高中數(shù)學(xué)奧賽系列輔導(dǎo)資料競(jìng)賽中的三角函數(shù)立體選講教案

1、競(jìng)賽中的三角函數(shù)例題選講【內(nèi)容綜述】一三角函數(shù)的性質(zhì)1正，余弦函數(shù)的有界性對(duì)任意角，2奇偶性與圖象的對(duì)稱性正弦函數(shù)，正切函數(shù)和余切函數(shù)都是奇函數(shù)，它們的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且y=sinx的圖象還關(guān)于直線對(duì)稱：余弦函數(shù)是偶函數(shù)，從而y=cosx的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，并且其圖象還關(guān)于直線對(duì)稱3單調(diào)性y=sinx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減：y=cosx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；y=tanx在上都是單調(diào)遞增的；y=cotx在上都是單調(diào)遞減的。4周期性y=sinx與y=cosx的最小正周期是2，y=tanx與y=cosxr 的最小正周期是。【例題分析】 例1 已知圓至少覆蓋函數(shù)的一個(gè)最大值點(diǎn)與一個(gè)最小值

2、點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解 因?yàn)槭且粋€(gè)奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而圓也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，圖只需覆蓋的一個(gè)最值點(diǎn)即可。令，可解得的圖象上距原點(diǎn)最近的一個(gè)最大值點(diǎn)，依題意，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過(guò)|k|，即綜上可知，所求的K 為滿足的一切實(shí)數(shù)。例2 已知，且求 cos(x+2y)的值。解 原方程組可化為因?yàn)樗粤?，則在上是單調(diào)遞增的，于是由得 f(x)=f(-2y)得 x=-2y即 x+2y=0例3 求出（并予以證明）函數(shù)解 首先，對(duì)任意，均有這表明，是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期其次，設(shè)，T是f(x)的一個(gè)周期，則對(duì)任意，均有在上式中，令x=0，則有。兩邊平方，可知即 sin2T=0，這表明，矛盾

3、。綜上可知，函數(shù)的最小正周期為。例3 求證：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的兩個(gè)數(shù)，使得sin(cosc)=c, cos(sind)=d證，構(gòu)造函數(shù)f(x)=cos(sinx)-xf(x)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的，由于f(0)=cos(sin0)-0=1>0.故存在唯一的，使f(d)=0，即cos(sind)=d對(duì)上述兩邊取正弦，并令c=sind，有sin(cos(sind)=sindsin(cosc)=c顯然，由于y=sinx在是單調(diào)遞增的，且d是唯一的，所以c也是唯一的，且例4 已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有求證：證 首先，f(x)可以寫成其中是常數(shù)，且，在式中，分別令和得+，得又在式中分別令，得由+，得【能

4、力訓(xùn)練】（A組）1求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間2已知是偶函數(shù)，求3設(shè)，試比較的大小。4證明：對(duì)所以實(shí)數(shù)x,y，均有5已知為偶函數(shù)，且t滿足不等式，求t的值。（B組）6已知，且滿足：（1）；（2）；（3）。求f(x)的解析式7證明：對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y以及實(shí)數(shù)均有不等式8已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍。9設(shè)，求乘積的最大值和最小值。參考答案【能力訓(xùn)練】A組12由偶函數(shù)的定義，有上式對(duì)任意成立，故所以3首先，又，即4只需證明不能同時(shí)成立，若不然，則存在整數(shù)m,n,k,使得即 矛盾5由題設(shè)，得即 由于上式對(duì)任意x成立，故sint=1，結(jié)合，即-1<t<4 可知B組6由可得a+2b+4c=1524（1）當(dāng)且b>0時(shí)，有此方程組與聯(lián)立后無(wú)解（2）當(dāng)且b<0 有此時(shí)a=4,b=-40, c=400（3）當(dāng)a>0且有此方程組與聯(lián)立后無(wú)解。（4）當(dāng)a<0且，有此方程組與聯(lián)立后無(wú)解，得上可知，。7原不等式等價(jià)于若，則若故原不等式成立8令，由條件可得所