對角互補專題

1、對角互補專題探究（一）基本圖形：如圖 1，在四邊形FBDE 中， EDF +EBF=1800，旋轉(zhuǎn) FBE 得到 HBI ，求證： FBH EBI ;如圖 2，在四邊形FBDE 中，EDF + EBF=1800，連接 BD ， DBE= CBF ,若 BCD為等邊三角形，探究：線段DE、DF 、 BD 之間的數(shù)量關(guān)系_;如圖 3 ，在四邊形 FBDE 中， EDF + EBF=1800 ，連接 BD ， DBE = CBF ,若 BD DC , DCB =30 °探究：線段DE、 DF 、 BD 之間的數(shù)量關(guān)系_;DE IDEDEHBFFFBCBC圖 1圖 2圖 3例 1.已知直角梯

2、形 ABCD , AD BC, A=900, EBF= C.(1) 當(dāng) AD :AB=1: 3 ,C=60 0 時，如圖1 所示，求證： DE +DF =BC;(2).當(dāng) AD :AB=1:1, C=450時，如圖2 所示，則線段DE 、 DF 、 BC 之間的數(shù)量關(guān)系_ ；(3).在 (2) 的條件，如圖3 所示，若 AB=2 時， 3BM =MC ,連接 AF 、FM ,若 AF 與 BE 交于點N,當(dāng) AFM =45 0 時 ,求線段 NF 的長度 .DEADEADEAFNFFCBCBCMB圖 1圖 2圖 3變式訓(xùn)練：1.已知直角梯形 ABCD ，AD BC,AD=3 AB, A=900

3、, C=600,DH BC 于 H ,P 為 BC 上一點，作 EPF=600AD于E,交CD于F.,此角的兩邊分別交(1).如圖 1，當(dāng)點 P 在點 B 處時，求證： 2 AE +CF =2CH ;(2).如圖 2，當(dāng)點 P 在點 H 處時，線段 AE、CF、CH 的數(shù)量關(guān)系為 _;(3).在（ 2）的條件下，連接FB、EF ,FB 與 FH 交于點 K,若 AB= 23 ,EF=21 ,求線段 FK的長度 .DEADEADEAFFFKCH(P)H (P)B CH (P)BBC圖 1圖 2圖 32.已知平行四邊形ABCD , C=60 °，點 E、 F 分別為 AD、 CD 上兩點

4、 EBF=C.(1).如圖 1，當(dāng) AB=BC 時，求證： CF+AE=BC；(2).如圖 2，當(dāng) AB= 6 BC 時，線段：CF 、AE 、BC 三者之間有何數(shù)量關(guān)系_;7(3) 在 (2)的條件下如圖 3，若 AB=6, 連接 EC 與 BF 交于 M,當(dāng) BEM 為等邊三角形時，求線段 FM 的長.DEADEADEAFFFCBMCB圖 2CB圖 1圖 3例 2.已知： ABC 中， ACB =900, B=300 ,點 P 為邊 AB 上的一點 , EPF=90 0,PF 與邊AC 交于點 F,PE 與邊 BC 交于點 E. 設(shè) AP:PB= k(1) 如圖 1，當(dāng) k = 1 時，則

5、： AF+ _ BE= 1 AB;32(2).如圖 2，當(dāng) k =1 時，線段 AF 、BE、AB 的數(shù)量關(guān)系為 _;(3).在 (2) 的條件下，如圖3，連接 CP ,EF 交于點 K ,將 FP 沿著 EF 對稱，對稱后與CP 交于點 M ,連接 ME ,若 AC=3, 當(dāng) ME FP 時，求 tan CEM 的值 .CCEFEFAPBAPB圖 1圖 2CMEKFAPB圖 3變式訓(xùn)練：1.等邊 ABC 中， BH 為 AC 邊上的高，點P 為 AB 邊中點， EPF =900,此角的兩邊與AC邊交于點 F,與高 BH 交于點 E.(1)如圖 1，求證 :FH+ 3BE= 1AB;2(2)如

6、圖 2，則線段 FH 、 BE、 AB 之間滿足的關(guān)系式為 _;(3) 如圖 3，在 (2) 的條件下，連接 EF，直線 EF 與 BC 交于點 N，將 FN 沿著 FP 對稱，對稱后與 AB 交于點 M,若 AC= 4 3 ,AM :BM =1:3,時，求 BN 長度 .CCCFHHHFFEEENAPB APB AMPB圖 2圖 3圖 1對角互補專題探究（二）1.直線 m n，點 A、B 分別在直線m、n 上，且點 A 在點 B 的右側(cè) .點 P 在直線 m 上，AP = AB,連接 BP,以 PB 為一邊在 PB 右側(cè)作等邊 BPC，連接 AC.過點 P 作 PD n 于點 D.(1)當(dāng)點

7、 P 在 A 的右側(cè)時（如圖1），求證： BD = AC(2)當(dāng)點 P 在 A 的左側(cè)時（如圖2），線段 BD 與 AC 之間的數(shù)量關(guān)系為 _.(3)在 (2)的條件下，設(shè) PD 交 AB 于點 N，PC 交 AB 于點 M（如圖 3）.若 PBC 的面積為，求線段 MN 的長 .APmPAmCnnBDBDC圖 2圖 1PAmCnBD圖 32.如圖，直線 y= -3 kx+4k (k0)與 x 軸交于 B,與 y 軸交于 D,點 O 與點 C 是關(guān)于直線 BD3對稱，連接BC,若 AC= 43 .(1) 求 k 的值；(2) 點 P 為 OB 的中點，動點 E 從點 B 出發(fā)，每秒 1 單位速

8、度沿 BH 向點 H 運動，過點 P 做 PE 的垂線交 AC 于點 F,當(dāng)點 F 與點 O 重合時點 E 停止運動 . 設(shè)運動時間為 t 秒， PHF面積為 S，寫出 S 與 t 點函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t 的取值范圍()連接 PH ,是否存在 t 值，使得 tan FPH =3 ，若存在請求 t 值，若不存在，說明理由 .7yCFDHEAOPByCDHxAOPBx對角互補專題探究（三）例 1 已知：四邊形 ABCD 中， AD BC， AB=AD =DC ， BAD =ADC ，點 E 在 CD 邊上運動 (點 E 與 C、 D 兩點不重合 )， AEP 為直角三角形， AEP=90

9、°， P=30°，過點 E 作 EMBC 交 AF 于點 M(1) 若 BAD =120 °(如圖 1)，求證： BF +DE =EM；(2) 若 BAD =90 °(如圖 2)，則線段 BF 、DE 、 EM 的數(shù)量關(guān)系為 _.(3) 在(1) 的條件下，若 AD： BF=3： 2，EM =7，求 CE 的長變式訓(xùn)練：1.已知：矩形ABCD 中 AD = K ，點 E、 F 分別在 CD、 CB 上運動，且 ? EAFa （角 AB為銳角） ,過 E 作 EM BC 交 AF 于點M,探究BF 、 DE 、 ME 之間的數(shù)量關(guān)系為_.(1) 當(dāng) K=3

10、 ， a =45 °時， _.(2) 當(dāng) K= 3 ， a =60 °時， _.(3) 當(dāng) K= 3 ， a =30 °時， _.ADaMEBFC2.如圖：已知四過形ABCD 中 AD = K 、 DAB= BCD =90°，點 E、F 分別在 CD 、CB 上AB運動，且 ? EAFa （角 為銳角） ,過 E 作 EM BC 交 AF 于點 M，探究 BF 、 DE、ME 之間的數(shù)量關(guān)系為_.ADEMCFB對角互補專題探究（四）例 2.已知 :四邊形 ABCD ，AB=AD ， B= D=90°, EAF=30°,過 F 作 FM

11、 BC 交 AE 于 M . （ 1）當(dāng) BAD =60°時 (如圖 1 所示 )，求證 BE+FD =FM ；（ 2）當(dāng) BAD=90°時 ( 如圖 2 所示 ) ，則線段 BE，DF ,FM 的數(shù)量關(guān)系為 _ ；（ 3）在（ 1）的條件下 (如圖 3 所示 )，連接 DB 交 AE 于點 G，交 AF 于點 K，交 MF 于點N，若 BG:DK =3:5， FM =14 時， KN 的長 .AAADMFMMKBNBDGDEFBECEFCC圖 2圖 1圖 3變式訓(xùn)練：1已知四邊形 ABCD 中， AD BC， AB=DC ， BAD = ADC ，點 F 在 CD 邊上運

12、動 (點 E 與 C、D 兩點不重合 )（ 1）若 BAD =90°(如圖 l)， AD =2AB ， EAF=45 0，求證： DF +2 BE=FG（ 2）若 BAD=150°(如圖 2) ， AB=AD, EAF=300,則DF 、 BE 、 FG的數(shù)量關(guān)系為.（ 3）在（ 1）的條件下（如圖3）DF =4 AB=6, 直線 AF 交直線 BG 于點 H ，求 GH 的長 .ADADADHGFGFGFBECEBEC圖 1BC圖 3圖 22.已知：四邊形 ABCD 中，AD BC,AB=CD =kAD,BAD = ADC,點 E 在 CD 邊上運動（點 E 與 C、D

13、兩點不重合） ，將 AE 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 30°后與 BC 邊交于點 F ，過點 E 作 EM BC 交 AF 于點 M.（ 1）若 k=1, BAD =120°(如圖 1)，求證 :DE +BF= 1 ME. 2（2）若k= 1, BAD=90°(如 圖2)，則線段DE、BF、ME的數(shù)量關(guān)系2.為（ 3）在（ 1）的條件下，若 CE=2， AE= 2 7 ,求 ME 的長 .ADADEMEMBFCBFC圖 1圖 2對角互補專題探究（五）例 3.如圖 1，正方形 ABCD 中， P 為邊 BC 延長線上的一點， E 為 DP 的中點， DP 的垂直平分線交邊

14、 DC 于 M ，交邊 BC 于 Q，交邊 AB 的延長線于 N.（ 1）求證 DP =MN ;（ 2）若 PC： PB=1:3，那么線段 QE 與 QN 的數(shù)量關(guān)系為 _;（ 3）如圖 2，連接 BD、 MP，繞著點 P 旋轉(zhuǎn) CPM ，角的兩邊分別交邊 AB、AD 于點 H 、K，交邊 CD 于點 R，當(dāng)四邊形 DBQM 的面積為 24， MR： RC=1： 2時，求 .ADAKDHEEMMRBQCPBQCPNN變式訓(xùn)練：1.已知：在正方形角形 PBE,連接 AE.ABCD中， P為直線AD上一點，連接BP ,以BP 為底邊作等腰直角三（ 1）如圖1，當(dāng)點P 在線段AD上時，求證：AB+AP=2AE;（ 2）如圖 2, 當(dāng)點 P 在線段 DA 的延長線上時，線段AB、 AP、 AE 的數(shù)量關(guān)系是（ 3）在（ 2）的條件下， 過點 A 作 AF PE,AF 交 BC 的延長線于 F,過點 C 作 DCF 的平分線，交 AF 于點 H ,若 AB=4,四邊形 PBEA 的面積為 5，求線段 CH 的長 .APDPADPADEEEHBCBCBCF圖 1圖 2圖 32.