正方形的判定

1、正方形的性質(zhì)與判定一、選擇題 ( 本大題共 10 小題 )1.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到點 E，使 AE=AC，則 BCE的度數(shù)是（）A.22.5 °B.25°C.23°D.20°2.如一個四形的兩對線互垂直平分且相等那么個四邊形是（）A. 平行四邊形B. 菱形C. 正方形D. 矩形3. 四邊形 ABCD的對角線 AC、BD相交于點 O，ADBC， AD=BC，使四邊形 ABCD為正方形，下列條件中： AC=BD； AB=AD；AB=CD； ACBD需要滿足（）A. B. C.D.或4. 如圖，正方形ABCD的對角線 AC、 BD相交于點

2、O， OA=3，則此正方形的面積為（）A.3B.12C.18D.365. 如圖，在四邊形ABCD中，對角線 AC、BD相交于點 O，若 AO=C0=BO=DO，ACBD，則四邊形 ABCD的形狀是（）A. 平行四邊形B. 矩形C. 菱形D. 正方形第1題圖第4題圖第5題圖第 7題圖6. 已知在正方形ABCD中，對角線 AC與 BD相交于點 O，OEAB 交 BC于點 E，若 AD=8cm，則 OE的長為（）A.3 cmB.4cmC.6 cmD.8 cm7. 如圖，正方形ABCD的邊長為 x，點 E、 F 分別是對角線BD上的兩點，過點E、 F 作 AD、 AB的平行線，則圖中陰影部分的面積的和

3、為（）A. x2B. x2C.x2D.x28. 如圖，正方形 ABCD的邊長為 8，在各邊上順次截取 AE=BF=CG=DH=5，則四邊形 EFGH的面積是（ ）A.30B.34C.36D.409. 如圖， E 是正方形 ABCD對角線 AC上一點， EFAB，EGBC， F、 G是垂足，若正方形 ABCD周長為 a，則 EF+EG等于（）A.B.C. aD.2 a10. 已知正方形ABCD的一條對角線長為2，則它的面積是（）A.2B.4C.61第8題圖第9題圖第11題圖第 12題圖二、填空題 ( 本大題共6 小題 )11. 如圖，在正方形ABCD中， E 為 CD邊上一點，以CE 為對角線構(gòu)

4、造正方形CMEN，點 N 在正方形ABCD內(nèi)部，連接AM，與 CD邊交于點F若 CF=3， DF=2，連接 BN，則 BN的長為 _12. 如圖，已知：正方形 EFGH的頂點 E、 F、 G、H 分別在正方形 ABCD的邊 DA、 AB、 BC、CD上若正方形 ABCD的面積為 16， AE=1，則正方形 EFGH的面積為 _ 13. 如圖，將正方形紙片按如圖折疊， AM為折痕，點 B 落在對角線 AC上的點 E 處，則 CME= _14. 如圖， BD是 ABC的角平分線， DEBC，交 AB于點 E，DFAB，交 BC于點F，當 ABC滿足條件_時，四邊形BEDF是正方形15. 如圖，正方

5、形 ABCD的邊長為 4，線段 GH=AB，將 GH的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時滑動，如果G 點從 A 點出發(fā)，沿圖中所示方向按ABCDA 滑動到 A 止，同時點 H 從點 B 出發(fā)，沿圖中所示方向按 BCDAB 滑動到 B 止，在這個過程中，線段 GH的中點 P 所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為_16. 如圖，在正方形 ABCD中，AB= ，點 P 為邊 AB上一動點 （不與 A、B 重合），過 A、 P 在正方形內(nèi)部作正方形APEF，交邊 AD于 F 點，連接DE、 EC，當 CDE為等腰三角形時，AP= _ 2三、解答題 ( 本大題共8 小題 )17. 已知： P 是正方形 ABCD

6、對角線 AC上一點， PEAB，PFBC， E、 F 分別為垂足（ 1）求證： DP=EF（ 2）試判斷 DP與 EF的位置關(guān)系并說明理由18. 如圖，在正方形 ABCD中， E 為對角線 AC上一點，連接 EB、 ED（1）寫出圖中所有的全等三角形；（2）延長 BE交 AD于點 F，若 DEB=140°，求 AFE 的度數(shù)19. 已知，在正方形ABCD中， E 是 CB延長線上一點，且EB= BC，F(xiàn) 是 AB 的中點，請你將F 點與圖中某一標明字母的點連接成線段，使連成的線段與AE 相等并證明這種相等關(guān)系20. 如圖，矩形 ABCD的對角線相交于點 O，PBAC，PCBD， PB

7、、PC相交于點 P（1）猜想四邊形 PCOB是什么四邊形，并說明理由；（2）當矩形 ABCD滿足什么條件時，四邊形 PCOB是正方形3正方形的性質(zhì)與判定練習參考答案一、選擇題。1.A解：四邊形ABCD是正方形， CAB=BCA=45°；ACE中， AC=AE，則： ACE=AEC= （180° - CAE）=67.5 °； BCE=ACE- ACB=22.5°故選 A2. C解：如果一個邊形兩對角線相垂直分且相等，那么這個邊形正方形，求證四邊形ABC正方形，ACBD，平四邊形CD為菱形，已知：四邊ABCD，A， O=O， OBOD， AC=BD，四邊形A

8、CD為方形邊形 ABCD為平行四形，選 C3.D解： ADBC， AD=BC四邊形ABCD為平行四邊形AC=BD平行四邊形ABCD是矩形若 AB=AD則四邊形ABCD為正方形；若 ACBD，則四邊形 ABCD是正方形故選 D因為 ADBC， AD=BC，所以四邊形 ABCD為平行四邊形，添加則可根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，證明四邊形是矩形，故可根據(jù)一組鄰邊相等的矩形是正方形來添加條件本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種：先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角4.C解：正方形ABCD的對角線AC、 BD相交

9、于點O， OA=3， AB=BC， OA=OC， AB=，4正方形的面積=，故選 C5.D解：四邊形ABCD的形狀是正方形，理由如下：AO=C0=BO=DO，四邊形ABCD是平行四邊形，ACBD，四邊形ABCD是菱形，AO=C0=BO=DO，AC=DB，四邊形ABCD是正方形，故選 D6.B解：四邊形ABCD是正方形， AD=AB=8cm， OA=OC，OEAB， OE是 ABC的中位線，OE= AB=4cm，故選 B7. B解： FPCD， BPF=C=90°（同位角相等）；在 BFP 和 BDC中， BFP BDC，=，同理，得=，又 AD=CD， NF=FP， BNF=BPF=

10、90°， BF=BF， BNF BPF，SBNF=SBPF，5同理，求得多邊形NFEM與多邊形PFEQ的面積相等，多邊形MEDA與多邊形QEDC的面積相等，圖中陰影部分的面積是正方形ABCD面積的一半，即故選 B8. B解：四邊形ABCD是正方形， A=B=C=D=90°，AB=BC=CD=DA， AE=BF=CG=DH，AH=BE=CF=DG在 AEH、 BFE、 CGF 和 DHG中， AEH BFE CGF DHG（SAS）， EH=FE=GF=GH， AEH=BFE，四邊形 EFGH是菱形， BEF+BFE=90°， BEF+AEH=90°， H

11、EF=90°，四邊形 EFGH是正方形，AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5， EH=FE=GF=GH=，四邊形EFGH的面積是：×=34，故選 B9.A解：E 是正方形ABCD對角線 AC上一點， BAC=ACB=45°， EFAB，EGBC， F、 G是垂足，EG=CG， EF=AF，正方形ABCD周長為 a， BC= ， EF+EG等于 ，故選 A10. C.解：在正方形中，對角線相等，所以正方形ABCD的對角線長均為2，6正方形又是菱形，菱形的面積計算公式是S= ab（ a、b 是正方形對角線長度）S=××=6， 故選

12、 C二、填空題。11. 257解：如圖，連接MN，延長 AM、 BC交于點 G， MN與 CD交于點 H，作 NKBC 于 K四邊形ABCD是正方形， DF=2 CF=3，ADBG， AD=BC=CD=5， = ，CG=，四邊形ENCM是正方形，NH=HM=CH=EH，MNEC，設(shè)CH=x，MHCG，=， = ， x= ，在 RTBNK中， BKN=90°， NK=CH= ， BK=BC-CK= ，BN=故答案為712. 解：四邊形 ABCD、 EFGH均為正方形， A=B=90°， EFG=90°， EF=FG AFE+BFG=90°， BFG+BGF

13、=90°， AFE=BGF在 AFE 和 BGF中， AFE BGF（ AAS），BF=AE=1正方形ABCD的面積為16，AB=4， AF=AB-BF=3同理可證出 AFE BGF CHG DEHS正方形 EFGH=S正方形 ABCD-4S AFE=16- 4××1×3=10故答案為： 1013. 解：四邊形ABCD是正方形， B=90°， ACB=45°，由折疊的性質(zhì)得： AEM=B=90°， CEM=90°， CME=90° - 45°=45°；故答案為： 45°14.

14、解：當 ABC 滿足條件 ABC=90°，四邊形DEBF是正方形理由： DEBC，DFAB，四邊形DEBF是平行四邊形BD是 ABC的平分線， EBD=FBD，又 DE BC， FBD=EDB，則 EBD=EDB， BE=DE故平行四邊形DEBF是菱形，當 ABC=90°時，菱形 DEBF是正方形故答案為： ABC=90°15. 解：根據(jù)題意得點 M到正方形各頂點的距離都為 2，點 M所走的運動軌跡為以正方形各頂點為圓心，以 2 為半徑的四個扇形，點 P 所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為正方形ABCD的面積減去4 個扇形的面積正方形ABCD的面積為4×4=

15、16， 4 個扇形的面積為4×=4 ，8點 P 所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為16-4 故答案為16-4 16.解：連接 AE，四邊形ABCD、 APEF是正方形，A、 E、 C共線，當 CD=CE=時， AE=AC-EC=2-，AP=AE=- 1 當ED=EC 時 ， DEC=90° ，EDC=ECD=45°， EC=CD=1， AE=AC-EC=1， AP= AE= 當 CDE為等腰三角形時， AP=-1或故答案為2-1或三、解答題。17. 證明：（ 1）如圖 1 所示：連結(jié) PB四邊形 ABCD是正方形，BC=DC， BCP=DCP=45°在 CB

16、P 和CDP中， CBP CDPDP=BPPEAB，PFBC， B=90°四邊形BFPE是矩形BP=EFDP=EF（2）DPEF理由：如圖2 所示：延長DP交 EF 于 G，延長 EP交 CD于 H，連接 PB CBP CDP， CDP=CBP四邊形BFPE是矩形， CBP=FEP CDP=FEP又 EPG=DPH EGP=DHPPEAB，ABDCPHDC即 DHP=90° EGP=DHP=90°PGEF，即DPEF18. 解：9（ 1）根據(jù)正方形的對稱性，正方形ABCD關(guān)于直線 AC成軸對稱，所以，全等的三角形有： ADC ABC， ADE ABE， DCE BCE；（ 2） DEB=140°， BEC= DEB= ×140°=70°，又正方形對角線AC平分 BCD， ACB=45°，在 BCE中， CBE=180° - BEC- ACB=180° - 70° - 45°=65°，ADBC， AFE=CBE=65°19. 解：如圖，連接 DF、 CF均可得出與AE相等證 明 ： AB