數(shù)學(xué)分析第二章

1、精選課件第二章第二章 數(shù)列極限數(shù)列極限2.1 數(shù)列極限的概念2.2 收斂數(shù)列的性質(zhì)2.3 數(shù)列極限存在的條件精選課件2.1 數(shù)列極限的概念一、概念的引入二、數(shù)列的定義三、數(shù)列的極限四 、應(yīng)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限的方法精選課件一、概念的引入一、概念的引入引例 1 如何用漸近的方法求圓的面積S？ 用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積S.A1 A2 A3 A1表示圓內(nèi)接正6邊形面積,A2表示圓內(nèi)接正12邊形面積,A3表示圓內(nèi)接正24邊形面積,An表示圓內(nèi)接正62n-1邊形面積, , . 顯然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考慮當(dāng)n時(shí), An的變化趨勢(shì). 精選課件2 2、截丈問(wèn)題：、截丈問(wèn)

2、題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”;211 X第一天截下的杖長(zhǎng)為第一天截下的杖長(zhǎng)為;212122 X為為第第二二天天截截下下的的杖杖長(zhǎng)長(zhǎng)總總和和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖長(zhǎng)長(zhǎng)總總和和為為第第nnX211 1精選課件二、數(shù)列的定義二、數(shù)列的定義例如例如;,2,8 ,4,2n;,21,81,41,21n2n21n精選課件注意：注意：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)整標(biāo)函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1,

3、11 n1( 1) n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn , 333, 33, 3 精選課件.)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限精選課件問(wèn)題問(wèn)題: 當(dāng)當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), 是否無(wú)限接近于某一是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 問(wèn)題問(wèn)題: “無(wú)限接近無(wú)限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:精選課件

4、,1001給定給定,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時(shí)時(shí)只只要要 n,100011 nx有有, 0 給給定定,)1(時(shí)時(shí)只只要要 Nn.1成成立立有有 nx精選課件如果數(shù)列沒(méi)有極限如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：;. 1的無(wú)限接近的無(wú)限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) N精選課件x1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在

5、其外個(gè)個(gè)至多只有至多只有只有有限個(gè)只有有限個(gè)內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點(diǎn)所有的點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)NaaxNnn :N 定定義義其中其中;:每每一一個(gè)個(gè)或或任任給給的的 .:至少有一個(gè)或存在至少有一個(gè)或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有時(shí)時(shí)使使精選課件注注定義定義1習(xí)慣上稱為極限的習(xí)慣上稱為極限的N定義，它用兩個(gè)定義，它用兩個(gè)動(dòng)態(tài)指標(biāo)動(dòng)態(tài)指標(biāo)和和N刻畫(huà)了極限的實(shí)質(zhì)，用刻畫(huà)了極限的實(shí)質(zhì)，用|xna|定量地刻畫(huà)了定量地刻畫(huà)了xn 與與a 之間的距離任意小，即任給之間的距離任意小，即任給0標(biāo)志著標(biāo)志著“要多小要多小”的要求，用的要求，用n N表示表示n充分充分大。這個(gè)定義有三個(gè)要素：大。這個(gè)

6、定義有三個(gè)要素：10，正數(shù)正數(shù)，20，正數(shù)正數(shù)N，30，不等式，不等式|xna|（n N）定義中的定義中的具有二重性：一是具有二重性：一是的任意性，二是的任意性，二是的相對(duì)固定性。的相對(duì)固定性。的二重性體現(xiàn)了的二重性體現(xiàn)了xn 逼近逼近a 時(shí)要時(shí)要經(jīng)歷一個(gè)無(wú)限的過(guò)程（這個(gè)無(wú)限過(guò)程通過(guò)經(jīng)歷一個(gè)無(wú)限的過(guò)程（這個(gè)無(wú)限過(guò)程通過(guò)的任意的任意性來(lái)實(shí)現(xiàn)），但這個(gè)無(wú)限過(guò)程又要一步步地實(shí)現(xiàn)，性來(lái)實(shí)現(xiàn)），但這個(gè)無(wú)限過(guò)程又要一步步地實(shí)現(xiàn)，而且每一步的變化都是有限的（這個(gè)有限的變化通而且每一步的變化都是有限的（這個(gè)有限的變化通過(guò)過(guò)的相對(duì)固定性來(lái)實(shí)現(xiàn)）。的相對(duì)固定性來(lái)實(shí)現(xiàn)）。精選課件 定義中的定義中的N是一個(gè)特定的項(xiàng)數(shù)

7、，與給定的是一個(gè)特定的項(xiàng)數(shù)，與給定的有關(guān)。有關(guān)。重要的是它的重要的是它的存在性存在性，它是在，它是在相對(duì)固定后才能確定的，相對(duì)固定后才能確定的，且由且由|xna|來(lái)選定，一般說(shuō)來(lái)，來(lái)選定，一般說(shuō)來(lái)，越小，越小，N越大，但須越大，但須注意，對(duì)于一個(gè)固定的注意，對(duì)于一個(gè)固定的，合乎定義要求的，合乎定義要求的N不是唯一的。不是唯一的。用定義驗(yàn)證用定義驗(yàn)證xn 以以a 為極限時(shí)，關(guān)鍵在于設(shè)法由給定的為極限時(shí)，關(guān)鍵在于設(shè)法由給定的，求出一個(gè)相應(yīng)的求出一個(gè)相應(yīng)的N，使當(dāng)，使當(dāng)n N時(shí)，不等式時(shí)，不等式|xna|成立。成立。在證明極限時(shí)在證明極限時(shí)，n，N之間的邏輯關(guān)系如下圖所示之間的邏輯關(guān)系如下圖所示|x

8、na| n N精選課件定義中的不等式定義中的不等式|xna| （n N）是指下面）是指下面一串不等式一串不等式 |1axN |2axN |3axN都成立，都成立，而對(duì)而對(duì) |1ax |axN則不要求它們一定成立則不要求它們一定成立數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列極限的幾何意義, 0N 使得使得 N 項(xiàng)以后的所有項(xiàng)項(xiàng)以后的所有項(xiàng),321 NNNxxx精選課件都落在都落在a點(diǎn)的點(diǎn)的鄰域鄰域內(nèi)內(nèi)),( aa因而在這個(gè)鄰域之外至多能有數(shù)列中的有限個(gè)點(diǎn)因而在這個(gè)鄰域之外至多能有數(shù)列中的有限個(gè)點(diǎn)x a aa 22 Nx1x2x1 Nx3x 這就表明數(shù)列這就表明數(shù)列xn所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列除了前面有限個(gè)點(diǎn)外所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列除了前

9、面有限個(gè)點(diǎn)外都能凝聚在點(diǎn)都能凝聚在點(diǎn)a的任意小鄰域內(nèi)，同時(shí)也表明數(shù)列的任意小鄰域內(nèi)，同時(shí)也表明數(shù)列xn中的項(xiàng)到一定程度時(shí)變化就很微小，呈現(xiàn)出一種穩(wěn)定中的項(xiàng)到一定程度時(shí)變化就很微小，呈現(xiàn)出一種穩(wěn)定的狀態(tài)，這種穩(wěn)定的狀態(tài)就是人們所稱謂的的狀態(tài)，這種穩(wěn)定的狀態(tài)就是人們所稱謂的“收斂收斂”。精選課件AnNAAnxn目的：AxANnNAxnnn ,0lim時(shí)，有使得自然數(shù)要找到一個(gè)精選課件NAAA 越來(lái)越小，N越來(lái)越大！nxn精選課件數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證證明明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx

10、要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：精選課件 利用定義驗(yàn)證數(shù)列極限，利用定義驗(yàn)證數(shù)列極限，有時(shí)遇到的不等式有時(shí)遇到的不等式|xna|不易考慮，往往采用把不易考慮，往往采用把|xna|放大的方法放大的方法。若能放大到較簡(jiǎn)單的式子，就較容易從一個(gè)比較簡(jiǎn)單若能放大到較簡(jiǎn)單的式子，就較容易從一個(gè)比較簡(jiǎn)單的不等式去尋找項(xiàng)數(shù)指標(biāo)的不等式去尋找項(xiàng)數(shù)指標(biāo)N放大的原則：放大的原則： 放大后的式子較簡(jiǎn)單放大后的式子較簡(jiǎn)單 放大后的式子以放大后的式子以0為極限為極限例例 2 證明證明1lim22 nann證明證

11、明1|1|22 nanxn)(222nanna 精選課件nan21 )1(22 naan則則若若0 故故 ,1max2aN 則當(dāng)則當(dāng)n N時(shí)，有時(shí)，有nannan22211 n11lim22 nann精選課件例例3. 證證明明 分析，要使分析，要使 （為簡(jiǎn)為簡(jiǎn)化，限定化，限定 n只要只要 證證. 當(dāng)當(dāng) n N 時(shí)有時(shí)有由定由定義義 343lim22nnnnnnn1241234322212n33,12max, 0N取nnnn12412343222343lim22nnn精選課件. 例例4.證證明明 （K為為正正實(shí)實(shí)數(shù)）數(shù)）證證：由于：由于 所以對(duì)任意所以對(duì)任意0，取，取N= , 當(dāng)當(dāng) nN時(shí)時(shí),

12、便有便有 01limknnkknn101k11 01kn01limknn精選課件例例5.lim),(CxCCxnnn 證證明明為為常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)證證Cxn CC ,成立成立 ,0 任任給給所以所以,0 ,n對(duì)于一切自然數(shù)對(duì)于一切自然數(shù).limCxnn 說(shuō)明說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié)小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時(shí)用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給關(guān)鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 精選課件例例6. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任給任給,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)Nn

13、 ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 精選課件例例7.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求證證且且設(shè)設(shè)證證, 0 任給任給.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn時(shí)恒有時(shí)恒有使得當(dāng)使得當(dāng)axaxaxnnn 從從而而有有aaxn a1 精選課件四四: 收斂的否定收斂的否定: aannlim數(shù)列數(shù)列 na發(fā)散發(fā)散 000 , 0, , naNaa 0nN, 有0000, , nNaa 0nN, 有精選課件注：注： 改變改變或或去掉數(shù)列去掉數(shù)列的的有限項(xiàng)有限項(xiàng), 不影響數(shù)列的不影響數(shù)列的

14、收斂性和極限收斂性和極限. 重排重排不改變數(shù)列斂散性不改變數(shù)列斂散性精選課件3 數(shù)列極限的等價(jià)定義數(shù)列極限的等價(jià)定義: ) 0( , , , , 0 :1kkaaNnNnD :2D對(duì)對(duì)0, c 3:D 對(duì)任正整數(shù)對(duì)任正整數(shù).1 , , ,maaNnNmn , , , nNn Naa 精選課件六六 無(wú)窮小數(shù)列無(wú)窮小數(shù)列: 定義定義 極限為極限為0的數(shù)列的數(shù)列稱為稱為無(wú)窮小量無(wú)窮小量（無(wú)窮小量是指一（無(wú)窮小量是指一個(gè)極限概念，趨向常數(shù)個(gè)極限概念，趨向常數(shù)0） nx nxa 命題命題1. 的極限為a 是無(wú)窮小量. 0axyaxnnn)(nnyaxaa變量有極限的充要條件充要條件為它可分解為可分解為加

15、一個(gè)無(wú)窮小量。命題命題200nnxx無(wú)窮小量加絕對(duì)值仍為無(wú)窮小量。 命題命題30, 0nnnnyxMyx無(wú)窮小量與有界變量的積仍為無(wú)窮小量命題命題4精選課件定義定義 數(shù)列數(shù)列| nxM 記作：記作：無(wú)窮大量和特別大量是否相同，不同的話， 區(qū)別在哪里？2. 在同一極限意義下無(wú)窮大量和無(wú)窮小量有 什么關(guān)系？思考題：思考題： nx若對(duì)任意若對(duì)任意M0，總存在正整數(shù)，總存在正整數(shù)N，使使nN時(shí)時(shí)，則稱數(shù)列發(fā)散到無(wú)窮大則稱數(shù)列發(fā)散到無(wú)窮大lim lim-nnnnxx 或或 nx數(shù)列數(shù)列稱為無(wú)窮數(shù)列（無(wú)窮大量）稱為無(wú)窮數(shù)列（無(wú)窮大量）精選課件1、唯一性、唯一性2、有界性有界性3、保號(hào)性、保號(hào)性4、保不等式

16、性、保不等式性5、四則運(yùn)算、四則運(yùn)算6、迫斂性（、迫斂性（夾逼原理夾逼原理 ）7、子數(shù)列的收斂性、子數(shù)列的收斂性2.2 收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)精選課件1、唯一性、唯一性定理定理2.2 2.2 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設(shè)設(shè)由定義由定義,使使得得., 021NN ;1 axNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng);2 bxNnn時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng) ,max21NNN 取取時(shí)時(shí)有有則則當(dāng)當(dāng)Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .時(shí)時(shí)才才能能成成立立上上式式僅僅當(dāng)當(dāng)ba 故收斂數(shù)列極限唯一故收斂數(shù)列極限唯一.精選課件2、有界性

17、有界性例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)軸軸上上對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點(diǎn)點(diǎn)nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界有界無(wú)界無(wú)界精選課件定理定理2.3 2.3 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時(shí)時(shí)恒恒有有使使得得當(dāng)當(dāng)則則. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對(duì)一切自然數(shù)則對(duì)一切自然數(shù) .有界有界故故nx注意：注意：有界性是數(shù)列收斂的有界性是數(shù)列收斂的必要條件必要條件.推論推論 無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散. .精選課件例例1.)

18、1(1是是發(fā)發(fā)散散的的證證明明數(shù)數(shù)列列 nnx證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義,21 對(duì)于對(duì)于,21,成成立立有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng)則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度為區(qū)間長(zhǎng)度為1.,1, 1兩兩個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)無(wú)無(wú)休休止止地地反反復(fù)復(fù)取取而而 nx不可能同時(shí)位于不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1的的區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi)., ,但卻發(fā)散但卻發(fā)散是有界的是有界的事實(shí)上事實(shí)上nx精選課件2|baaan從而 22babaaan精選課件推論推論1(1(收斂數(shù)列的保號(hào)性收斂數(shù)列的保號(hào)性) ) 如果數(shù)列如果數(shù)列xn收斂于收斂于a, 且且a 0(或或a 0) 那么存在正整數(shù)那么存在正整數(shù)N

19、 當(dāng)當(dāng)n N時(shí)時(shí) 有有xn 0(或或xn 0). .精選課件0axn20baaxn精選課件0byn20babyn推論推論 如果數(shù)列如果數(shù)列xn從某項(xiàng)起有從某項(xiàng)起有xn 0(或或xn 0) 且且數(shù)列數(shù)列xn收斂于收斂于a 那么那么a 0(或或a 0). .思考：思考： 如將條件中的如將條件中的xn yn換成換成xn yn,那么以那么以下結(jié)論是否成立？下結(jié)論是否成立？limlim?nnnnxy 精選課件證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ( 夾逼原理夾逼原理 )精選課件,1 ayNnn時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng),2 azNnn時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取上兩式同時(shí)成立上兩式同

20、時(shí)成立, ayan即即, azan恒恒有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn , azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限精選課件例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn精選課件5 絕對(duì)值收斂性絕對(duì)值收斂性: . lim ,limaaaannnn ( 注意反之不成立注意反之不成立 ,請(qǐng)舉例請(qǐng)舉例). .0

21、lim ,0limnnnnaa精選課件6 6 數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則 (1)BAyxnnn)(lim (2)BAyxnnn)(lim (3)當(dāng)0ny(n1 2 )且 B0 時(shí) BAyxnnnlim. 定理定理2.72.7 設(shè)有數(shù)列xn和yn. 如果Axnnlim Bynnlim 那么證明略。證明略。精選課件例例5 求求lim(1)nnnnli m1nnnaa 例例4 求求解：解： 分 a=1， |a|1 三種情況 解解：（分子有理化）1010limmmknka na nab nb nb例例3 求求精選課件7、子數(shù)列的收斂性、子數(shù)列的收斂性 的子數(shù)列（或子列）的子數(shù)列（或子

22、列）的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列到到中的先后次序，這樣得中的先后次序，這樣得這些項(xiàng)在原數(shù)列這些項(xiàng)在原數(shù)列保持保持中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并定義：在數(shù)列定義：在數(shù)列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx .kkknnnnkkxxkxxnnk在子數(shù)列中，一般項(xiàng)是第 項(xiàng)，而在原數(shù)列中卻是第項(xiàng)，顯然，注意：注意：例如，例如，精選課件證證 的的任任一一子子數(shù)數(shù)列列是是數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)列列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒恒有有時(shí)時(shí)使使,NK 取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Kk .kKNnnnN. axkn.limaxknk 證畢證畢定理定理2.8 ( 數(shù)

23、列收斂充要條件數(shù)列收斂充要條件 ) na 收斂收斂 na 的任何子列收斂的任何子列收斂 于同一極限于同一極限.精選課件例例4對(duì)于數(shù)列對(duì)于數(shù)列xn )(2 kaxk若若)(12 kaxk)( naxn則則證證0 知知由由axkk 2lim時(shí)時(shí)，有有使使當(dāng)當(dāng)11,KkK |2axk知知再由再由axkk 12lim時(shí)，有時(shí)，有使當(dāng)使當(dāng)22,KkK |12axk12 ,2max21 KKN取取時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)Nn 11222KmKmmn 則則若若此時(shí)有此時(shí)有 |2axaxmn精選課件22121212KmKmmn 則則若若此時(shí)有此時(shí)有 |12axaxmn總之：總之：0 N 時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)Nn 恒有恒有 |ax

24、naxnn lim即即推論)(),()(| naxqpaNBABqxApxxnqpn則則趨趨于于同同一一極極限限值值其其中中與與：若若子子數(shù)數(shù)列列對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)列列精選課件2.3 數(shù)列極限存在的條件數(shù)列極限存在的條件 一 數(shù)列收斂的一個(gè)充分條件數(shù)列收斂的一個(gè)充分條件 單調(diào)有界原理單調(diào)有界原理 二二 數(shù)列收斂的充要條件數(shù)列收斂的充要條件 Cauchy收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則精選課件一一 單調(diào)有界原理單調(diào)有界原理定義定義 稱為單調(diào)上升的，若 nxnxxxx321nx稱為單調(diào)下降的，若 nxxxx321 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列. 精選課件M定理定理1(1(單調(diào)有界定理單調(diào)有界定理) ) 單調(diào)有界數(shù)列

25、必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. . 定理1的幾何解釋x1 x5 x4 x3 x2 xn A 以單調(diào)增加數(shù)列為例 數(shù)列的點(diǎn)只可能向右一個(gè)方向移動(dòng) 或者無(wú)限向右移動(dòng) 或者無(wú)限趨近于某一定點(diǎn)A 而對(duì)有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生. 精選課件 .為有上界的遞增數(shù)列不妨設(shè)na ,sup.nnaaa 由由確確界界原原理理 數(shù)數(shù)列列有有上上確確界界 記記 .的極限就是下證naa ., 0NnNaaaa，使得按上確界定義事實(shí)上證明 .,nNnaaaNna時(shí)有當(dāng)?shù)倪f增性又由 .,aaaaaannn都有故的一個(gè)上界是而.aaaNnn時(shí)有所以當(dāng).limaann即.數(shù)列必有極限同理可證有下界的遞減精選課件例例1 設(shè)設(shè) )

26、. 2 ( ,131211nan證明數(shù)列 收斂. na2111111 ( 2 ) 2345(2 )nan 證明：證明：1121111 244n 111 )12112(122nan 111 )12112(122nan 精選課件2nnaa 2112nnnaaa 11112na 即有界，而且顯然是單調(diào)增加的數(shù)列，即有界，而且顯然是單調(diào)增加的數(shù)列，所以極限存在。所以極限存在。精選課件例例2 2.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列nxn 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的n

27、x.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx精選課件注意到對(duì) , n有 ,axn有 nnnnxaaxaxx . 1) (121121221 , .limaxnn例例3 .21 .0 ,011nnnxaxxxa求 limnnx 解解 由均值不等式, 有 nnnxaxx21 1 .nnnxaxax有下界; 及a 精選課件二二 數(shù)列收斂的充要條件數(shù)列收斂的充要條件 Cauchy收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則1 Cauchy列列： 如果數(shù)列 na具有以下特性：0,0:,nmNn maa則稱數(shù)列 na是一個(gè)基本數(shù)列基本數(shù)列.