導(dǎo)數(shù)題型-利用導(dǎo)數(shù)證明不等式--學(xué)生版教師版精品資料

1、導(dǎo)數(shù)習(xí)題題型分類精選利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（學(xué)生版）不等式的證明問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),傳統(tǒng)證明不等式的方法技巧性強(qiáng),多數(shù)學(xué)生不易想到 ,并且各類不等式的證明沒(méi)有通性通法. 隨著新教材中引入導(dǎo)數(shù), 這為我們處理不等式的證明問(wèn)題又提供了一條新的途徑,并且在近年高考題中使用導(dǎo)數(shù)證明不等式也時(shí)有出現(xiàn) ,但現(xiàn)行教材對(duì)這一問(wèn)題沒(méi)有展開(kāi)研究,使得學(xué)生對(duì)這一簡(jiǎn)便方法并不了解.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式思路清晰,方法簡(jiǎn)捷 ,操作性強(qiáng) ,易被學(xué)生掌握。下面介紹利用單調(diào)性、極值、最值證明不等式的基本思路，并通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，證明一些簡(jiǎn)單的不等式。通過(guò)作輔助函數(shù)并對(duì)輔助函數(shù)求導(dǎo)來(lái)證明不等的的方法對(duì)相當(dāng)廣泛的一類不等式是適

2、用的。用此方法證明f(x) g(x)(a x b) 的一般步驟是：1. 作輔助函數(shù)（x） =f(x)-g(x),原不等式f(x) g(x)(a x b) 歸結(jié)為：（x）0(a xb), 這等價(jià)于 (x) 在 a,b 上的最小值大于等于0.2. 對(duì)（ x）求導(dǎo)，確定F(x) 在所考慮的區(qū)間上的符號(hào)，從而確定(x) 的增減性、極值、最值等性質(zhì)（主要是單調(diào)性），如象例F(x) 的符號(hào)直接確定不了，這時(shí)一般需計(jì)算（ x） , 直到符號(hào)能夠確定為止注意：作輔助函數(shù)(x) 不同，確定F(x) 符號(hào)難易程度可能不同，所以作輔助函數(shù)不拘一格，可對(duì)原題作適當(dāng)變更不同輔助函數(shù)構(gòu)造一般來(lái)源對(duì)原不等式的不同同解變形一

3、般來(lái)說(shuō) : 輔助函數(shù)構(gòu)造方法主要有下面兩種:要x2(1) 由欲證形式構(gòu)造“形似”函數(shù)。例如：xln(1 x) 構(gòu)造出2g x xx2ln(1 x)2(2) 對(duì)含兩個(gè)變量的不等式，由欲證形式做恒等變形，變成初等函數(shù)四則運(yùn)算的形式，再將其中一個(gè)變量改為 x，移項(xiàng)使等式一端為 0，則另一端即為所求作的輔助函數(shù) F（ x）例如： ( ab ) a ba a bb2兩邊可取對(duì)數(shù)，變?yōu)榍笞C：a ln ab ln b( ab) ln a b2令 f ( x)a ln a x ln x (a x) ln a x ( x a)2一構(gòu)造形似函數(shù)型1對(duì)證明形如f(x) g(x)(a x b) 的不等式構(gòu)造形如（x）

4、 =f(x)-g(x)的函數(shù)型并通過(guò)一階求導(dǎo)達(dá)到證明目的的不等式。例 1求證下列不等式x2ln(1 x) xx2(0 ,) （相減）（ 1） x2(1x2x)2xx (0 , ) （相除兩邊同除以x 得 xsin x2（ 2） sin x）2（ 3） x sin xtan xxx(0 ,)2（ 4）已知： x(0) ，求證1ln x1 1 ；（換元：設(shè) tx1 ）x 1xx1x（ 5）已知函數(shù)f ( x)ln( x1)x ，x 1，證明： 11) xln( xx1鞏固練習(xí)：11.證明 x1時(shí)，不等式2x3x2. x0 ，證明： ex1x3. x0 時(shí)，求證： xx2ln(1 x)2綜合應(yīng)用4.

5、 例：（理做）設(shè)a 0， f (x)=x 1ln 2 x 2a ln x（ x>0） .（）令F（ x） xf （ x），討論F（x）在（ 0. ）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；2（）求證：當(dāng)x>1 時(shí)，恒有 x>ln x 2a ln x 1.例 2. （本小題滿分14 分）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設(shè) 0<a<b, 證明0<g(a)+g(b)-2g(ab)<(b-a)ln2.2解：、（ 2009全國(guó)卷理）( 本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f xx2aIn 1 x 有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、 x2，且 x1

6、 x2（ I）求 a 的取值范圍，并討論f x的單調(diào)性；12In 2II）證明：fx24例 3：（ 1）已知： x(0) ，求證1ln x11 ；x1xx（ 2）已知： nN且 n2 ，求證： 111ln n111。23n2n1解：(2012 山東理科 22 題本小題滿分 13 分)ln xkf (x) 在已知函數(shù) f ( x)(k 為常數(shù)，e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù) )，曲線 yex點(diǎn) (1, f (1) 處的切線與 x 軸平行 .()求 k 的值；()求 f (x) 的單調(diào)區(qū)間；( )設(shè) g (x)xf (x) ，其中 f ( x) 為 f ( x) 的導(dǎo)函數(shù) .證明：對(duì)任意x0, g ( x)1e 2 .來(lái)源 :解：2012 天津理科（21）（本小題滿分 14 分）已知函數(shù)( )x() fxxe xR( ) 求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；()已知函數(shù)y=g