線性波理論(共4頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上線性波理論1.1 波浪的流體動(dòng)力基本方程及邊界條件實(shí)際海水河水均為有黏性流體，且水表面存在表面張力，所以流浪運(yùn)動(dòng)實(shí)際呈黏性流，但黏性及表面張力的影響大小，與波浪的頻率有關(guān)。在船舶和海洋工程中，船舶搖擺和拍擊，船舶穩(wěn)定，興波阻力；海岸工程中，波浪對(duì)港口、防波堤的作用；離岸工程中，鉆井平臺(tái)，海工建筑，海底油管等。水波起制約作用的物理因素是重力，粘性力可忽略不計(jì)。因此可以用理想流體的勢(shì)流理論來(lái)研究波浪運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。如下圖所示，一間諧前進(jìn)波沿x軸正向移動(dòng)。h（水深從平均水平面到底部的距離）（x，t）自由面在平均水面以上的瞬時(shí)垂直距離H波高，對(duì)于小振幅波，H=2aT周期波速C=L

2、/T,波數(shù)k=2/L，圓頻率=2/T（2時(shí)間內(nèi)的波動(dòng)次數(shù)）對(duì)于線性波理論，必須遵循以下3個(gè)假設(shè)：（1）理想不可壓縮流體，重力不能忽略；（2）運(yùn)動(dòng)是無(wú)旋的，具有速度勢(shì)；（3）波浪是線性波（微振幅波），即水深H遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)L。且滿(mǎn)足Laplace方程，=2x+2x=0（0z，-x+）底部條件（不可穿透條件）vz=z=0（z=-h）自由表面邊界條件=-1gtz=（由Lagrange積分t+12v2+p+gz=0，令z=，自由表面上相對(duì)壓力p=0，為使邊界條件線性化，假定速度的平方趨向于0，而得到）。在z=0處滿(mǎn)足（自由邊界條件的近似）=-1gtz=0綜合整理上述公式，可得線性波（小振幅波）的基本方程

3、與邊界條件 2x+2x=00z，-x+z=0z=-h=-1gtz=01.2 線性波理論上述波浪速度勢(shì)的求解存在兩個(gè)困難：（1）自由表面的非線性；（2）這些條件僅在自由表面z=上滿(mǎn)足，是未知量，因此只能近似求解。假定波浪振幅足夠小，即波高H遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)L，可得到上述方程的線性解，故稱(chēng)為線性波理論。由分離變量法求解，令=f（z）sin（kx-t）將其帶入拉普拉斯方程可得d2fdz2sin（kx-t）-k2fsin（kx-t）=0即d2fdz2 -k2f=0根據(jù)線性其次方程解得方程的通解為f(z)=Aekz+Be-kz所以=（Aekz+Be-kz）sin（kx-t）z=k（Ae-kz-Bekz）si

4、n（kx-t）zz=-h= k（Ae-kh-Bekh）sin（kx-t）=0（不可穿透，即海底沿z軸方向上的波速為零）由方程的性質(zhì)可知，必須Ae-kh-Bekh=0恒成立，上式才能成立，所以Ae-kh=Bekh令D/2=Ae-kh=Bekh，則A= Dekh/2，B=De-kh/2所以=DAek（z+h）+Be-k（z+h）sinkx-t/2或=Dcoshk（z+h）sinkx-t/2=-1gtz=0=-1gDcoshk（z+h）-sinkx-tz=0波面方程為=Dg coshkhcoskx-t令Dg coshkh=a（a為波幅）即D=agcoshkh，則=agcoshkh coshk（z+h

5、）sinkx-t所以自由面形狀（波面方程）為=a coskx-t當(dāng)h趨向于無(wú)窮大時(shí)，該式=agcoshkh coshk（z+h）sinkx-t可化為=agekzsinkx-t，此公式適用于無(wú)限水深的情況波速，波長(zhǎng)，周期自由表面（x，t）上任意一點(diǎn)的z方向速度分量vz=ddt，即波面抬高速度近似等于z方向上的速度分量將上式與vz=z聯(lián)立z=t=t-1gt=-1g2t2由式=agcoshkh coshk（z+h）sinkx-t對(duì)t求二階導(dǎo)后再乘以-1g，與此同時(shí)，再對(duì)上式的z求一階導(dǎo)，上述兩次求導(dǎo)得到的結(jié)果需滿(mǎn)足z=-1g2t2最終求得2=gktanhkh，又C=L/T=2k2=k，所以=kc，將=kc帶入式子2=gktanhkh，求得波速C=gL2tanh2hL（該波速公式適用于各種水深）由上式，在已知L，h的前提下，可求得C；在已知T，h的前提下，可求得L下面將水波按照水深進(jìn)行分類(lèi)由于雙曲函數(shù)有漸進(jìn)值，所以按雙曲函數(shù)的性質(zhì)將水波進(jìn)行分類(lèi)，其目的是為了工程應(yīng)用方便，所謂的深水波、淺水波是一種相對(duì)概念。波的類(lèi)型水深htanh2hL近似值近似公式深水波L/2h1C=gL2中等水深波L/20hL/2tanh2hLC=gL2tanh2hL淺水波0hL