圓錐曲線中點弦問題

1、關(guān)于圓錐曲線的中點弦問題直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題，是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個熱點問題。這類問題一般有以下三種類型：（1）求中點弦所在直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）求弦中點的坐標(biāo)問題。其解法有代點相減法、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對稱變換法等。一、求中點弦所在直線方程問題例1 過橢圓內(nèi)一點M（2，1）引一條弦，使弦被點M平分，求這條弦所在的直線方程。解法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：又設(shè)直線與橢圓的交點為A()，B（），則是方程的兩個根，于是，又M為AB的中點，所以，解得，故所求直線方程為。解法二：設(shè)直線與橢

2、圓的交點為A()，B（），M（2，1）為AB的中點，所以，又A、B兩點在橢圓上，則，兩式相減得，所以，即，故所求直線方程為。解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為A()，由于中點為M（2，1），則另一個交點為B(4-)，因為A、B兩點在橢圓上，所以有，兩式相減得，由于過A、B的直線只有一條，故所求直線方程為。二、求弦中點的軌跡方程問題例2 過橢圓上一點P（-8，0）作直線交橢圓于Q點，求PQ中點的軌跡方程。解法一：設(shè)弦PQ中點M（），弦端點P（），Q（），則有，兩式相減得，又因為，所以，所以，而，故?；喛傻?（）。解法二：設(shè)弦中點M（），Q（），由，可得，又因為Q在橢圓上，所以，即，所以PQ中

3、點M的軌跡方程為 （）。三、弦中點的坐標(biāo)問題例3 求直線被拋物線截得線段的中點坐標(biāo)。解：解法一：設(shè)直線與拋物線交于， ，其中點，由題意得，消去y得，即，所以，即中點坐標(biāo)為。解法二：設(shè)直線與拋物線交于， ，其中點，由題意得，兩式相減得，所以，所以，即，即中點坐標(biāo)為。上面我們給出了解決直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題的一些基本解法。下面我們看一個結(jié)論引理 設(shè)A、B是二次曲線C：上的兩點，P為弦AB的中點，則。設(shè)A、B則（1） （2）得 即。（說明：當(dāng)時，上面的結(jié)論就是過二次曲線C上的點P的切線斜率公式，即） 推論1 設(shè)圓的弦AB的中點為P（，則。（假設(shè)點P在圓上時，則過點P的切線斜率為） 推論2

4、設(shè)橢圓的弦AB的中點為P（，則。（注：對ab也成立。假設(shè)點P在橢圓上，則過點P的切線斜率為）推論3 設(shè)雙曲線的弦AB的中點為P（則。（假設(shè)點P在雙曲線上，則過P點的切線斜率為）推論4 設(shè)拋物線的弦AB的中點為P（則。（假設(shè)點P在拋物線上，則過點P的切線斜率為我們可以直接應(yīng)用上面這些結(jié)論解決有關(guān)問題，下面舉例說明。例1、求橢圓斜率為3的弦的中點軌跡方程。解：設(shè)P（x，y）是所求軌跡上的任一點，則有，故所示的軌跡方程為16x+75y=0 例2、已知橢圓A、B是橢圓上兩點，線段AB的垂直平分線l與x軸相交于P，求證：。證明：設(shè)AB的中點為T，由題設(shè)可知AB與x軸不垂直， lAB l的方程為： 令y=

5、0 得 例3、已知拋物線C：，直線要使拋物線C上存在關(guān)于對稱的兩點，的取值范圍是什么？解：設(shè)C上兩點A、B兩點關(guān)于對稱，AB的中點為P（ P P在拋物線內(nèi) ， 與拋物線有關(guān)的弦的中點的問題（1）中點弦問題：（上題麻煩了。是圓不用中點法）例1 由點向拋物線引弦，求弦的中點的軌跡方程。分析：解決問題的關(guān)鍵是找到弦的端點A、B在直線上的性質(zhì)和在拋物線上的性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系。解法1：利用點差法。設(shè)端點為A，B，則，兩式相減得， 式兩邊同時除以，得， 設(shè)弦的中點坐標(biāo)為，則， 又點和點在直線AB上，所以有。 將、代入得， 整理得。故得中點的軌跡方程是在拋物線內(nèi)部的部分。解法2：設(shè)弦AB所在直線的方程為，由方程

6、組 消去并整理得， （3）設(shè)A、B、中點，對于方程（3），由根與系數(shù)的關(guān)系，有，代入（1）得故得所求弦中點的軌跡方程是在拋物線內(nèi)部的部分。評注：（1）求點的軌跡方程即是求曲線上的點的橫、縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，本題所給出的兩種方法，都是找動點與已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，列關(guān)于，的關(guān)系式，進(jìn)而求出軌跡的方程。（2）弦中點軌跡問題設(shè)拋物線（）的弦AB，A，B，弦AB的中點C，則有，（1）（2）得，將，代入上式，并整理得，這就是弦的斜率與中點的關(guān)系，要學(xué)會推導(dǎo)，并能運用。例2 已知拋物線，過點作一條直線交拋物線于A，B兩點，試求弦AB的中點軌跡方程。解：如圖，設(shè)弦AB的中點為M，并設(shè)A、B、M點坐標(biāo)分別為，

7、根據(jù)題意設(shè)有， ， ， ， ， 代入得， 代入得，即。評注：本題還有其他解答方法，如設(shè)AB的方程為，將方程代入，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出弦中點的軌跡方程。例6 求直線被拋物線截得線段的中點坐標(biāo)。解：解法一：設(shè)直線與拋物線交于， ，其中點，由題意得，消去y得，即，所以，即中點坐標(biāo)為。解法二：設(shè)直線與拋物線交于， ，其中點，由題意得，兩式相減得，所以，所以，即，即中點坐標(biāo)為。用點差法解圓錐曲線的中點弦問題與圓錐曲線的弦的中點有關(guān)的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題。解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式及參數(shù)法求

8、解。若設(shè)直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標(biāo)為、，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。本文用這種方法作一些解題的探索。一、 以定點為中點的弦所在直線的方程例1、過橢圓內(nèi)一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線的方程。解：設(shè)直線與橢圓的交點為、為的中點 又、兩點在橢圓上，則，兩式相減得于是即，故所求直線的方程為，即。例2、已知雙曲線，經(jīng)過點能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點是線段的中點。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由。策略：這是一道探索性習(xí)題，一般方法是假設(shè)存在這樣的

9、直線，然后驗證它是否滿足題設(shè)的條件。本題屬于中點弦問題，應(yīng)考慮點差法或韋達(dá)定理。解：設(shè)存在被點平分的弦，且、則，兩式相減，得故直線由消去，得這說明直線與雙曲線不相交，故被點平分的弦不存在，即不存在這樣的直線。評述：本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結(jié)果，請務(wù)必小心。由此題可看到中點弦問題中判斷點的位置非常重要。（1）若中點在圓錐曲線內(nèi)，則被點平分的弦一般存在；（2）若中點在圓錐曲線外，則被點平分的弦可能不存在。二、 過定點的弦和平行弦的中點坐標(biāo)和中點軌跡例3、已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點恰為這條弦的中點，求點的坐標(biāo)。解：設(shè)弦端點、，弦的中點，則 ， 又 ，兩式相減得即 ，即

10、點的坐標(biāo)為。例4、已知橢圓,求它的斜率為3的弦中點的軌跡方程。解：設(shè)弦端點、，弦的中點，則， 又 ，兩式相減得即，即 ，即由，得點在橢圓內(nèi)它的斜率為3的弦中點的軌跡方程為三、 求與中點弦有關(guān)的圓錐曲線的方程例5、已知中心在原點，一焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程。解：設(shè)橢圓的方程為，則設(shè)弦端點、，弦的中點，則， ，又，兩式相減得即 聯(lián)立解得，所求橢圓的方程是四、圓錐曲線上兩點關(guān)于某直線對稱問題例6、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上總有不同的兩點關(guān)于該直線對稱。解：設(shè)，為橢圓上關(guān)于直線的對稱兩點，為弦的中點，則，兩式相減得，即，這就是弦中點軌跡方程。它與直線的交點必須在橢圓