乘法公式的靈活運用

1、 乘法公式的靈活運用一、復習:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3b3 歸納小結公式的變式，準確靈活運用公式： 位置變化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符號變化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指數(shù)變化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系數(shù)變化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 換式變化，xy+(z+m)xy-(z+m)=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+

2、zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2 增項變化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2 連用公式變化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 逆用公式變化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =2x(-2y+2z) =-4xy+4xz例1，求的值。解： =， =例2，求的值。解： =， 例3：計算19992-2000×1998解析此題中2000=1999+1，1998=1999-1，正

3、好符合平方差公式。解：19992-2000×1998 =19992-1999+1×1999-1 =19992-19992-12=19992-19992+1 =1例4：a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。解析此題可用完全平方公式的變形得解。解：a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2 a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5：x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。解析此題假設想根據(jù)現(xiàn)有條件求出x、y、z的值，比擬麻煩，考慮到x2-z2是由x+z和x-z的積得來的，所以只要求出x-z的值即可。解：因為x-y=2，y-z=2，將兩式

4、相加得x-z=4，所以x2-z2=x+z(x-z)=14×4=56。例6：判斷2+122+124+122048+1+1的個位數(shù)字是幾？解析此題直接計算是不可能計算出一個數(shù)字的答案，故有一定的規(guī)律可循。觀察到1=2-1和上式可構成循環(huán)平方差。解：2+122+124+122048+1+1 =2-122+124+122048+1+1 =24096 =161024因為當一個數(shù)的個位數(shù)字是6的時候，這個數(shù)的任意正整數(shù)冪的個位數(shù)字都是6，所以上式的個位數(shù)字必為6。例7運用公式簡便計算11032 21982解：11032=(100+3)2 =1002+2´100´3+32 =1

5、0000+600+9 =10609 21982=(200-2)2 =2002-2´200´2+22 =40000-800+4 =39204例8計算1(a+4b-3c)(a-4b-3c) 2(3x+y-2)(3x-y+2)解：1原式=(a-3c)+4b(a-3c)-4b=(a-3c)2-(4b)2=a2-6ac+9c2-16b2 2原式=3x+(y-2)3x-(y-2)=9x2-( y2-4y+4)=9x2-y2+4y-4例9解以下各式1a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。2(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。3a(a-1)-

6、(a2-b)=2，求的值。4，求的值。分析：在公式(a+b)2=a2+b2+2ab中，如果把a+b，a2+b2和ab分別看作是一個整體，那么公式中有三個未知數(shù)，知道了兩個就可以求出第三個。解：1a2+b2=13，ab=6 (a+b)2=a2+b2+2ab=13+2´6=25 (a-b)2=a2+b2-2ab=13-2´6=1 2(a+b)2=7，(a-b)2=4 a2+2ab+b2=7 a2-2ab+b2=4 +得 2(a2+b2)=11，即 -得 4ab=3，即 3由a(a-1)-(a2-b)=2 得a-b=-2 4由，得 即 即 例10四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，一定是

7、平方數(shù)嗎？為什么？分析：由于1´2´3´4+1=25=52 2´3´4´5+1=121=112 3´4´5´6+1=361=192 得猜測：任意四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，都是平方數(shù)。解：設n，n+1，n+2，n+3是四個連續(xù)自然數(shù)那么n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n+1)2n是整數(shù)， n2，3n都是整數(shù) n2+3n+1一定是整數(shù)(n2+3n+1)是一個平方數(shù) 四個連

8、續(xù)整數(shù)的積與1的和必是一個完全平方數(shù)。例11計算 1(x2-x+1)2 2(3m+n-p)2解：1(x2-x+1)2=(x2)2+(-x)2+12+2× x2×(-x)+2×x2×1+2×(-x)×1=x4+x2+1-2x3+2x2-2x=x4-2x3+3x2-2x+1 2(3m+n-p)2=(3m)2+n2+(-p)2+2×3m×n+2×3m×(-p)+2×n×(-p)=9m2+n2+p2+6mn-6mp-2np分析：兩數(shù)和的平方的推廣 (a+b+c)2 =(a+b)+c2

9、 =(a+b)2+2(a+b)×c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 即(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac幾個數(shù)的和的平方，等于它們的平方和加上每兩個數(shù)的積的2倍。二、乘法公式的用法(一)、套用:這是最初的公式運用階段，在這個環(huán)節(jié)中，應弄清乘法公式的來龍去脈，準確地掌握其特征，為識別和運用公式打下根底，同時能提高學生的觀察能力。例1. 計算： 解：原式(二)、連用:連續(xù)使用同一公式或連用兩個以上公式解題。例2. 計算：解：原式例3. 計算：解：原式三、逆用:學習公式不能只會正向運用，有時還需要將公式左

10、、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運用其解決問題。例4. 計算：解：原式四、變用: 題目變形后運用公式解題。例5. 計算：解：原式五、活用: 把公式本身適當變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個比擬有用的派生公式：靈活運用這些公式，往往可以處理一些特殊的計算問題，培養(yǎng)綜合運用知識的能力。例6. ，求的值。解：例7. 計算：解：原式例8. 實數(shù)x、y、z滿足，那么 解：由兩個完全平方公式得：從而 三、學習乘法公式應注意的問題 一、注意掌握公式的特征，認清公式中的“兩數(shù)例1 計算(-2x2-5)(2x2-5)分析：此題兩個因式中“-5相同，“2x2符號相反

11、，因而“-5是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2那么是公式中的b解：原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4例2 計算(-a2+4b)2分析：運用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時，“-a2就是公式中的a，“4b就是公式中的b；假設將題目變形為(4b-a2)2時，那么“4b是公式中的a，而“a2就是公式中的b解略二、注意為使用公式創(chuàng)造條件例3 計算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)分析：粗看不能運用公式計算，但注意觀察，兩個因式中的“2x、“5兩項同號，“y、“z兩項異號，因而，可運用添括號的技巧使原式變形為符合平方差公式的形

12、式解：原式=(2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z) =(2x+5)2-(y-z)2 =4x2+20x+25-y+2yz-z2例4 計算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2分析：假設先用完全平方公式展開，運算十分繁冗，但注意逆用冪的運算法那么，那么可利用乘法公式，使運算簡便解：原式=(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)2 =(a3-1)(a6+a3+1)2 =(a9-1)2=a18-2a9+1例5 計算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)分析：此題乍看無公式可用，“硬乘太繁，但假設添上一項2-1，那么可運用公式，使問題化繁為簡解：原式=(2-1)(2+1

13、)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =28-128+1 =216-1三、注意公式的推廣計算多項式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可表達為：多項式的平方，等于各項的平方和，加上每兩項乘積的2倍例6 計算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y四、注意公式的變換，靈活運用變形公式

14、例7 (1)x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值； (2)：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值分析：粗看似乎無從下手，但注意到乘法公式的以下變形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，問題那么十分簡單解：(1)x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，將條件代入得100=103-3xy·10， xy=30 故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40 (2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1例8 計算(a+b+c)2+(a+b-

15、c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2分析：直接展開，運算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式可變換出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而問題容易解決解：原式=(a+b)+c2+(a+b)-c2+c+(a-b)2+c-(a-b)2 =2(a+b)2+c2+2c2+(a-b)2 =2(a+b)2+(a-b)2+4c2 =4a2+4b2+4c2五、注意乘法公式的逆運用例9 計算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2分析：假設按完全平方公式展開，再相減，運算繁雜，但逆用平方差公式，那么能使運算簡便得多解：原式=(a-2b+3c)+(a+2b-3c)(a-2b+3c)-(a+2b-

16、3c) =2a(-4b+6c)=-8ab+12ac例10 計算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此題可以利用乘法公式和多項式的乘法展開后計算，但逆用完全平方公式，那么運算更為簡便解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2=(2a+3b)+(4a-5b)2=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2四、怎樣熟練運用公式：一、明確公式的結構特征這是正確運用公式的前提，如平方差公式的結構特征是：符號左邊是兩個二項式相乘，且在這四項中有兩項完全相同，另兩項是互為相反數(shù)；等號右邊是乘式中兩項的平方差，且是相同項的平方減去相反項的平

17、方明確了公式的結構特征就能在各種情況下正確運用公式二、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內正確運用公式如計算x+2y3z2，假設視x+2y為公式中的a，3z為b，那么就可用ab2=a22ab+b2來解了。三、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標準形式不相一致或不能直接用公式計算，此時要根據(jù)公式特征，合理調整變化，使其滿足公式特點常見的幾種變化是：1、位置變化 如3x+5y5y3x交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計算了2、符號變化 如2m7n2m7n變?yōu)?m+7n2m7n后就可用平方差公式求解了思考：

18、不變或不這樣變，可以嗎？3、數(shù)字變化 如98×102，992，912等分別變?yōu)?002100+2，10012，90+12后就能夠用乘法公式加以解答了4、系數(shù)變化 如4m+2m變?yōu)?2m+2m后即可用平方差公式進行計算了5、項數(shù)變化 如x+3y+2zx3y+6z變?yōu)閤+3y+4z2zx3y+4z+2z后再適當分組就可以用乘法公式來解了四、注意公式的靈活運用有些題目往往可用不同的公式來解，此時要選擇最恰當?shù)墓揭允褂嬎愀啽闳缬嬎鉧2+12·a212，假設分別展開后再相乘，那么比擬繁瑣，假設逆用積的乘方法那么后再進一步計算，那么非常簡便即原式=a2+1a212=a412=a82

19、a4+1對數(shù)學公式只會順向從左到右運用是遠遠不夠的，還要注意逆向從右到左運用如計算11111，假設分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計算繁難，而且容易出錯假設注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，那么可巧解此題即原式=11+11+××11+=×××××× =×=有時有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a2+b2=a+b22ab，a2+b2=ab2+2ab等用這些變式解有關問題常能收到事半功倍之效如m+n=7，mn=18，求m2+n2，m2mn+ n2的值面

20、對這樣的問題就可用上述變式來解，即m2+n2=m+n22mn=722×18=49+36=85，m2mn+ n2= m+n23mn=723×18=103以下各題，難不倒你吧？！1、假設a+=5，求1a2+，2a2的值2、求2+122+124+128+1216+1232+1264+1+1的末位數(shù)字答案：1.123；2212. 6 五、乘法公式應用的五個層次乘法公式：(ab)(ab)=a2b2，(a±b)=a2±2abb2，(a±b)(a2±abb2)=a3±b3第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用例1計算

21、 (2)(2xy)(2xy)(2)原式=(y)2x(y)2x=y24x2第二層次逆用，即將這些公式反過來進行逆向使用例2計算(1)199821998·399419972； 解(1)原式=199822·1998·199719972 =(19981997)2=1第三層次活用 ：根據(jù)待求式的結構特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復使用乘法公式；有時根據(jù)需要創(chuàng)造條件，靈活應用公式例3化簡：(21)(221)(241)(281)1分析直接計算繁瑣易錯，注意到這四個因式很有規(guī)律，如果再增添一個因式“21便可連續(xù)應用平方差公式，從而問題迎刃而解解原式=(21)(21)(221)(241)(

22、281)1=(221)(221)(241)(281)1=216例4計算：(2x3y1)(2x3y5)分析仔細觀察，易見兩個因式的字母局部與平方差公式相近，但常數(shù)不符于是可創(chuàng)造條件“拆數(shù)：1=23，5=23，使用公式巧解解原式=(2x3y32)(2x3y32)=(23y)(2x3)(23y)(2x3)=(23y)2(2x3)2=9y24x212x12y5第四層次變用 ：解某些問題時，假設能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如a2b2=(ab)22ab，a3b3=(ab)33ab(ab)等，那么求解十分簡單、明快例5ab=9，ab=14，求2a22b2和a3b3的值解： ab=9，ab=14，2

23、a22b2=2(ab)22ab=2(922·14)=106，a3b3=(ab)33ab(ab)=933·14·9=351第五層次綜合后用 ：將(ab)2=a22abb2和(ab)2=a22abb2綜合，可得 (ab)2(ab)2=2(a2b2)；(ab)2(ab)2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷 例6計算：(2xyz5)(2xyz5)解：原式=(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2-(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)2=(2x5)2(yz)2=4x220x25y22yzz2六、正確認識和使用乘法公式1、數(shù)形結合的數(shù)學思想認

24、識乘法公式：對于學習的兩種三個乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以運用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法來區(qū)分它們。假設a、b都是正數(shù)，那么可以用以以下圖形所示意的面積來認識乘法公式。如圖1，兩個矩形的面積之和即陰影局部的面積為(a+b)(a-b)，通過左右兩圖的對照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；圖2中的兩個圖陰影局部面積分別為(a+b)2與(a-b)2，通過面積的計算方法，即可得到兩個完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2與(a-b)2=a2-2ab+b2。2、乘法公

25、式的使用技巧：提出負號：對于含負號較多的因式，通常先提出負號，以防止負號多帶來的麻煩。例1、 運用乘法公式計算：1(-1+3x)(-1-3x)； 2(-2m-1)2解：1(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=12-(3x)2=1-9x2.2 (-2m-1)2=-(2m+1)2=(2m+1)2= 4m2+4m+1.改變順序：運用交換律、結合律，調整因式或因式中各項的排列順序，可以使公式的特征更加明顯.例2、 運用乘法公式計算：1()(); 2(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)解：1()()=()()=()()= (2) (x-1/2)(x

26、2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x2+1/4)=(x2-1/4) (x2+1/4)= x2-1/16.逆用公式將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比方逆用平方差公式，得a2-b2 = (a+b)(a-b)，逆用積的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解題時常會收到事半功倍的效果。例3、 計算：1(x/2+5)2-(x/2-5)2 ; 2(a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2解：1(x/2+5)2-(x/2-5)2 =(x/2+5)+(x/2-5) (x/2+5)-(x/2-5)=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x·

27、;10=10x.2(a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2 =(a-1/2)(a2+1/4) (a+1/2) 2 =(a-1/2 ) (a+1/2) (a2+1/4) 2=(a2-1/4 ) (a2+1/4) 2 =(a4-1/16 ) 2 =a8-a4/8+1/256.合理分組：對于只有符號不同的兩個三項式相乘，一般先將完全相同的項調到各因式的前面，視為一組；符號相反的項放在后面，視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進行計算。計算：1(x+y+1)(1-x-y); 2(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).解：1 (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y

28、)= 1+(x+y)1-(x+y)=12-(x+y)2=1-(x2+2xy+y2)= 1-x2-2xy-y2.2(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)= (2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)= (2x+5)2-(y-z)2 =(4x2+20x+25)-(y2-2yz+z2)= 4x2+20x+25-y2+2yz-z2 = 4x2-y2-z2+2yz +20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學的重要內容，是今后學習的根底，應用極為廣泛。尤其多項式乘多項式，運算過程復雜，在解答中，要仔細觀察，認真分析題目中各多項式的結構特征，將其適當變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開，運算就顯得簡便易行。一. 先分組，再用公式 例1. 計算： 簡析：此題假設以多項式乘多項式的方法展開，那么顯得非常繁雜。通過觀察，將整式運用加法交換律和結合律變形為；將另一個整式變形為，那么從其中找出了特點，從而利用平方差公式即可將其展開。 解：原式 二. 先提公因式，再用公式 例2. 計算： 簡析：通過觀察、比擬，不難發(fā)現(xiàn)，兩個多項式中的x的系數(shù)成倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關系，假設將第一個多項式中各項提公因數(shù)2出來，變?yōu)?，那么可利用乘法公式?解：原式 三. 先分項，再用公式 例3. 計算： 簡析：兩個多項中似乎沒多大