拋物線與圓的綜合

1、拔高專題拋物線與圓的綜合一、基本模型構建常見模型思考圓與拋物線以及與坐標系相交，根據(jù)拋物線的解析式可求交點坐標，根據(jù)交點可求三角形的邊長，由于圓的位置不同，三角形的形狀也不同。再根據(jù)三角形的形狀，再解決其它問題。二、拔高精講精練探究點一： 拋物線、圓和直線相切的問題例 1: （ 2015?崇左）如圖，在平面直角坐標系中，點M 的坐標是（ 5，4）， M 與 y 軸相切于點 C，與 x 軸相交于A ， B 兩點（1）則點 A ，B， C 的坐標分別是A （2，0） ，B （8，0） ，C（0，4） ；（ 2）設經(jīng)過 A ，B 兩點的拋物線解析式為y= 1 （ x-5 ）2+k，它的頂點為E，求證

2、：直線EA4與 M 相切；（ 3）在拋物線的對稱軸上， 是否存在點 P，且點 P 在 x 軸的上方， 使 PBC 是等腰三角形？如果存在，請求出點 P 的坐標；如果不存在，請說明理由（ 1）解：連接 MC 、MA ，如圖 1 所示： M 與 y 軸相切于點 C， MC y 軸， M（ 5，4）， MC=MA=5 ， OC=MD=4 ， C（ 0， 4）， MD AB ， DA=DB ， MDA=90 °， AD=52 42 =3， BD=3 ，OA=5-3=2 ，OB=5+3=8 ， A （2， 0），B （ 8，0）；（ 2）證明：把點 A （ 2，0）代入拋物線y= 1 （ x-

3、5 ） 2+k ，得： k=-9 ， E（5，- 9 ），444精選文庫9， ME=MD+DE=4+9252292225， MA222225225， DE=4=，EA=3 +（4） =16+EA =5+=441616ME 2=225 ，16 MA 2+EA 2=ME 2， MAE=90 °，即 EA MA ， EA 與 M 相切；（ 3）解：存在；點P 坐標為（ 5， 4），或（ 5，71 ），或（ 5， 4+55 ）；理由如下：由勾股定理得： BC= OC 2OB2=4282=45 ，分三種情況：當PB=PC 時，點 P在 BC 的垂直平分線上，點P 與 M 重合， P（5，4）；

4、當 BP=BC=45 時，如圖2 所示： PD=BP2BD22= 803= 71，（，71）；P 5當 PC=BC=45 時，連接MC ，如圖3 所示：則 PMC=90 °，根據(jù)勾股定理得：PM= PC2MC 2= 8052= 55， PD=4+55 ， P（ 5，4+55 ）；綜上所述：存在點P，且點 P 在 x 軸的上方，使 PBC 是等腰三角形，點 P 的坐標為（5，4），或（ 5，71 ），或（ 5， 4+ 55 ）【變式訓練】 （ 2015?柳州）如圖，已知拋物線y=- 1 （ x2-7x+6 ）的頂點坐標為M ，與 x 軸2相交于 A ， B 兩點（點 B 在點 A 的右

5、側(cè)），與 y 軸相交于點 C（ 1）用配方法將拋物線的解析式化為頂點式：y=a（ x-h）2 +k （a 0），并指出頂點 M 的坐標；（ 2）在拋物線的對稱軸上找點R，使得 CR+AR 的值最小，并求出其最小值和點R 的坐標；（ 3）以 AB 為直徑作 N 交拋物線于點 P（點 P 在對稱軸的左側(cè)） ，求證：直線MP 是N的切線-2精選文庫（ 1）解： y=- 1 （ x2 -7x+6） =- 1 （ x2-7x）-3=- 1 （ x- 7 ）2 + 25 ，拋物線的解析式化為22228頂點式為： y=- 1 （ x-7 ）2+25 ，頂點 M 的坐標是（7 ， 25）；22828（ 2）解

6、： y=- 1 （ x2-7x+6 ），當 y=0 時， - 1 （ x2-7x+6 ）=0，解得 x=1 或 6， A （ 1，227 的交點為 R，0），B（ 6，0），x=0 時， y=-3 ， C（ 0，-3）連接 BC ，則 BC 與對稱軸 x=2連接 AR ，則 CR+AR=CR+BR=BC ，根據(jù)兩點之間線段最短可知此時CR+AR 的值最小，最小值為 BC= 6232 =35 設直線 BC 的解析式為y=kx+b ， B（ 6， 0），C（ 0， -3），6kb0k 1BC 的解析式為： y= 1x-3 ，令 x=7，得 y= 1 ×，解得2 ，直線3222bb37-3

7、=-5 ， R 點坐標為（7 ， -5 ）；2424（ 3）證明：設點P 坐標為（ x， - 1x2+7x-3） A （ 1， 0）， B（ 6，0）， N（7 ，0），222以 AB 為直徑的 N 的半徑為 1AB=5 ， NP=5 ，即（ x- 7 ）2+（ -1x2+7x-3 ）2=（5 ）22222222 ，化簡整理得， x4-14x 3+65x 2-112x+60=0 ，（ x-1 ）（ x-2）（ x-5）（ x-6 ） =0，解得 x1=1（與 A 重合，舍去） ， x2=2，x3=5（在對稱軸的右側(cè)，舍去） ， x4=6（與 B 重合，舍去） ，點 P 坐標為（ 2， 2） M

8、 （ 7， 25），N（ 7 ， 0）， PM2=（2-7 ）2+（ 2-25）2=225 ， PN2=2822864（ 2- 7 ） 2+22= 25 = 400 ，2464MN 2=（25）2=625 ， PM 2+PN2=MN 2， MPN=90 °，點 P 在 N 上，直線 MP864是 N 的切線-3精選文庫【教師總結】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了坐標與圖形性質(zhì)、垂徑定理、二次函數(shù)解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識；綜合性強探究點二：拋物線、圓和三角形的最值問題例 2:（ 2015?茂名）如圖，在平面直角坐標系中， A 與 x 軸

9、相交于 C（-2， 0）， D（ -8， 0）兩點，與 y 軸相切于點 B（ 0， 4）（ 1）求經(jīng)過 B ，C，D 三點的拋物線的函數(shù)表達式；（ 2）設拋物線的頂點為 E，證明：直線 CE 與 A 相切；（ 3）在 x 軸下方的拋物線上，是否存在一點F，使 BDF 面積最大，最大值是多少？并求出點 F 的坐標。解：（ 1）設拋物線的解析式為：y=ax 2+bx+c ，把 B（0，4），C（ -2，0），D（-8，0）代入得：4 c04a2bc ，064a8bc 1a4解得 5經(jīng)過 B ， C， D 三點的拋物線的函數(shù)表達式為：y= 1x2 +5x+4；b422c4（ 2） y= 1x2 +5

10、x+4=1（ x+5 ）2-9 ， E（ -5，- 9），設直線 CE 的函數(shù)解析式為y=mx+n ，42444-4精選文庫0 2m n 3m4 ， y= 33 ，在 y= 33直線 CE 與 y 軸交于點 G，則9 5m n，解得：x+x+342424n2中，令 x=0， y=3 ， G（0， 3 ），22如圖 1，連接 AB ，AC ，AG ，則 BG=OB-OG=4-3=5 ，CG=OC2OG2=22(3)2=5 ，2222 BG=CG ， AB=AC ，AB AC在 ABG 與 ACG 中，BG CG ， ABG ACG ， ACG= ABG ， A 與 yAG AG軸相切于點 B （

11、0， 4）， ABG=90 °， ACG= ABG=90 °點 C 在 A 上，直線 CE 與 A 相切；（ 3）存在點 F，使 BDF 面積最大，如圖 2 連接 BD ， BF， DF ，設 F（ t， 1t2+5t+4 ），42d過 F 作 FN y 軸交 BD 于點 N，設直線 BD 的解析式為y=kx+d ，則4，解得8kd0k 1x+4 ，2 直線 BD 的解析式為 y= 1d42 點N 的 坐 標 為 （ t ， 1t+4 ）， FN=1t+4- （1t 2+5t+4 ） =-1t2 -2t ， 22424DBF=SDNF +SBNF = 11122-8t=-（

12、 t+4 ）2，當 t=-4BDFSOD?FN=×8×（- t-2t）=-t+16時， S224125最大，最大值是 16，當 t=-4 時，t +t+4=-2 ， F（ -4， -2）42【變式訓練】 如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c （ a0，c0）交 x 軸于點 A ，B ，交 y 軸于點C，設過點 A ， B ，C 的圓與 y 軸的另一個交點為 D已知點 A， B，C 的坐標分別為（ -2，-5精選文庫0），（ 8， 0），（ 0， -4）（ 1）求此拋物線的表達式與點D 的坐標；（ 2）若點 M 為拋物線上的一動點，且位于第四象限，求BDM 面積的最大值。4

13、a2bc0解：（ 1）拋物線 y=ax 2+bx+c 過點 A（ -2，0），B（ 8，0），C（ 0，-4），64a8bc0 ，c4a 14解得b3 ，2c4拋物線的解析式為：y= 1 x2- 3 x-4； OA=2 ， OB=8 ， OC=4， AB=10 如答圖 1，連接42AC 、 BC ，由勾股定理得： AC=20 ，BC= 80 AC 2+BC 2=AB 2=100， ACB=90 °， AB 為圓的直徑由垂徑定理可知，點C、 D 關于直徑 AB 對稱， D（ 0， 4）；（ 2）解法一：設直線 BD 的解析式為y=kx+b ， B（ 8， 0）， D（ 0，4），8kb

14、04，bk1解得2 ， 直線 BD 解析式為： y=- 1x+4設 M （ x，1x2-3x-4），如答圖2-1，b4242過點 M 作 ME y 軸，交 BD 于點 E，則 E（ x，-1x+4） ME= （ -1x+4 ）-（1x2-3x-4）11212142=-x2 +x+8 SBDM =SMED +SMEB =ME（xE -xD）+ME（ xB -xE）=ME（ xB-xD）=4ME ，42221 SBDM =4 （ -4為 36；x2+x+8 ）=-x 2+4x+32=- （x-2） 2+36 當 x=2 時， BDM 的面積有最大值解法二：如答圖2-2，過 M 作 MN y 軸于點 N 設 M（ m， 12314m -m-4）， S OBD =OB22-6精選文庫?OD=1=16 ，S 梯形 OBMN =1（ MN+OB ）?ON=1（ m+8）-（ 1m2-3m-4 ）=-1m（1m2-3m-4）22242242-4（ 1 m2- 3 m-4），412113113SMND =MN ?DN=m4- （m2-m-4） =2m-m（m2-m-4）， SBDM =SOBD +S 梯2242242形