實數(shù)和二次根式的基本概念

1、.實數(shù)、二次根式的基本概念知識點睛一實數(shù)的基本概念1無理數(shù)的概念：（ 1）定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).（ 2）解讀：1）無理數(shù)的兩個重要特征：無限小數(shù)；不循環(huán).2）無理數(shù)的常見類型：具有特定意義的數(shù)。如等；具有特定結(jié)構(gòu)的無限小數(shù)，如0.1212212221（每相鄰兩個1 之間依次多一個2）等； 開方開不盡的數(shù)，如2 ， 3 4 等 .那么，是否所有帶根號的數(shù)都是無理數(shù)呢？3）有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別：有理數(shù)總可以表示為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，反之，有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)也必定是有理數(shù)；而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)也必定是無理數(shù).2實數(shù)的概念及分類：（ 1）定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為

2、實數(shù).（ 2）分類：整數(shù)按定義分： 實數(shù)有理數(shù)分數(shù) - 有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)無理數(shù) -無限不循環(huán)小數(shù);.正有理數(shù)正實數(shù)正無理數(shù)按性質(zhì)分：實數(shù)0負實數(shù)負有理數(shù)負無理數(shù)正整數(shù)整數(shù)零有理數(shù)負整數(shù)有盡小數(shù)或無盡循環(huán)小數(shù)實數(shù)正分數(shù)分數(shù)負分數(shù)正無理數(shù)無理數(shù)無盡不循環(huán)小數(shù)負無理數(shù)（ 3）實數(shù)的性質(zhì)：相反數(shù)： a 與 b 互為相反數(shù)a b 0 .a, a00a,a0絕對值： a0, aa, a0 或 a0或 a0a,aa, aa, a0（ 4）實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的.是一個超越數(shù)， 用尺規(guī)作圖的方法是不能在數(shù)軸上表示的；可以用物理方法來表示：用一個直徑為1 的圓形從數(shù)軸的零點開始轉(zhuǎn)動，正好轉(zhuǎn)一圈的那個

3、點就是，因為直徑為1 的圓的周長為。（ 5）實數(shù)的運算順序：先算乘方、開方、再算乘除、最后算加減，同級運算按照從左到右的順序進行，有括號的先算括號里的。（ 6）實數(shù)中非負數(shù)的四種形式及其性質(zhì)：形式：a0 ； a20 ；a0 （ a0 ）；a 中 a0 .性質(zhì)：非負數(shù)有最小值0；有限個非負數(shù)之和仍然是非負數(shù)；幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0.（ 7）實數(shù)中無理數(shù)的常見類型：所有開不盡的方根都是無理數(shù)，且不可認為帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；圓周率 及含有 的數(shù)是無理數(shù)，例如：2 1等；看似循環(huán)，但實質(zhì)不循環(huán)的無限小數(shù)是無理數(shù)，例如：1.0232332333.;.（一）根據(jù)實數(shù)的定義解題：【例

4、1】下列各數(shù)，哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)?哪些是正實數(shù) ? 0.313 131 ， ， 81， 23，3 27， 3.14，0.4829，1.020020002 （相鄰兩個 2 之間 0 的個數(shù)逐次加1），39 ，3 0.5.【例 2】在實數(shù) 0 ，1， 2 ，0.1235 中無理數(shù)的個數(shù)是（）A 0B 1C 2D 322【拓展】 ，2 ， 9 ，3.14 ，0.61414 ，這 7 個實數(shù)中， 無理數(shù)的個數(shù)7是（）A 0B 1C 2D 3【例 3】下面有四個命題：有理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù)有理數(shù)與無理數(shù)之積是無理數(shù)無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù)無理數(shù)與無理數(shù)之積是無理數(shù)請你判斷哪些是正確的，哪些

5、是不正確的，并說明理由。【例 4】判斷正誤，在后面的括號里對的用“”，錯的記 “×”表示，并說明理由 .(1)無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù).()(2)無理數(shù)都是無限小數(shù).()(3)無限小數(shù)都是無理數(shù).()(4)無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負無理數(shù).()(5)不帶根號的數(shù)都是有理數(shù) .()(6)帶根號的數(shù)都是無理數(shù).()(7)有理數(shù)都是有限小數(shù).()(8)實數(shù)包括有限小數(shù)和無限小數(shù).()（二）實數(shù)的絕對值：【例 5】求下列各數(shù)的相反數(shù)及絕對值：(1) 364(2) 3【例 6】已知一個數(shù)的絕對值是3，求這個數(shù) .【拓展】 x = ，求 x 的值。;.【例 7】若 0b1則 b2， b ，b ，

6、1 這四個數(shù)有下列關(guān)系（）bA.b2bb1B.b2b1bbbC.1bbb2D.b1b2bbb【例 8】比較下列各組數(shù)的大?。?1)7 和 3(2)x2 1 和x2二二次根式的概念1. 二次根式的定義：形如a （ a0）的式子叫做二次根式2. 二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次根號“”。第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0。第三，二次根式a （ a 0）表示非負數(shù)a 的算術(shù)平方根。3.性質(zhì)(1) ( a) 2 =a（a0）(2)a2aa(a a0)2a （ a0）a 2a （ a 0）a(a 0)(3)ab =a · b （ a0， b0）a · b ab （ a0， b0）(4)a

7、=a （a0， b>0）a =a （a0， b>0）bbbb【例 1】下列各式中哪些是二次根式，請作出判斷。3,2,4,2,x21,a,m(m0), 38;.【例 2】當 x 取怎樣的實數(shù)時x 1 ；2 x ；x 3 ；2 x2 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義【拓展 1】x 為何值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義(1) 2x 3 ；3；2(2)(3)2x 11 x【拓展 2】 x 取何值時，下列各式有意義？x2 ；(3)1(1) 3 6x ；(2)x 1 2x5【拓展 3】x 取何值時，下列格式有意義：(1)x2 ；(2)1 x3 ；(3)2xx 93. 最簡二次根式二次根式 a （ a 0 ）

8、中的 a稱為被開方數(shù)滿足下面條件的二次根式我們稱為最簡二次根式：(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（被開方數(shù)不能存在小數(shù)、分數(shù)形式）；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；(3)分母中不含二次根式。二次根式的計算結(jié)果要寫成最簡根式的形式【例 1】判斷下列各式中哪些是最簡二次根式，哪些不是？(1) 3a2b(2)3ab(3)x2y2(4) a b （ a b） (5) 5(6) 8xy2;.【例 2】下列二次根式中，最簡二次根式的個數(shù)是（）6x 1 ， a 2b2 ， 2ab2 ，0.5ab ,a ，b , 24x ， x24x 4 34A.1 個B.2 個C.3 個D.4 個【例 3

9、】在下列二次根式10， a，2，a2b2， a ，12 x，a b，1， a， ab 中，最簡二次22 5m3 x33222根式有 _?！揪毩?xí)】下列根式2 xy ， 8 ， ab ，3xy2y2 ， 1 中式最簡二次根式的有（）， x252A2 個B3 個C4 個D5 個【例 4】把下列各式化成最簡二次根式。(1) 24(2) 75a 3(3) 25x350x2 x 04. 同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫同類二次根式。合并同類二次根式：axb x(ab)x 同類二次根式才可加減合并【例 1】下列各組中的兩個根式是同類二次根式的是（）A 5 2x和

10、 3 xB12ab 和122D a和13abC x y 和xy2a【例 2】在27 、1112、12中與3 是同類二次根式的個數(shù)是（）A. 0B.1C.2D.3【鞏固】下列二次根式中，哪些是同類二次根式？（字母均為正數(shù)）127； 48；20；1125； 1y ； yx 52xxy【例 3】下列各組二次根式中，屬于可以合并的是（）;.A 12與 72B 63與 28C 4x3 與 2 2xD 18與23【例 4】若 a+b4b 與3a b是同類二次根式，則a、b 的值為（）A a=2 , b=2Ba=2 , b=0C a=1 , b=1D a=0 , b=2 或 a=1 , b=1【鞏固】若 a

11、b 4b 與最簡二次根式3a b 為同類二次根式，其中a ， b 為整數(shù)，則a _ ， b_；【例 5】若最簡二次根式3a5 與a3 是可以合并的二次根式，則a _ 。【例 6】下列二次根式中，與a 是可以合并的是（）A 2aB 3a 234C aD a【例 7】若最簡二次根式a b 2ab與a2a2b的值b 是同類根式，求課后作業(yè)1. 把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里38 ，-3.1459 ，-， 22-3 2，-7 ，-0.020202 ，37,81.414,- 7 ,1.2112111211112（相鄰兩個2 之間 1 的個數(shù)逐次加1）(1)正有理數(shù)集合： (2)有理數(shù)集合：(3)無理數(shù)集合： (4)實數(shù)集合： 2. x 取何值時，下列各式有意義：(1)x2(2)1(3)x22 xx31(4)2x13x(5)(6)x1x3.求下列各數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值.;.(1)5(2) 38(3) 1-2711114.下列判斷(1) 23 和348不是同類二次根式；(2)45和25不是同類二次根式； (3) 8x與8不是同類二次根式，其中錯誤的個數(shù)是（）xA. 3B. 2C .1D. 05.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A.8xB. x2 3C.x yD.3a2bx6.若代數(shù)式2x1 3 12 x 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x 的取值范圍