異面直線所成角的幾種求法

1、異面直線所成角的幾種求法異面直線所成角的大小， 是由空間一點(diǎn)分別引它們的平行線所成的銳角（或直角） 來定義的。因此，通常我們要求異面直線所成的角會(huì)要求學(xué)生通過平移直線，形成角，然后在某個(gè)三角形中求出角的方法來得到異面直線所成角的大小。在這一方法中， 平移直線是求異面直線所成角的關(guān)鍵，而如何平移直線要求學(xué)生有良好的空間觀和作圖能力。一、向量法求異面直線所成的角例 1：如圖，在正方體 ABCD-A B C D中，E、F 分別是相鄰兩側(cè)面 BCC B及CDDC11111111的中心。求A 1E 和 B 1F 所成的角的大小。解法一：（作圖法）作圖關(guān)鍵是平移直線，可平移其中一條直線，也可平移兩條直線到

2、某個(gè)點(diǎn)上。作法：連結(jié) B1E，取 B 1E 中點(diǎn) G 及 A 1B1 中點(diǎn) H，連結(jié) GH ，有 GH/A 1E。過 F 作 CD 的平行線 RS，分別交 CC1、 DD 1 于點(diǎn) R、 S，連結(jié) SH，連結(jié) GS。由 B 1H/C 1D1 /FS，B 1H=FS ，可得 B 1F/SH 。在 GHS 中，設(shè)正方體邊長為a。6GH=a（作直線GQ/BC 交 BB 1 于點(diǎn) Q，4A 1D1HB1C1SQGFEARDBCP連 QH，可知 GQH 為直角三角形） ，6HS=a（連 A 1S，可知 HA 1 S 為直角三角形） ，226GS=a（作直線 GP 交 BC 于點(diǎn) P，連 PD，可知四邊形

3、 4Cos GHS= 1 。6所以直線 A 1E 與直線 B 1F 所成的角的余弦值為1B1。6解法二：（向量法）分析：因?yàn)榻o出的立體圖形是一個(gè)正方體，所以可以在空間建立直角坐標(biāo)系，從而可以利用B點(diǎn)的坐標(biāo)表示出空間中每一個(gè)向量，從而可以用向量的方法來求出兩條直線間的夾角。以 B 為原點(diǎn)， BC 為 x 軸， BA 為 y 軸， BB 1 為 z 軸，設(shè) BC 則點(diǎn) A 1 的坐標(biāo)為（ 0， 2， 2），點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（ 1， 0， 1），GPDS 為直角梯形） 。A1D1C1FEADC長度為 2。精選文庫點(diǎn) B 1 的坐標(biāo)為（ 0， 0， 2），點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（ 2， 1， 1）；所以向量

4、 EA1的坐標(biāo)為（ -1， 2， 1），向量 B1 F 的坐標(biāo)為（2， 1， -1），所以這兩個(gè)向量的夾角滿足cos =EA1B1F=( 1)2 211( 1)=-1 。|EA1|B1F |( 1)2(2)2(1)2(2)2(1)2( 1)26所以直線 A 1E 與直線 B1F 所成的角的余弦值為16小結(jié)：上述解法中， 解法一要求有良好的作圖能力，且能夠在作圖完畢后能夠看清楚圖形中的各個(gè)三角形， 然后在所需要的三角形中計(jì)算出各條線段的長度，從而完成解三角形得到角的大小。 而解法二不需要學(xué)生作圖，只需建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到所需向量的坐標(biāo)，求出兩個(gè)向量的夾角，即所求的兩條

5、直線所成的角。當(dāng)然，如果題中給出的是一可以建立坐標(biāo)系的空間圖形，比如剛才的正方體，或者說是長方體，或者說空間圖形中擁有三條直線兩兩垂直的性質(zhì)，我們就可以建立空間直角坐標(biāo)系，從而利用向量的坐標(biāo)表示來求兩個(gè)向量的夾角。如果沒有這樣的性質(zhì)， 我們也可以利用空間向量基本定理， 尋找空間的一組基底（即三個(gè)不共面的向量，且這三個(gè)向量兩兩之間的夾角是已知的） ，空間中任何一個(gè)向量都可以用這三個(gè)向量的線性組合表示出來，因而也可以運(yùn)用向量的數(shù)乘來求出空間中任意二個(gè)向量間的夾角。例 2：已知空間四邊形 ABCD 中， AB=BC=CD=DA=AC=BD=a ，M 、N 分別為 BC 和AD 的中點(diǎn)，設(shè) AM 和

6、CN 所成的角為，求cos的值。A解：由已知得，空間向量AB ， AC ， AD 不共面，N且兩兩之間的夾角均為60°。由向量的加法可以得到AM =1（AB+AC），NC=1 AD+ACD22B所以向量 AM 與向量 NC 的夾角（即角或者的補(bǔ)角）MAMNCC滿足 cos =，其中| AM| |NC|AM·NC=1（AB+AC）·（1 AD+AC）22=1 （1 AB·AD+AB·AC+（1 AD）·AC+AC·AC）22211111= a2（+2+1） = a2；2442| AM |2=1（AB+AC）·1（AB

7、+AC）=1 （ 1+1+1 ） a2=3a2；22442精選文庫| NC |2=（1AD + AC ）·（1AD+AC）=1+11a2=3a2 。22424所以 cos =| cos |= 2 。3例 3：已知空間四邊形ABCD 中， AB=CD=3 ，E、 F 分別是 BC、 AD 上的點(diǎn)，且 BE： EC=AF ： FD=1 ： 2， EF= 7 ，求 AB 和 CD 所成的角的大小。解：取 AC 上點(diǎn) G，使 AG ： GC=1 ： 2。連結(jié) EG、 FG，可知 EG/AB ，F(xiàn)G/CD ， 3EG=2AB ，3FG=CD 。由向量的知識(shí)可知EF =EG+GF = 2BA+1

8、CD，33設(shè)向量 BA 和 CD 的夾角為。BEAFGD則由 | EF |2=（12 BA+1 =7，2BA+ CD ）·（CD ） =4+1+4cos3333C得 cos = 1 ，所以 AB 和 CD 所成的角為 60°。2二、利用模型求異面直線所成的角引理：已知平面的一條斜線a 與平面所成的角為1，平面內(nèi)的一條直線b 與斜線 a 所成的角為，與它的射影a所成的角為 212。求證： cos = cos · cos 。證明：設(shè) PA 是的斜線， OA 是 PA 在上的射影，POB/b ，如圖所示。則 PAO= 1， PAB= ， OAB= 2，過點(diǎn) O 在平面內(nèi)

9、作OB AB ，垂足為 B ，連結(jié) PB?？芍?PB AB 。所以 cos 1= OA ， cos = AB ， cos 2= AB 。APAPAOAOb所以 cos = cos1 ·cos 2。B這一問題中，直線a 和 b 可以是相交直線，也可以是異面直線。我們不妨把1 叫做線面角，叫做線線角，2 叫做線影角。很明顯，線線角是這三個(gè)角中最大的一個(gè)角。我們可以利用這個(gè)模型來求兩條異面直線a 和 b 所成的角， 即引理中的角。 從引理中可以看出，我們需要過a 的一個(gè)平面，以及該平面的一條斜線b 以及 b 在內(nèi)的射影。例 4：如圖， MA 平面 ABCD ，四邊形 ABCD 是正方形，且

10、 MA=AB=a ，試求異面直線 MB 與 AC 所成的角。M解：由圖可知，直線MB 在平面 ABCD 內(nèi)的射影為 AB ，直線 MB 與平面 ABCD 所成的角為 45°，3DCAB精選文庫直線 AC 與直線 MB 的射影 AB 所成的角為 45°，所以直線 AC 與直 MB 所成的角為，滿足1cos =cos45°·cos45° =，所以直線AC 與 MB 所成的角為60°。例 5：如圖，在立體圖形 P-ABCD 中，底面 ABCD AD/BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且 PA底面 ABCD ，PD求異面直線 AE 與 CD 所成的角的大小。解：過 E 作的平行線 EF 交 AD 于 F，由 PA底面 ABCD 可知，直線 AE 在平面是一個(gè)直角梯形，BAD=90 °，與底面成30°角， AE PD 于 D 。PEABCD 內(nèi)的射影為 AD ，AFD直線 AE 與平面 ABCD 所成的角為 DAE ，其大小為 60°，射影 AD 與直線 CD 所成的角為 CDA ，其大小為 45°，所以直線與直