份，所以 SAD ES ABC(32) :5(32)，設(shè) SA DE625:6:25S ADE 12 平方厘米，所以1 份是 2 平方厘米，25份就是 50 平方厘米， ABC的面積是 50 平方厘米由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角 ( 相等角或互補角 ) 兩夾邊的乘積之比【例8】 如圖，平行四邊形 ABCD ， BE 行四邊形 ABCD 的面積是 2 ，積比AB ， CF2CB ，GD3DC ， HA求平行四邊形ABCD 與四邊形4AD ，平 EFGH 的面HHABEABEGDCGDCFF【解析】 連接 AC 、 BD 根據(jù)共角定理在 AB

18、C 和 BFE 中， ABC 與 FBE 互補， S ABCABBC111 S FBEBEBF133又 S ABC 1 ，所以 SFBE 3 同理可得 S GCF8， S DHG 15， S AEH8 所以 SEFGHS AEHSCFGS DHGS BEFSABCD 8 8 15+3+2 36 所以 SABCD21SEFGH3618【例9】如圖所示的四邊形的面積等于多少？CO131313131212D1212AB【解析】題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形， 難以運用公式直接求面積 .我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法對圖形實施變換：把三角形 OAB 繞頂點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)，使長為 13 的兩條邊重

19、合，此時三角形 OAB 將旋轉(zhuǎn)到三角形 OCD 的位置 . 這樣，通過旋轉(zhuǎn)后所得到的新圖形是一個邊長為 12的正方形，且這個正方形的面積就是原來四邊形的面積 .因此，原來四邊形的面積為12 12144 .( 也可以用勾股定理 )【例10】 如圖所示，ABC 中，ABC90 ， AB3 ， BC5 ，以 AC 為一邊向ABC外作正方形 ACDE ，中心為 O ，求OBC 的面積EEODDOAA33B5CB5CF【解析】 如圖，將 OAB 沿著 O 點順時針旋轉(zhuǎn)90 ，到達 OCF 的位置由于 ABC90 ， AOC90 ，所以 OABOCB 180 而 OCFOAB ，所以 OCFOCB 180

20、，那么 B 、 C 、 F 三點在一條直線上由于 OB OF ， BOFAOC 90 ，所以 BOF 是等腰直角三角形， 且斜邊BF為5 321168，所以它的面積為 84根據(jù)面積比例模型，OBC 的面積為 165108【例 11】 如圖，以正方形的邊AB 為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形ABE ，AEB 90 ， AC 、 BD 交于 O 已知 AE 、 BE 的長分別為 3cm、 5cm ，求三角形 OBE 的面積CBCBOOFEEDADA【解析】 如圖，連接DE ，以 A 點為中心，將ADE 順時針旋轉(zhuǎn) 90 到 ABF 的位置那么 EAFEAB BAFEAB DAE90 ，而 AEB 也是

21、 90 ，所以四邊形 AFBE 是直角梯形，且 AF AE 3 ，所以梯形 AFBE 的面積為：353112 ( cm2 ) 2又因為 ABE 是直角三角形，根據(jù)勾股定理，AB2AE 2BE 2325234 ，所以 S ABD1AB 217 ( cm2 ) 2那么所以S BDES ABDS ABE S ADES ABD SAFBE 17 12 5 ( cm 2 ) ，S OBE1 SBDE2.5 ( cm 2 ) 2【例12】 如下圖，六邊形ABCDEF 中， ABED ， AFCD ，BCEF ，且有 AB 平行于 ED ，AF 平行于 CD ，BC 平行于 EF ，對角線 FD 垂直于 B

22、D ，已知 FD 24厘米， BD18厘米，請問六邊形ABCDEF 的面積是多少平方厘米？BGBAACCFFDDEE【解析】如圖，我們將 BCD 平移使得 CD 與 AF 重合，將 DEF 平移使得 ED 與 AB 重合，這樣 EF 、 BC 都重合到圖中的 AG 了這樣就組成了一個長方形BGFD ，它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長方形BGFD 的面積為24 18 432平方厘米，所以六邊形 ABCDEF 的面積為 432 平方厘米【例 13】 如圖，三角形ABC 的面積是 1，E是AC的中點，點 D在BC 上，且BD:DC 1:2，AD與BE交于點 F則四邊形 DFEC 的面積等于AEF

23、BDCA33EF23B1DCAFEBDC方法一：連接，根據(jù)燕尾定理，S ABFBD1SABFAE,【解析】CFS ACFDC2， SCBFEC1設(shè) S BDF1 份，則 S DCF2份，S ABF3份， S AEFS EFC3份，如圖所標(biāo)所以SDCEF5SABC51212方法二：連接 DE ，由題目條件可得到 S ABD1S ABC1 ，1 S ADC12 S ABC1 ，所以 BF33S ADES ABD1 ，2233FES ADE1S DEF1S DEB11S BEC111S ABC1，22323212而 SCDE21S ABC1 所以則四邊形 DFEC 的面積等于 5 32312【鞏固】

24、如圖，長方形 ABCD 的面積是 2 平方厘米， EC 2DE ，F(xiàn) 是 DG 的中點陰影部分的面積是多少平方厘米 ?ADA ADD3F1FEF EE33x 2yyGxBCBBCCGG【解析】 設(shè) S DEF1 份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示S陰影5 S BCD51212平方厘米 .【例 14】 四邊形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 交于點 O ( 如圖所示 ) 如果三角形 ABD 的面積等于三角形 BCD 的面積的 1 ，且 AO 2 ， DO 3 ，那么 CO 的長度3是 DO 的長度的 _倍DDAAGOH OBCBC【解析】在本題中，四邊形 ABCD 為任意四邊形，對于這種”不

25、良四邊形” ，無外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；通過畫輔助線來改造不良四邊形看到題目中給出條件S ABD : S BCD 1: 3 ，這可以向模型一蝶形定理靠攏， 于是得出一種解法又觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改造這個”不良四邊形”，于是可以作 AH 垂直 BD 于 H ， CG 垂直 BD 于 G ，面積比轉(zhuǎn)化為高之比再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果請老師注意比較兩種解法，使學(xué)生體會到蝶形定理的優(yōu)勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝶形定理解決問題解法一： AO : OC

26、SABD :SBDC1: 3，OC23 6 ， OCOD:3:61:2解法二：作 AH BD 于 H ， CGBD于GS ABD111S BCD ， AHCG ， S AODSDOC，333 AO1CO ， OC2 36 ， OC:OD 6:3 2:1 3【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成 4 個三角形，其中三個三角形的面積已知，求：三角形BGC 的面積； AG :GC？AD213GBC【解析】 根據(jù)蝶形定理， S BGC12 3，那么 S BGC6 ；根據(jù)蝶形定理， AG : GC12:3 6 1:3【例15】 如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于 O 點， CEF 、 OEF 、 ODF

27、 、 BOE 的面積依次是 2、4、4 和 6求：求 OCF 的面積；求 GCE 的面積ADOFGBEC【解析】根據(jù)題意可知， BCD 的面積為 244616 ，那么 BCO 和 CDO 的面積都是 16 28 ，所以 OCF 的面積為844；由于 BCO 的面積為8， BOE 的面積為6，所以 OCE 的面積為8 62，根據(jù)蝶形定理，EG:FGSCOE:SCOF 2:4 1:2 ， 所 以SG:SE:GF1 GCEGCF，那么 S GCE11 SCEF1 22 233【例16】 如圖，長方形ABCD 中， BE : EC2:3 ， DF : FC1: 2 ，三角形 DFG 的面積為 2 平方

28、厘米，求長方形ABCD 的面積ADADGGFFBECBEC【解析】 連接 AE ， FE 因為B :E2E ，CDF :FC 1: 2，所以S DEF311S長方形 ABCD 1(3)S長方形 ABCD10521因為S AED115:1 ，所以 S AGD5S GDF10平方S長方形 ABCD， AG :GF:22101厘米，所以 S AFD 12平方厘米因為S AFDS長方形 ABCD ，所以長方形6ABCD的面積是 72 平方厘米【例 17】 如圖，正方形 ABCD 面積為 3 平方厘米， M 是 AD 邊上的中點求圖中陰影部分的面積BCGAMD【解析】 因為 M 是 AD 邊上的中點，

29、所以 AM : BC1: 2 ，根據(jù)梯形蝶形定理可以知道SAMG : SABG :SMCG : SBCG12（:1 2）（:12）:221: 2:2:4 ，設(shè) SA G M 1 份，則SMCD1 2 3 份，所以正方形的面積為1 2 2 4 3 12份，S陰影 2 2 份4，所以 S陰影 : S正方形 1: 3 ，所以 S陰影 1平方厘米【鞏固】在下圖的正方形 ABCD 中，三角形BEF的面積為 1 平方厘米E 是 BC 邊的中點， AE 與 BD 相交于 F 點，平方厘米，那么正方形 ABCD面積是ADFBEC【解析】連接DE，根據(jù)題意可知BE:AD 1:2，根據(jù)蝶形定理得S梯形（129 (

30、 平方厘米) ， SECD3( 平方厘米) ，那么2）S ABCD12( 平方厘米 )【例 18】 已知 ABCD 是平行四邊形， BC : CE3: 2 ，三角形 ODE 的面積為 6 平方厘米則陰影部分的面積是平方厘米ADADOOBCEBCE【解析】 連接 AC 由于 ABCD 是平行四邊形， BC :CE3:2 ，所以 CE: AD2:3 ，根據(jù)梯形蝶形定理， S COE : S AOC : S DOE : S AOD22:2 3:23: 324: 6:6:9 ，所以 SAOC 6(平方厘米)，SAOD9(平方厘米)，又SABCS( 平方厘米 ) ，陰影部分面積為6 1521 ( 平方厘

31、A6C D91米) 【鞏固】右圖中ABCD 是梯形， ABED 是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示( 單位：平方厘米 ) ，陰影部分的面積是平方厘米ADAD992121O44BECBEC【分析】 連接 AE由于 AD 與 BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么SOCDSOAE根據(jù)蝶形定理， S OCD S OAE S OCE S OAD4 9 36，故 S OCD236 ，所以 S OCD6(平方厘米 )【鞏固】右圖中ABCD 是梯形， ABED 是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示( 單位：平方厘米 ) ，陰影部分的面積是平方厘米ADAD881616OB2B2ECEC【解析】 連接 A

32、E由于 AD 與 BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么SOCD SOAE根據(jù)蝶形定理， S OCDS OAES OCES OAD2 816216 ，故 S OCD所以 SOCD 4(平方厘米 )另解：在平行四邊形ABED 中，1S ABED1812(平方厘米 )，S ADE1622所以 S AOES ADE S AOD12 8 4(平方厘米)，根據(jù)蝶形定理，陰影部分的面積為 82 4 4(平方厘米 )【例19】 如圖，長方形ABCD 被 CE 、 DF 分成四塊，已知其中3 塊的面積分別為 2、5、8 平方厘米，那么余下的四邊形 OFBC 的面積為 _平方厘米AEFBA EFB225O?5O?88DCDC【解析】 連接 DE 、CF 四邊形 EDCF 為梯形，所以 S EODS FOC ，又根據(jù)蝶形定理，S EODS FOCSEOF SCOD，所以 SEOD S FOC SEOF SCOD 2 816，所以S EOD4(平方厘米 )，SECD4 812 ( 平方厘米 ) 那么長方形 ABCD 的面積為12 224平方厘米，四邊形OFBC 的面積為 24 52 8 9(平方厘米) 【