5mc[考研數(shù)學]線性代數(shù)歷年考研試題之計算題與證明題

1、三、計算題與證明題1.(1987,)問為何值時,線性方程組有唯一解,無解,有無窮多組解?并求出有無窮多組解時的通解.【考點】非齊次線性方程組解的理論的應用.解 方法一: .(1)當時,方程組有惟一解;(2)當時,方程組無解或無窮多解,此時.當時,方程組有無窮多解;此時,方程組的通解為為任意常數(shù);當時,方程組無解.綜上可得:(1)當時,方程組有惟一解;(2)當時,方程組有無窮多解;(3)當時,方程組無解.方法二:方程組的系數(shù)行列式.(1)當時,方程組有惟一解;(2)以下同方法一.【注意】(1)含有參數(shù)的線性方程組的解的討論都是用方法一或方法二解決.但方法一具有普遍性,即這類問題都可用方法一求解;

2、方法二具有特殊性,其適用范圍是:方程的個數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù);方程組的系數(shù)行列式含參數(shù).(2)求解這類問題的關(guān)鍵點是先討論方程組有惟一解的情形,再討論無解或無窮多解.切記切記.2.(1987;1990)設(shè)為階矩陣,和是的兩個不同的特征值;是分別屬于和的特征向量,試證明不是的特征向量.【考點】特征值的定義,性質(zhì)及向量組線性相(無)關(guān)的定義.解 反證法:假設(shè)是的特征向量,則存在數(shù),使得,則.因為,所以線性無關(guān),則.矛盾.【注】矩陣的不同的特征值所對應的特征向量線性無關(guān).3.(1987,)設(shè)矩陣和滿足關(guān)系式,其中,求矩陣.【考點】解矩陣方程.解 由.4.(1987,)解線性方程組【考點】求解非齊次線性

3、方程組.解 .由,令得方程組的通解為任意常數(shù).5.(1987,)求矩陣的實特征值及對應的特征向量.【考點】求矩陣的特征值及特征向量.解 ,得的實特征值.解得其對應的特征向量,其中為不為零的任意常數(shù).6.(1988,)已知,其中,求及.【考點】解矩陣方程及求矩陣的冪.解 .【注意】若,則;一般地,設(shè),則方陣的多項式.7.(1988,)已知矩陣與相似:(1)求與;（2）求一個滿足的可逆矩陣.【考點】相似矩陣的性質(zhì)及一般矩陣的對角化方法.解 (1)方法一:與相似,則,即,比較系數(shù),得.方法二:的特征值為.由與相似,則的特征值為.故.【注意】方法一具有一般性;方法二具有特殊性(為什么?)如果利用方法二

4、得到的不是惟一解,則方法二失效.但方法二比較簡單,建議:做填空題與選擇題時用方法二,做解答題時用方法一.(2)分別求出的對應于特征值的線性無關(guān)的特征向量為.令可逆矩陣,則.8.(1988) 設(shè)3階方陣的伴隨矩陣為,且,求.【考點】矩陣運算的性質(zhì).解 ,所以.或,則.【注意】求解此類問題,一般是將行列式中的式子先化簡,再求行列式.此處用到矩陣的如下性質(zhì):;9.(1988,) 設(shè)向量組線性無關(guān),且，討論向量組的線性相關(guān)性.【考點】向量組的線性相關(guān)性的判別方法.解 方法一:設(shè),即.因為線性無關(guān),則,其系數(shù)行列式.(1)當為奇數(shù),方程組只有零解,則向量組線性無關(guān);(2)當為偶數(shù),方程組有非零解,則向量

5、組線性相關(guān).方法二:顯然,因為線性無關(guān),則(1)為奇數(shù)時,則向量組線性無關(guān);(2)為偶數(shù)時,則向量組線性相關(guān).【注意】(1)已知可由線性表示的具體表達式,且線性無關(guān)時,用方法二求解一般較簡便.(2)若可逆,則.一般地,即乘積矩陣的秩不小于每一個因子的秩.10.(1988,) 設(shè)線性方程組為,問與各取何值時,方程組無解?有惟一解?有無窮多解?有無窮多解時,求其一般解.【考點】含參數(shù)的線性方程組解的討論.解 方法一:(一般情形).(1)當時,方程組有惟一解;(2)當時,則當時,方程組無解;當時,方程組有無窮多解,且,則通解(一般解)為為任意常數(shù). *綜上:當時,方程組有惟一解;當且時,方程組無解;

6、當且時,方程組有無窮多解,且一般解為*式.方法二:(特殊情形)方程組的系數(shù)行列式.(1)當時,方程組有惟一解;以下同方法一.11. (1988)已知階方陣滿足矩陣方程.證明可逆,并求出其逆矩陣.【考點】抽象矩陣是求逆.解 由可逆,且.12.(1989,)問為何值時,線性方程組有解,并求出解的一般形式.【考點】含參數(shù)的非齊次線性方程組解的討論及非齊次線性方程組的求解.解 .線性方程組有解,其通解為為任意常數(shù).13.(1989,)假設(shè)為階可逆矩陣的一個特征值,證明:(1)為的特征值; (2)為的伴隨矩陣的特征值.【考點】特征值的概念.證 (1)設(shè)對應于特征值的特征向量為,則.(2) .14.(19

7、89,)已知,其中,求矩陣.【考點】解矩陣方程.解 .15. (1989)設(shè).（1）問當為何值時,向量組線性無關(guān)? （2）問當為何值時,向量組線性相關(guān)? （3）當向量組線性相關(guān)時,將表示為和的線性組合. 【考點】含參數(shù)的向量組線性相關(guān)性的討論及求向量由向量組線性表示的具體表示式.解 方法一:(一般情形).(1)當時,線性無關(guān);(2)當時,線性相關(guān);(3)當時,則.方法二:(特殊情形)線性無關(guān);當時,線性相關(guān);令.【注意】方法二只有在向量組所含向量的個數(shù)等于向量的維數(shù)時才適用.16.(1989,)設(shè).（1）試求矩陣的特征值; （2）利用（1）的結(jié)果,求矩陣的特征值,其中是三階單位矩陣. 【考點】

8、特征值的計算及特征值的性質(zhì).解 (1) ,則的特征值為.(2)設(shè)為可逆矩陣的特征值,為對應的特征向量,則,即為的特征值為.17. (1989)討論向量組的線性相關(guān)性.【考點】含參數(shù)的向量組線性相關(guān)性的討論.解 參考15. (1989).答案:當時線性無關(guān);當時線性相關(guān).18.(1990,)設(shè)四階矩陣且矩陣滿足關(guān)系式,其中為四階單位矩陣,表示的逆矩陣,表示的轉(zhuǎn)置矩陣,將上述關(guān)系式化簡并求矩陣.【考點】解矩陣方程及矩陣的運算.解 .【注意】在解矩陣方程時,如果矩陣方程中含有已知矩陣的逆矩陣或伴隨矩陣,利用或化掉或.19.(1990,)求一個正交變換化二次型成標準形.【考點】利用正交變換化二次型為標

9、準形的方法.解 (1)寫出二次型的矩陣:.(2)求的特征值:的特征值為.(3)求的兩兩正交且單位化的特征向量:對應于特征值的線性無關(guān)的特征向量為,正交化得,單位化得.對應于特征值的線性無關(guān)的特征向量為,單位化得.(4)構(gòu)造正交變換:令正交矩陣,則所求正交變換為.(5)寫出二次型的標準形:二次型的標準形為.【注意】利用正交變換化二次型為標準形的步驟:(1)寫出二次型的矩陣;(2)求的特征值;(3)求的兩兩正交且單位化的特征向量;(4)構(gòu)造正交變換;(5)寫出二次型的標準形.20.(1990,) 已知線性方程組（1）為何值時,方程組有解?（2）方程組有解時,求出方程組的導出組的一個基礎(chǔ)解系;（3）

10、方程組有解時,求出方程組的全部解.【考點】含參數(shù)的線性方程組解的討論.解 參考10.(1988,),此題只能用方法一(一般情形)(為什么?請讀者自己考慮).(1)方程組有解;(2)當時,方程組的解.方程組的導出組的解,令,得方程組的導出組的一個基礎(chǔ)解系.令,得方程組的一個特解.則方程組的通解,其中為任意常數(shù).21.(1990) 已知對于階方陣,存在自然數(shù),使得.試證明矩陣可逆,并寫出其逆矩陣的表達式(為階單位陣).【考點】抽象矩陣求逆.證 ,所以可逆,且.22.(1990)設(shè)為矩陣計算行列式,其中為10階單位矩陣,為常數(shù).【考點】行列式的計算.解 .23.(1990)設(shè)方陣滿足條件,其中是的轉(zhuǎn)

11、置矩陣, 的實特征向量所對應的特征值的絕對值等于1.【考點】特征值與特征向量的概念.證 設(shè)的實特征向量所對應的特征值為,則.又.【注】注意本題的是正交矩陣,由此有如下結(jié)論:實對稱正交矩陣的特征值必為.24.(1991,)已知,及.（1）為何值時,不能表示成的線性組合?（2）為何值時,有的唯一的線性表示式?并寫出該表示式.【考點】含有參數(shù)的向量可由向量組線性表示的討論.解 可由線性表示線性方程組有解.(1)當時,線性方程組無解,不能由線性表示;(2)當時,線性方程組有惟一解,可由,則,所以.25.(1991,)設(shè)是階正定矩陣,是階單位矩陣,證明的行列式大于1.【考點】正定矩陣的性質(zhì),特征值的性質(zhì)

12、,實對稱矩陣的對角化理論.證 方法一:為階正定矩陣,則的特征值.而的特征值分別為,則.方法二:為階正定矩陣,則存在正交矩陣,使得,即.其中為的特征值,且.則.26.(1991,)設(shè)有三維列向量,問取何值時:（1）可由線性表示,且表達式惟一;（2）可由線性表示,且表達式不惟一;（3）不能由線性表示.【考點】含參數(shù)的向量可由向量組線性表示的討論,等價于含有參數(shù)的線性方程組解的討論.解 方法一:(一般情形).(1)當時,可由惟一地線性表示;(2)當時,可由線性表示,且表達式不惟一;(3)當時,不能由線性表示.方法二: .(1)當時,可由惟一地線性表示;(2)當時,可由線性表示,且表達式不惟一;(3)

13、當時,不能由線性表示.【注意】(1)向量可由線性表示有解有解有解,其中.(2)本題實質(zhì)上等價為問取何值時,線性方程組有惟一解,無解,有無窮多解.27.(1991)考慮二次型問取何值時,為正定二次型?【考點】判別二次型正定的霍爾維茨定理.解 二次型的矩陣.則為正定二次型.28.(1991)試證明維列向量線性無關(guān)的充分必要條件是,其中表示列向量的轉(zhuǎn)置,.【考點】線性無關(guān)的判別定理,分塊矩陣的運算,矩陣的性質(zhì).證 維列向量線性無關(guān).又,則,即.29.(1991)設(shè)階矩陣和滿足條件.(1)證明為可逆矩陣; (2)已知,求矩陣.【考點】證明抽象矩陣可逆及解矩陣方程.證 (1)由,則可逆.(2)由(1)得

14、,.30.(1991)已知向量是矩陣的逆矩陣的特征向量,試求常數(shù)的值.【考點】特征值與特征向量的概念.解 設(shè)為對應于的的特征值,則.解方程組得或.【注意】(1)已知含參數(shù)的矩陣的特征值,求參數(shù)時,方法是運用特征值的性質(zhì)或特征多項式求解;(2)已知含參數(shù)的矩陣的特征向量,求參數(shù)時,方法是運用特征值與特征向量的定義,得線性方程組再解之.31.(1992,)設(shè)向量組線性相關(guān),向量組線性無關(guān),問:（1）能否由線性表出?證明你的結(jié)論.（2）能否由線性表出?證明你的結(jié)論.【考點】向量組線性相關(guān)的性質(zhì).解 (1)能由線性表出.事實上,線性無關(guān),則線性無關(guān),又線性相關(guān),所以能由線性表出.(2)不能由線性表出.

15、方法一: .方法二:假設(shè)能由線性表出.由(1)知能由線性表出,則能由線性表出,與線性無關(guān)矛盾.32.(1992,)設(shè)三階矩陣的特征值為,對應的特征向量依次為,又向量.（1）將用線性表出; （2）求(為自然數(shù)).【考點】向量的線性表示,特征值與特征向量的概念.解 (1)解方程組得.(2).33.(1992)設(shè)為3階矩陣,為三階單位矩陣,滿足,又知,求矩陣.34.(1992)設(shè)矩陣與相似,其中.(1)求和的值; (2)求可逆矩陣,使.【考點】已知矩陣的特征值求矩陣含參數(shù);相似矩陣的性質(zhì);矩陣的相似對角化.解 (1)方法一:與相似,則,即,解得.方法二:顯然的特征值為;有特征值.與相似,則與有相同的

16、特征值,故.又(2)的對應于特征值的特征向量分別為,令可逆矩陣,則.【注意】(1) 對(1)求解時,若由,得有無窮多解,此時這種方法失效.(2) 在(1)的解法中,方法二非常簡便,它綜合運用了特征值的性質(zhì),避免了煩瑣的計算.讀者不覺得好好玩味一下嗎?35.(1992)已知三階矩陣,且的每一個列向量都是以下方程組的解:(1)求的值; (2)證明.【考點】線性方程組解的理論的應用.解 (1)由題意知,齊次線性方程組有非零解,則方程組的系數(shù)行列式.(2)由題意,得.若,矛盾,所以.或 由;又,則.【注意】(1) 若,則有下面兩個常用的結(jié)論:.若,則齊次線性方程組有非零解.(2),即非奇異矩陣就是降秩

17、矩陣.36.(1992)設(shè)分別為階正定矩陣,試判定分塊矩陣是否是正定矩陣.【考點】正定矩陣的判別定理.解 方法一:用定義證明. ,不妨設(shè),則,故,即是正定矩陣.方法二:用特征值證明.,即的特征值由的特征值全大于零,則的特征值全大于零,即是正定矩陣.【注意】討論抽象矩陣的正定性,一般用上面兩種方法.37.(1992)設(shè)矩陣,矩陣滿足,其中.【考點】解矩陣方程.解 由.又,則.【注意】此題也可由求解,但計算煩瑣.在矩陣的運算時,應盡量應用矩陣的性質(zhì)先化簡.38.(1992)設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為,三階矩陣,且.試求的值.參考35.(1992)的(1).39.(1992)已知實矩陣滿足條件:(1)

18、(),其中是的代數(shù)余子式;(2).計算行列式.【考點】伴隨矩陣及其性質(zhì);行列式按行(列)展開定理.解 由或.又.40.(1993,)已知二次型,通過正交變換化為標準形,求參數(shù)及所用的正交變換矩陣.【考點】二次型理論;用正交變換化二次型為標準形的方法.解 二次型的矩陣,則的特征值為.由.或 由.對應于特征值的特征向量,單位化,得;對應于特征值的特征向量,單位化,得;對應于特征值的特征向量,單位化,得.則所求的正交變換矩陣.41.(1993,)設(shè)是矩陣,是矩陣,其中,是,證明的列向量組線性無關(guān).【考點】抽象向量組線性相關(guān)性的判別.證 方法一,則的列向量組線性無關(guān).方法二:用矩陣的秩證明.,則的列向

19、量組線性無關(guān).42.(1993)已知的兩個基為與,求由基到基的過渡矩陣.【考點】過渡矩陣的概念;矩陣的運算.解 .【注意】由基到基的過渡矩陣定義為,即是向量組由線性表示的系數(shù)矩陣.43.(1993)為何值時,線性方程組有唯一解,無解,有無窮多組解?在有解情況下,求出其全部解.【考點】含參數(shù)的線性方程組解的討論.解 方法一:(一般情形).(1)方程組有惟一解且,此時則解為.(2)當時,方程組無解.(3)當時,方程組有無窮多解,此時解為,則通解為,其中為任意常數(shù).方法二:(特殊情形)方程組的系數(shù)行列式.(1)當且時,方程組有惟一解,由Crammer法則得解為.(2)當時,方程組無解.(3)當時,方

20、程組有無窮多解,且,解為,則通解為,其中為任意常數(shù).44.(1993)設(shè)二次型經(jīng)正交變換化成,其中和都是三維列向量,.【考點】二次型理論.解 二次型的矩陣,其特征值為,則.(這里為什么不能用特殊方法,請讀者自己思考).45.(1993)已知三階矩陣的逆矩陣為,試求其伴隨矩陣的逆矩陣.【考點】矩陣運算.解 .46.(1993)設(shè)是矩陣,是矩陣,是階單位矩陣(),已知.試判斷的列向量組是否線性相關(guān)?為什么?參考(1993,).47.(1994,)設(shè)四元齊次線性方程組（）為又已知某齊次線性方程組（）的通解為;（1）求線性方程組（）的基礎(chǔ)解系;（2）問線性方程組（）和（）是否有非零公共解?若有,則求出

21、所有的非零公共解.若沒有,則說明理由.【考點】齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系;兩個線性方程組的公共解.解 (1)線性方程組（）的解為.取,得所求基礎(chǔ)解系.(2)將方程組（）的通解代入方程組（）,得.當時, 方程組（）和（）有非零公共解,且為其中為不為零的任意常數(shù).【注意】求兩個線性方程組和的公共解的方法.(1)若已知兩個方程組和,則求它們的公共解就是求的解;(2)若已知一個方程組和另一個方程組的通解(方程組未知),則求它們的公共解的方法是:將的通解代入到已知方程組中,解出的通解中任意常數(shù)的條件(如果任意常數(shù)無解,則無公共解),再代入的通解中,從而得到方程組和的公共解;(3)若已知兩個方程組和的通解(

22、兩個方程組未知),則求它們的公共解的方法是:令兩個方程組的通解相等,只要解出一個方程組(不妨設(shè)為)的通解中的任意常數(shù)的條件(如果任意常數(shù)無解,則無公共解),再代入的通解中,從而得到方程組和的公共解.(4)對于兩個齊次線性方程組,由于它們總有公共的零解,因此關(guān)于它們公共解的討論為它們是否有公共的非零解.本題是第二種情形.為了讓讀者了解兩個方程組公共解的求法,下面舉兩例說明第一和第三種情形.(它們是本題的變形)例1 求線性方程組和的公共的非零解.解的非零解,可求得為,其中為不為零的任意常數(shù).例2 已知齊次線性方程組（）的通解為,又已知某齊次線性方程組（）的通解為.求線性方程組（）和（）的非零公共解

23、.解 令,解得.當時, 方程組（）和（）的非零公共解為其中為不為零的任意常數(shù).請讀者比較本題與例1和例2的解題思路,條件不同,解題方法也不同,雖然目的是一樣的.48.(1994,)設(shè)為階非零矩陣,是的伴隨矩陣,是時,證明.【考點】矩陣的乘法;伴隨矩陣的性質(zhì).證 由.假設(shè).考慮的主對角線上的元素,令,則,即的第行的元素全為零,由的任意性,得的元素全為零,即,矛盾.49.(1994)設(shè)是階方陣,是的個特征值,是的值.【考點】特征值的性質(zhì)或矩陣的對角化.解 方法一:由特征值的定義,馬上得到:若為的特征值,則為的特征值(為什么?).所以的特征值為,故.方法二:有個不同的特征值,則能對角化,即存在可逆矩

24、陣,使得.50.(1994) 設(shè)線性方程組（1）證明:若兩兩不相等,則此線性方程組無解;（2）設(shè),且已知是該方程組的兩個解,其中,寫出此方程組的通解.【考點】非齊次線性方程組有解的判別定理;非齊次線性方程組解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu);范德蒙行列式.證 (1)(更進一步,為什么?),而因為,所以線性方程組無解.(2)經(jīng)計算得,方程組有無窮多解,且對應的齊次方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量個數(shù)為個,取為,則此方程組的通解為,其中為任意常數(shù).【注意】(1)求矩陣的秩時不要動不動就是初等行變換,如果變換很繁,想想能否從定義和秩的性質(zhì)推導.請讀者仔細體會本題的(1);(2)已知方程組的特解求其通解時,第一感應該是利用解的

25、性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)去解決;有時對選擇題或填空題還可觀察出方程組的解.不管方程組是否具體知道.不要動不動就去解方程組(特別是方程組含參數(shù)時).切記切記.51.(1994,)設(shè)有三個線性無關(guān)的特征向量,求和應滿足的條件.【考點】特征值與特征向量.解 .對于二重特征值應有兩個線性無關(guān)的特征向量,則.【注意】(1)此類問題的理論根據(jù)是:重特征值有重數(shù)個線性無關(guān)的特征向量,即設(shè)為階矩陣的重特征值,則有屬于的個線性無關(guān)的特征向量.關(guān)鍵是考慮重特征值情形,最后轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的矩陣的秩的討論.(2)矩陣能對角化(與對角矩陣相似)的重特征值有重數(shù)個線性無關(guān)的特征向量.(3)本題的等價問題是:設(shè)能對角化(與對角矩陣相似

26、) ,求和應滿足的條件.52.(1994)設(shè)是齊次線性方程組也是該方程組的一個基礎(chǔ)解系.【考點】基礎(chǔ)解系的概念.證 顯然的基礎(chǔ)解系含三個線性無關(guān)的解向量.由齊次線性方程組解的性質(zhì),知為線性無關(guān).而,即線性無關(guān).【注意】要證明為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,必須說明:(1)是的解;(2)齊次線性方程組的未知數(shù)的個數(shù);(3)線性無關(guān).53.(1995,)設(shè)三階實對稱矩陣的特征值為,對應于的特征向量為,求.【考點】實對稱矩陣對角化理論.解 設(shè)對應于特征值的特征向量為,則與正交,即,其基礎(chǔ)解系為.令可逆矩陣,則,故.【注意】此類問題為已知矩陣的特征值和特征向量,求矩陣.問題的關(guān)鍵是利用矩陣與對角矩陣相似.

27、包括兩種情形:(1)已知矩陣的全部特征值和全部線性無關(guān)的特征向量,求矩陣.這時不一定是對稱矩陣,只能由求;(見本題解法)(2)已知矩陣的全部特征值和部分線性無關(guān)的特征向量,求矩陣.這時一定是對稱矩陣.在求出的全部線性無關(guān)的特征向量后(利用實對稱矩陣不同的特征值對應的特征向量正交),可以兩種方法處理:同(1).由求.(此時需求逆矩陣)求出的全部兩兩正交且單位化的特征向量,構(gòu)造正交矩陣.由得.(此時不需要求逆矩陣,但多了向量組的正交單位化過程)建議讀者用方法,以便統(tǒng)一處理這類問題.54.(1995,)設(shè)是階矩陣,滿足(是階單位矩陣,是的轉(zhuǎn)置矩陣),求.【考點】矩陣的運算性質(zhì).解 .55.(1995

28、)已知向量組;,如果各向量組的秩分別為.證明:向量組的秩為4.【考點】向量組線性相關(guān)的性質(zhì);向量組秩的計算.解 方法一:要證向量組的秩為4,等價于證明線性無關(guān).由,得線性無關(guān),而線性相關(guān),則可由線性表示,即存在,使得.令,則.又,則線性無關(guān),故,則線性無關(guān),所以向量組的秩為4.方法二:由,得線性無關(guān),而線性相關(guān),則可由線性表示,即存在,使得.則所以.56.(1995)已知二次型.（1）寫出二次型的矩陣表達式;（2）用正交變換把二次型化為標準型,并寫出相應的正交矩陣.【考點】二次型的矩陣;用正交變換把二次型化為標準型的方法.解 (1) 二次型的矩陣,則二次型的矩陣表達式.(2)的特征多項式,則的

29、特征值.對應的正交單位化特征向量;對應的正交單位化特征向量;對應的正交單位化特征向量.令正交矩陣,所求正交變換,二次型的標準型.57.(1995)對于線性方程組討論取何值時,方程組無解,有唯一解和無窮多組解.在方程組有無窮多組解時,試用其導出組的基礎(chǔ)解系表示全部解.【考點】含參數(shù)的線性方程組解的討論.解 方法一(一般情形):(1)方程組有惟一解且;(2)當時,方程組有無窮多解,且則方程組的通解其中為任意常數(shù);(3)當時,方程組無解.方法二(特殊情形):方程組的系數(shù)行列式.(1)當,即且時方程組有惟一解;(2)當時,方程組有無窮多解,且則方程組的通解其中為任意常數(shù);(3)當時,方程組無解.58.

30、(1995)設(shè)三階矩陣滿足 ,其中列向量.試求矩陣.【考點】已知矩陣的全部特征值與全部線性無關(guān)的特征向量,求.解 由的特征值.令,則.59.(1996,)已知二次型的秩為2.（1）求參數(shù)及此二次型對應矩陣的特征值.（2）指出方程表示何種曲面.【考點】矩陣的秩;矩陣的特征值;正交變換的性質(zhì).解 (1) 二次型的矩陣.由.又的特征多項式,則的特征值.(2)二次型在某一正交變換下的標準形,則表示橢圓柱面.【注意】(1)二次型的秩即為二次型矩陣的秩;(2)正交變換不改變向量的長度,從而也不改變圖形的形狀.60.(1996)求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.【考點】求解齊次線性方程組.解 ,則方程組的解,令,

31、得方程組的基礎(chǔ)解系.61.(1996)設(shè)矩陣,（1）已知的一個特征值為3,試求;（2）求矩陣,使為對角矩陣.【考點】分塊對角矩陣的性質(zhì);特征值的計算;實對稱矩陣的對角化.解 (1)由.(2)由為對稱矩陣,要使為對角矩陣,即將實對稱矩陣對角化.由(1)得的特征值,故的特征值.又的屬于特征值的正交單位化的特征向量;的屬于特征值的正交單位化的特征向量.令,則.62.(1996)設(shè)向量是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系,向量不是方程組的解,即.試證明:向量組線性無關(guān).【考點】向量組的線性相關(guān)性的判別; 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的性質(zhì).解 方法一:設(shè),即等式兩邊左乘,得,則.由線性無關(guān),得,所以線性無關(guān).方

32、法二:由,得若線性相關(guān),顯然線性無關(guān),則可由線性表示,即是線性無關(guān),則,故即向量組線性無關(guān).63.(1996)已知線性方程組討論參數(shù)取何值時,方程組有解,無解;當有解時,試用其導出組的基礎(chǔ)解系表示通解.【考點】含參數(shù)的非齊次線性方程組解的討論.解 (1)當時,方程組無解;(2)當時,方程組有解;當時,方程組有無窮多解,且方程組的通解,其中為任意常數(shù);當時,方程組有無窮多解,且方程組的通解,其中為任意常數(shù).【注意】此題為什么不用特殊情形下的方法二呢?請讀者思考.64.(1996)設(shè)有4階方陣滿足條件,其中的伴隨矩陣的一個特征值.【考點】特征值的計算及性質(zhì).解 由為,則的一個特征值為.【注意】為的

33、特征值.65.(1997)設(shè)是秩為2的矩陣,是齊次線性方程組的解向量,求的解空間的一個標準正交基.【考點】齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系;非齊次線性方程組解的性質(zhì);Schmidt正交化過程.解 先求的基礎(chǔ)解系含線性無關(guān),則為的一個基礎(chǔ)解系.將正交單位化得的解空間的一個標準正交基:.66.(1997)已知是矩陣的一個特征向量.（1）試確定參數(shù)及特征向量所對應的特征值;（2）問能否相似于對角矩陣?說明理由.【考點】特征值與特征向量的概念;矩陣能對角化的判別.解 (1)由.(2) ,且只有一個線性無關(guān)的特征向量,所以不能相似于對角矩陣.67.(1997)設(shè)是階可逆陣,將的第行和第行對換后得到的矩陣記為.（

34、1）證明可逆; （2）求.【考點】初等矩陣及其性質(zhì).解 .(1) 可逆.(2) .68.(1997)已知,且,其中是三階單位矩陣,求矩陣.【考點】求解矩陣方程.解 由.69.(1997)為何值時,方程組無解,有唯一解或有無窮多解?并在有無窮多解時寫出方程組的通解.【考點】含參數(shù)的非齊次線性方程組解的討論.解 方法一(一般情形):方程組改寫為. (1)當且時,方程組有惟一解;(2)當時,方程組有無窮多解,且,解為,通解為,為任意常數(shù);(3)當時,方程組無解.方法二(特殊情形): .(1)當且時,方程組有惟一解;(2)當時,方程組有無窮多解,且通解為,為任意常數(shù);(3)當時,方程組無解.【注意】為

35、了計算簡便,在方法一中將方程組先交換未知量的次序.70.(1997,)設(shè)為階非奇異矩陣,為維列向量,其中是矩陣的伴隨矩陣,為階單位矩陣.（1）計算并化簡;（2）證明:矩陣可逆的充分必要條件是.【考點】分塊矩陣的運算;矩陣可逆的充分必要條件.解 (1) .(2) 由(1)得.71.(1997)設(shè)三階實對稱矩陣的特征值是;矩陣的屬于特征值的特征向量分別是.（1）求的屬于特征值3的特征向量;（2）求矩陣.【考點】已知的全部特征值和部分線性無關(guān)的特征向量,求.解 (1)設(shè)的屬于特征值3的特征向量為,則,其中的常數(shù).(2)令,則.72.(1997)設(shè)矩陣與相似,且.(1)求的值; (2)求可逆陣,使.【

36、考點】相似矩陣的性質(zhì);矩陣的對角化.解 (1)的特征值為.由.(2) 的對應于特征值的線性無關(guān)的特征向量;的對應于特征值的線性無關(guān)的特征向量.令,則.73.(1998)已知二次曲面方程可以經(jīng)過正交變換化為橢圓柱面方程,求的值和正交矩陣.【考點】特征值的性質(zhì);二次型化成標準形的方法與理論.解 二次型的矩陣,其特征值.由.屬于的正交單位化特征向量;屬于的正交單位化特征向量;屬于的正交單位化特征向量.則所求正交矩陣.74.(1998)設(shè)是階矩陣,若存在正整數(shù),使線性方程組有解向量,且.證明:向量組是線性無關(guān)的.【考點】抽象向量組線性相關(guān)性的判別.解 設(shè),由,得.同理可得.75.(1998)已知線性方

37、程組（）的一個基礎(chǔ)解系為.試寫出線性方程組（）的通解,并說明理由.【考點】齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).解 記方程組（）為,則;記方程組（）為,則,故方程組（）的基礎(chǔ)解系含,則的列向量組,即的行向量組為方程組（）的解向量;由,知的行向量組線性無關(guān),故的行向量組為方程組（）的基礎(chǔ)解系,所以方程組（）的通解為為任意常數(shù).76.(1998)設(shè),其中是4階單位矩陣,是4階矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣,求.【考點】矩陣的運算;解矩陣方程.解 由.77.(1998)已知,問（1）取何值時,不能由線性表示?（2）取何值時,可由線性表示?并寫出此表示式.【考點】含參數(shù)的向量可由向量組線性表示的討論.解 (1)當時,不能由線性表示

38、;(2)當時, ,則,可由線性表示;若,得為任意常數(shù);若,得.【注意】(1) 向量可由線性表示有解.(2)其表達式中的系數(shù)就是線性方程組的解.(3)此題為什么不能用特殊情形下的方法二求解,請讀者思考.78.(1998,)設(shè)向量都是非零向量,且滿足條件.記階矩陣.求:（1）;（2）矩陣的特征值和特征向量.【考點】矩陣的運算;特征值的性質(zhì);特征向量的計算.解 (1) .(2)設(shè)為的特征值,則為的特征值.由(1)知,則的特征值全為零,即,故,即的非零解即為,有則的特征向量:為不全為零的常數(shù).79.(1998)設(shè)矩陣,矩陣,其中為實數(shù),使與相似,并求為何值時,為正定矩陣.【考點】特征值的計算及性質(zhì);實

39、對稱矩陣的對角化理論.解 為對稱矩陣,則的特征值為,則的特征值為則存在正交矩陣,使得.為正定矩陣的特征值全大于零且.80.(1998)已知下列非齊次線性方程組(),()() ()(1)求解方程組(),用其導出組的基礎(chǔ)解系表示通解.(2)當方程組()中的參數(shù)為何值時,方程組()與()同解.【考點】非齊次線性方程組解的理論.解 (1)則方程組()的通解為任意常數(shù).(2)將方程組()的通解代入方程組(),解得.此時方程組()的增廣矩陣則方程組()的通解為任意常數(shù).與方程組()的通解相同.【注意】方程組()的通解代入方程組(),解得,只表示方程組()的解是方程組()的解.81.(1999,)設(shè)矩陣,其

40、行列式,又的伴隨矩陣有一個特征值,屬于的一個特征向量為,求和的值.【考點】伴隨矩陣的性質(zhì);特征值與特征向量的概念;行列式的計算.解 由和,得.又,則,即,與一起解得.82.(1999)設(shè)為階實對稱矩陣且正定,為實矩陣,為的轉(zhuǎn)置矩陣,試證:為正定矩陣的充分必要條件是的秩.【考點】正定矩陣的定義;齊次線性方程組解的理論.解 顯然為對稱矩陣.為正定矩陣 .【注意】正定矩陣的定義也是證明對稱矩陣為正定矩陣的常用方法.83.(1999)設(shè)矩陣，矩陣滿足,其中是的伴隨矩陣,求矩陣.【考點】解矩陣方程.解 由,得.84.(1999)設(shè)向量組:（1）為何值時,該向量組線性無關(guān)?并在此時將向量用線性表示;（2）

41、為何值時,該向量組線性相關(guān)?并在此時求出它的秩和一個極大線性無關(guān)組.【考點】向量組線性相關(guān)性的判別;向量組的秩及其極大線性無關(guān)組.解 (1) 線性無關(guān),且則.(2)當時,線性相關(guān),且,則,且為向量組的一個極大線性無關(guān)組.85.(1999)設(shè)矩陣,且.又設(shè)的伴隨矩陣有特征值,屬于的特征向量為,求及的值.見81.(1999,).86.(1999)設(shè)為實矩陣,為,試證:當時,矩陣為正定矩陣.【考點】正定矩陣的判斷.證有.87.(1999)設(shè)矩陣.問當為何值時,存在可逆矩陣,使得為對角矩陣?并求出和相應的對角矩陣.【考點】矩陣對角化的條件;矩陣對角化的過程.解 ,則的特征值為.矩陣與對角矩陣相似屬于特

42、征值的線性無關(guān)的特征向量為兩個,此時屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量;屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量.令可逆矩陣,則.【注意】與對角矩陣相似屬于重特征值恰有個線性無關(guān)的特征向量.88.(1999)已知線性方程組(1)滿足何種關(guān)系時,方程組僅有零解?(2)滿足何種關(guān)系時,方程組有無窮多解,并用基礎(chǔ)解系表示全部解.【考點】齊次線性方程組解的理論及求解.解 .(1)當,即兩兩不相等時,方程組僅有零解.(2)當當時,方程組的通解為任意常數(shù);當時,方程組的通解為任意常數(shù);當時,方程組的通解為任意常數(shù);當時,方程組的通解為任意常數(shù).89.(2000)設(shè)矩陣的伴隨矩陣,且,其中為4階單位矩陣,求矩陣.【考點】

43、解矩陣方程.解 由.又,則90.(2000)某試驗性生產(chǎn)線每年一月份進行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計,然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門,其缺額由招收新的非熟練工補齊.新、老非熟練工經(jīng)過培訓及實踐至年終考核有年一月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分比分別為和,記成向量.（1）求與的關(guān)系式并寫成矩陣形式:;（2）驗證是的兩個線性無關(guān)的特征向量,并求出相應的特征值;（3）當時,求.【考點】線性變換的矩陣表達式;特征值與特征向量的概念;矩陣的對角化及其應用.解 (1) ,則.(2) 為的特征向量,且為對應的特征值;為的特征向量,且線性無關(guān).(3)由.有兩個線性無關(guān)的特征向量,則,則,故所以.91.(2000)

44、設(shè),其中是的轉(zhuǎn)置,求解方程.【考點】矩陣的運算;非齊次線性方程組的求解.解 .代入原方程,得.因為,又,則方程的解為為任意常數(shù).【注意】對矩陣方程,若可逆,則;若不可逆,則只能解線性方程組求.92.(2000)已知與具有相同的秩,且可由線性表示,求的值.【考點】向量可由向量組線性表示的判別定理;含參數(shù)的向量組的秩的討論.解 .由可由線性表示,則.由,.【注意】向量可由向量組線性表示的充分必要條件是.93.(2000,)設(shè)向量組.試問:當滿足什么條件時,（1）可由線性表出,且表示惟一?（2）不能由線性表出?（3）可由線性表出,但表示不惟一?并求出一般表示式.【考點】含參數(shù)的向量可由向量組線性表示

45、的討論.解 方法一:一般情形. (1) 可由線性表出,且表示惟一(2)當時, 不能由線性表出,則;可由線性表出,但表示不惟一,則,此時.設(shè)令,則,其中為任意常數(shù).方法二:特殊情形. .(1) 可由線性表出,且表示惟一;(2) 當時, .以下同方法一.【注意】含參數(shù)的向量可由向量組線性表示的討論等價于含參數(shù)的線性方程組解的討論.94.(2000)設(shè)有元實二次型其中為實數(shù).試問:當滿足何種條件時,二次型為正定二次型.【考點】正定二次型的判別.解 方法一:令,則故為正定二次型.方法二:顯然.對只有零解,則.95.(2000)設(shè)矩陣,已知有三個線性無關(guān)的特征向量,是,使得為對角矩陣.【考點】矩陣對角化

46、的條件;特征值的性質(zhì);矩陣對角化的過程.解 有三個線性無關(guān)的特征向量,則是的二重特征值,則屬于有兩個線性無關(guān)的特征向量,故.此時.由為的另一特征值.屬于的線性無關(guān)的特征向量;屬于的線性無關(guān)的特征向量.令.96.(2001)設(shè)為線性方程組的一個基礎(chǔ)解系,其中滿足什么關(guān)系時,也為的一個基礎(chǔ)解系.【考點】基礎(chǔ)解系的概念;向量組線性無關(guān)的判別.證 顯然為則線性無關(guān),為正整數(shù),此時為的一個基礎(chǔ)解系.【注意】已知為線性方程組的解,且的基礎(chǔ)解系含個解向量,則為線性方程組的一個基礎(chǔ)解系線性無關(guān).97.(2001)已知3階矩陣與三維向量,使得向量組線性無關(guān),且滿足（1）記,求3階矩陣,使;（2）計算行列式.【考

47、點】分塊矩陣的運算;向量組可由向量組線性表示的矩陣表示式.解 (1),則.(2) .【注意】,即為向量組由向量組線性表示的系數(shù)矩陣.98.(2001)已知矩陣,且矩陣滿足,其中是3階單位矩陣,求.【考點】解矩陣方程.解 由.99.(2001)已知是線性方程組的一個基礎(chǔ)解系,若討論實數(shù)滿足什么關(guān)系時,也是一個基礎(chǔ)解系.參考96.(2001).答案.100.(2001,)設(shè)矩陣,.已知線性方程組有解但不惟一,試求:（1）的值;（2）正交矩陣,使為對角矩陣.【考點】線性方程組解的理論;實對稱矩陣的對角化過程.解 (1) 一般情形:有解但不惟一.(2) ,則的特征值為.屬于特征值的正交單位化的特征向量

48、;屬于特征值的正交單位化的特征向量;屬于特征值的正交單位化的特征向量.令.【注意】對(1)也可用特殊情形去求解,請讀者自己動手解決.101.(2001)設(shè)為階實對稱矩陣,秩()=,是中元素的代數(shù)余子式(）,二次型（1）記,把寫成矩陣形式,并證明二次型的矩陣為;（2）二次型與的規(guī)范形是否相同?說明理由.【考點】二次型的矩陣表達式;二次型的規(guī)范形的概念;矩陣的合同.解 (1)由二次型的定義,得二次型的矩陣則.(2)由可逆,則,即與合同,從而與有相同的標準形,則有相同的規(guī)范形.【注意】二次型在可逆線性變換下,新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的.102.(2001)設(shè)是維實向量,且是線性方程組 (

49、*)的線性相關(guān)性.【考點】抽象向量組線性相關(guān)性的判別.證 設(shè).是線性方程組(*)的解,即.由,則由線性無關(guān),得.所以線性無關(guān).103.(2002，)已知4階方陣均為4維列向量,其中線性無關(guān),.如果,求線性方程組的通解.【考點】線性方程組通解的結(jié)構(gòu).解 方法一:由,得線性相關(guān),則線性相關(guān);又線性無關(guān),則.故的基礎(chǔ)解系含1個非零的解向量.的基礎(chǔ)解系;的一個特解.所以線性方程組的通解為任意常數(shù).方法二:設(shè).又,則.由線性無關(guān),得的通解為任意常數(shù).【注意】的基礎(chǔ)解系所含解向量個數(shù)為,其中為未知量的個數(shù).104.(2002)設(shè)為同階方陣,（1）如果相似,試證的特征多項式相等.（2）舉一個二階方陣的例子說明（1）的逆命題不成立.（3）當均為實對稱矩陣時,試證（1）的逆命題成立.【考點】矩陣相似的概念;特征多項式的概念;實對稱矩陣的對角化理論.解 (1) 相似,則存在可逆矩陣,使得,則(2)令,但不相似.事實上,