數(shù)列的極限及運(yùn)算法則

1、'.數(shù)列的極限及其運(yùn)算法則學(xué)習(xí)要求：1 理解數(shù)列極限的概念。正確認(rèn)識(shí)極限思想和方法是從有限中認(rèn)識(shí)無限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種辯證唯物主義的思想2理解和掌握三個(gè)常用極限及其使用條件能運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化和分類討論的思想解決數(shù)列極限問題的能力3掌握數(shù)列極限的運(yùn)算法則，并會(huì)求簡(jiǎn)單的數(shù)列的極限4. 掌握無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和公式.學(xué)習(xí)材料：一、基本知識(shí)1.數(shù)列極限的定義：一般地， 如果當(dāng)項(xiàng)數(shù) n 無限增大時(shí)， 無窮數(shù)列 an 的項(xiàng) an 無限趨近于 某個(gè)常數(shù) a（即 an a 無限趨近于 0 ），那么就說數(shù)列 an 以 a 為極限，或者說a 是數(shù)列 an 的極限記作 lim ana ，

2、讀作“當(dāng) n 趨向n于無窮大時(shí)，an 的極限等于 a ”“ n”表示“ n 趨向于無窮大” ，即 n 無限增大的意思 lim ana 有時(shí)也記作： 當(dāng) n時(shí)，ana n理解：數(shù)列的極限的直觀描述方式的定義，只是對(duì)數(shù)列變化趨勢(shì)的定性說明，而不是定量化的定義 .“隨著項(xiàng)數(shù)n 的無限增大，數(shù)列的項(xiàng)an 無限地趨近于某個(gè)常數(shù)a ”的意義有兩個(gè)方面：一方面，數(shù)列的項(xiàng)an 趨近于 a 是在無限過程中進(jìn)行的，即隨著n 的增大 an 越來越接近于a ；另一方面，an 不是一般地趨近于 a ，而是“無限”地趨近于a ，即 ana 隨 n 的增大而無限地趨近于0.2.幾個(gè)重要極限：（ 1） lim10（ 2） l

3、im CC（C 是常數(shù)）nnn（ 3） lim an0 (a 為常數(shù) a1 ) ，當(dāng) a1 時(shí)， lim an1 ；當(dāng) ann3. 數(shù)列極限的運(yùn)算法則 :與函數(shù)極限的運(yùn)算法則類似, 如果 lim anA,lim bn B, 那么nnlim (an bn )A Blim ( anbn )ABnnlim ( an .bn )A.Blim anA ( B0)nnbnB特別： 若 C 為常數(shù)，則 lim( C an )c lim anCAnn推廣：上面法則可以推廣到有限多個(gè)數(shù)列的情況如，若an 1 或 a1 時(shí)， lim an 不存在。n，bn，cn有 極 限 ， 則lim (an bn cn )li

4、m anlim bnlim cnnnnn;.'.二、基本題目1 判斷下列數(shù)列是否有極限，若有，寫出極限；若沒有，說明理由（1） 1， 1， 1， ，1， ；23n（2） 2, 3, 4,5, ， (1)n n 1， ；234n100 (n1010 )（ 3） an1(n1010)n2. 1lim()0，則 a 的取值范圍是。（ ）若1 ann 2a（ 2）數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，且 Sn12an ，求 lim an 的值。3n3已知 liman5, lim bn3，求 lim (3an4bn ).nnn解：因?yàn)?lim an5,lim bn3 ，nn所以lim(3 an4

5、bn )lim3 anlim4 bn3lim an4lim bn15123nnnnn4 求下列極限：（ 1） lim (54) ；（ 2） lim (11) 2nnnn4411解：（ 1） lim(5)lim5lim505；（ 2） lim(1)2(limlim1) 2(0 1)21nnnnnnnnnn5 求下列極限：12lim3n2lim2n2n3n3n(1) lim (2).(2). (3)2. (4) lim42 .nnnnnn3n2n2nn12lim1lim202 lim1000 .解：(1) lim (2)2nnnnnnnnn(2) ( 方法一 ) lim3n2lim(32) lim

6、3lim 232lim 130 3.nnnnnnnnn(方法二)n，n0 .n 的最高次冪.分子、分母同除lim 3n232lim (32 )33 .limnnnnnn1lim 11n第二個(gè)題目不能體現(xiàn)“分子、分母同除n 的最高次冪”這個(gè)方法的優(yōu)勢(shì).這道題目就可以 .使用上述方法就簡(jiǎn)單多了 .因?yàn)榉帜干鲜?3n22 ，有常數(shù)項(xiàng)，所以(2) 的方法一就不能用了 .;.2n21lim(21)lim 2lim 12 0 22nnnnnnn(3) limlim.222n3n22 n3lim(3lim3lim3 0 322 )2nnnnnn規(guī)律一： 一般地，當(dāng)分子與分母是關(guān)于n 的次數(shù)相同的多項(xiàng)式時(shí)，這

7、個(gè)公式在n子與分母中最高次項(xiàng)的系數(shù)之比.(4) 分子、分母同除n 的最高次冪即 n4 ，得 .'.時(shí)的極限是分313lim13n3n3lim300limlim nnnnnn0.2n4n220nn112n2lim 2limn2nn規(guī)律二： 一般地，當(dāng)分子、分母都是關(guān)于n 的多項(xiàng)式時(shí)，且分母的次數(shù)高于分子的次數(shù)時(shí)，當(dāng)n時(shí)，這個(gè)分式極限為0.6 求下列極限 .n23n) . (2) lim3n233n15.(1) lim (n1n1. (3) limn1nn2n22213解： (1)n3n3nnn3limn1lim(n1n) limn1lim11.nnnnn1n3233n23nn30(2)

8、lim3.n12lim1210nn1nn315lim315(3) lim 3n15lim nn2nnn2lim00 0.nnnn1110nn11lim1limnnnn說明： 當(dāng) n 無限增大時(shí)，分式的分子、分母都無限增大，分子、分母都沒有極限，上面的極限運(yùn)算法則不能直接運(yùn)用 兩個(gè)（或幾個(gè)）函數(shù)（或數(shù)列）的極限至少有一個(gè)不存在，但它們的和、差、積、商的極限不一定不存在7求下列極限：（ 1）3572n 11 2 42n 1lim(22222lim (n 1 )n)；（ ）nn 1 n 1 n 1n 11 3 93解： 先求和再求極限（ 1） lim (3572n1)2222nn 1n1 n1n1;

9、.'.357(2 n 1)n3(2n1)n22n1 22lim22limn1lim21lim11nn 1nnnnn1n2124n 1n1n1)2(2)n122lim2(233n0（ 2） lim(39n 1 )limn1lim1n13n1 nn3n(31)13n28 公比絕對(duì)值小于1 的無窮等比數(shù)列前n 項(xiàng)和的極限公比的絕對(duì)值小于 1 的無窮等比數(shù)列前n 項(xiàng)的和，當(dāng) n 無限增大時(shí)的極限，叫做這個(gè)無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和 .設(shè) 無 窮 等 比 數(shù) 列 a1 , a1q, a1q 2 , ,a1q n 1 ,的 公 比 q 的 絕 對(duì) 值 小 于 1 ， 則 其 各 項(xiàng) 的 和 S 為a1( q1)Sq1（ 1） 求無窮等比數(shù)列0.3 ， 0.03 ， 0.003， 各項(xiàng)的和 .解： 0.3， 0.03， 0.003 ， 的首項(xiàng) a10.3 ，公比 q0.1所以 s=0.3+ 0.03+ 0.003+=0.310.131。（ 2）將無限循環(huán)小數(shù)0.29化為分?jǐn)?shù) .29( 111129解： 0.290.29 0.00290.000029)29 1021021041061199102練習(xí)：如圖，在邊長(zhǎng)為l