《矩陣代數(shù)基礎(chǔ)》ppt課件

1、第二章第二章 矩陣代數(shù)根底矩陣代數(shù)根底劉子忠2.1 引言 為何要學(xué)習(xí)矩陣代數(shù)知識(shí)？ 已學(xué)過：分子的對(duì)稱操作如何構(gòu)成點(diǎn)群及 點(diǎn)群的分類和符號(hào)。 下一目的：尋覓和對(duì)稱操作行為類似的矩陣集合，即和對(duì)稱操作同態(tài)的矩陣。這些矩陣稱為對(duì)稱操作的表示，即以數(shù)學(xué)方法來表達(dá)分子對(duì)稱性的含義，是群論運(yùn)用于化學(xué)全部問題的中心。 作法：建立矩陣表示與點(diǎn)群間的聯(lián)絡(luò)，運(yùn)用矩陣表示的數(shù)學(xué)定理來處理不同的化學(xué)問題。 在建立矩陣表示與點(diǎn)群間的聯(lián)絡(luò)之前，必需了解一點(diǎn)矩陣本身的性質(zhì)。2.2 矩陣定義矩陣定義 定義 矩陣是稱作元素的數(shù)字或符號(hào)的矩形列陣。 這些元素寫在小括號(hào)或中括號(hào)之間。 如： 只涉及方陣行數(shù)等于列數(shù)、單行或單列矩陣

2、。1122abab123123123aaabbbccc123xxx123xxx111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa 通常用大寫斜體字母代表矩陣，小寫字母代表矩陣元素。如：A表示矩陣，aij表示矩陣A的第i行j列元素。方正的行數(shù)或列數(shù)稱為矩陣的階。矩陣有確定的運(yùn)算規(guī)那么。留意矩陣與行列式的區(qū)別：行列式：是一些元素的正方列陣，代表著這些元素確定的乘積的總和，有確定的數(shù)值。用列陣的兩邊加單根數(shù)線表示，如：11122122aaaa二階行列式展開三階行列式展開n階行列式展開 一個(gè)行列式等于恣意給定的列或行的元素與它們相應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的總和。行列式的展開1112112221 122

3、122aaa aa aaa11121321222311223321321312233131221321 12333223 11313233aaaaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a aaaa例如行列式某元素的余子式：將該元素所在行和所在列劃掉后得到的低一階的行列式。如元素a22的余子式為：某元素的代數(shù)余子式：將該元素的余子式乘以(-1)i+j,111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa1111.nnnnaaaa11121212221221212222221212222222.nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa Aa Aa Aa Aa Aa A例如將

4、以下行列式按照第2行或按第二列展開如下 例如將以下行列式按第一行展開 或者將以下行列式按第三列展開1112132122233132331111121213132223212321221 11 21 3111213323331333132112233322312213331231321323122( 1)( 1)( 1)()()()aaaaaaaaaa Aa Aa Aaaaaaaaaaaaaaaaaa aa aaa aa aaa aa a1112132122233132331313232333332122111211121 32 33 313233331323132212213213231222

5、3113231 1233112221 12( 1)( 1)( 1)()()()aaaaaaaaaa Aa Aa Aaaaaaaaaaaaaaaaaa aa aaa aa aaa aa a 一個(gè)方陣的行列式就是將該矩陣認(rèn)作行列式即可，假設(shè)矩陣為A，我們就將其行列式記作det(A),即： 那么111212122212.nnnnnnaaaaaaAaaa111212122212.det( ).nnnnnnaaaaaaAaaa2.3 矩陣代數(shù)矩陣代數(shù)1 相等 兩矩陣A和B相等，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于一切i和j均有Aij=Bij.例如假設(shè) 且 A=B 那么12A=3412B=342 加法與減法 只需一樣維數(shù)的矩陣才

6、可以相加或相減。在此情況下， A與B之和可用矩陣C 表示。 A + B =C其中對(duì)一切i和j均有 Cij = Aij + Bij.例如同理，A減B可用矩陣C表示 A - B =C其中對(duì)一切i和j均有 Cij = Aij - Bij.例如12566834781012 由此推論，用數(shù)c乘以矩陣A得到矩陣B， B=cA 其矩陣元對(duì)一切i和j都由 Bij = cAij 給出.例如12564434784412363349123 乘法 A和B兩矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)A的列數(shù)，假定為n，等于B的行數(shù)時(shí)，才可以相乘稱為矩陣乘法，其乘積定義為矩陣C C = AB其矩陣元對(duì)于一切i和j都按方程得到。假設(shè)矩陣A有m行n列m

7、xn矩陣，而矩陣B有n行p列nxp矩陣，那么矩陣C 必為m行p列mxp矩陣。例如1nijikkjkCA B 例1 例2 例3 12561 52 71 62 8192234783 54 73 64 84350 12311 12 23 31445624 1 5 26 33278937 1 8 29 350 1231234567891 12 43 71 22 53 81 32 63 9303642 記憶法：取第一個(gè)矩陣的各行按向量乘法記憶法：取第一個(gè)矩陣的各行按向量乘法依次乘以第二個(gè)矩陣的各列，第依次乘以第二個(gè)矩陣的各列，第i行和第行和第j 列列相乘得乘積中的相乘得乘積中的i、j元素。元素。兩個(gè)以上

8、矩陣的相乘，只需多次運(yùn)用乘法兩個(gè)以上矩陣的相乘，只需多次運(yùn)用乘法規(guī)那么，一次將一對(duì)矩陣相乘規(guī)那么，一次將一對(duì)矩陣相乘A(BC)= (AB)C.x對(duì)于三個(gè)矩陣的乘積，D=ABC乘積的普通元素，對(duì)一切i和j都可經(jīng)過給出，式中 r是A的列數(shù)，必需和B的行數(shù)一樣，而s是B的列數(shù)，必需和C的行數(shù)一樣。留意：相乘的矩陣其行數(shù)和列數(shù)的限制。普通來說： AB BArsijikkmmjkmDA B C12561922347843505612233478343146 矩陣的運(yùn)用 可以用簡(jiǎn)單的方式表示線性方程組。例如： 可以寫成： AX=Yy1=A11x1 + A12x2 +A13x3 y2=A21x1 + A22

9、x2 +A23x3y3=A31x1 + A32x2 +A33x3 111213112122232231323333AAAxyAAAxyAAAxy此外，假設(shè)與該方程相關(guān)聯(lián)的還有方程組：那么 Z=BY式中 因此 (BA)X=Z表表示義：假設(shè)矩陣B定義y變換成z，而矩陣A定義 x變換成y，那么，由x到z的變換就由矩陣BA確定。z1=B11y1 + B12y2 +B13y3 z2=B21y1 + B22y2 +B23y3z3=B31y1 + B32y2 +B33y3111213212223313233BBBBBBBBBB123yYyy123zZzz4 “除法 矩陣“除法好像算符一樣，“除法只能經(jīng)過一個(gè)

10、逆過程來完成。凡是矩陣A具有非零行列式，即 Det(A)0那么稱矩陣A為非奇特矩陣。對(duì)于且僅僅對(duì)于非奇特矩陣，才干按照下面等式來定義其逆矩陣方法求其逆矩陣A-1 AA-1=A-1A=E式中E是恒等矩陣和除法等價(jià)的矩陣運(yùn)算是一個(gè)逆矩陣相乘，例如，當(dāng) AB=C ABB-1=CB-1 AE=CB-1 A=CB-1 留意：由于矩陣不一定對(duì)易，在等式兩邊同乘另一矩陣時(shí)，要左乘，均左乘，要右乘，均右乘。 確定逆矩陣的方法Gramer法那么思索n個(gè)方程 y1=A11x1 + A12x2 +A1nxn y2=A21x1 + A22x2 +A2nxn . 2.1 yn=An1x1 + An2x2 +Annxn

11、用矩陣記號(hào)寫為：1111211221222212.nnnnnnnnyAAAxyAAAxyAAAx記為 Y=AX，用A-1左乘兩邊，得到 X= A-1 Y假設(shè)令1211112122122212.nnnnnnnnyxAAAyxAAAxAAAy1112112122212.nnnnnnAAAAAAAAAA2.2X=A-1Y A的行列式可寫成式中Mij為的Aij代數(shù)余子式111212122212111121211112122222221122.det( ).nnnnnnnnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAAA MA MA MA MA MA MA MA MA M 假設(shè)用M11乘方程2.1的第一式，用

12、 M21乘方程2.1的第二式， 用Mn1乘方程2.1的第n式，然后相加，得 M11 y1+ M21 y2+ Mn1 yn = (A11 M11 + A21 M21 + An1Mn1) x1 + (A12 M11 + A22 M21 + An2Mn1) x2 + + (A1n M11 + A2n M21 + AnnMn1) xn =det(A) x1 + 1212111212222222222222.nnnnnnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAAAAxxAAAAAA由于具有兩個(gè)或兩個(gè)以上一樣的列的行列式等于零，這個(gè)方程成為M11 y1+ M21 y2+ Mn1 yn=det(A)x1或 1

13、1121112xy y ydet Adet Adet AnnMMM按同樣的方式，用其它的代數(shù)余子式可以得到 212222121212xy y ydet Adet Adet A.xy y ydet Adet Adet AnnnnnnnnMMMMMM 2.3 X=A-1Y這些方程與2.2相比，得到對(duì)于任一方陣A (A-1)ij= Mji/det(A) 11121212221122.det Adet Adet A.det Adet Adet A.det Adet Adet AnnnnnMMMMMMAMMM式中(A-1)ij是矩陣A的逆矩陣第i行與第j列的矩陣元素，而Aji的代數(shù)余子式Mji是從A中劃

14、去第j行與第i列所得到的低一階矩陣的行列式乘以(-1)i+j. 闡明(1)假設(shè)det(A)=0即當(dāng)A是奇特矩陣時(shí)，方程(A-1)ij= Mji/det(A)及因之而得到的逆矩陣無法定義。 (2) 假設(shè)Det(A)0，那么A必需是方陣。 3 方程2.3給出任何一組有n個(gè)變量的n個(gè)方程的解。 5 結(jié)合律及分配律 A(BC)=(AB)C A(B+C)=AB+AC (6)特殊矩陣a恒等矩陣 對(duì)角元素均為1，非對(duì)角元素均為零的矩陣。也即 100010001E 01ijijEijijij 符號(hào)稱為Kronecker delta)。其它表示恒等矩陣的符號(hào)是I和1，有時(shí)被稱為單位矩陣。他可以是恣意階的，并能插

15、寫到任何矩陣方程的任何地方。b對(duì)角矩陣 任何全部非對(duì)角元均為零，而全部對(duì)角元為非零的方陣陳作對(duì)角矩陣。也即 12nd000d0D=00000d00ijDijij(c) 實(shí)矩陣設(shè)一個(gè)復(fù)數(shù) f=a+bi, 那么 f 的復(fù)共軛為 f*=a-bi 矩陣A的共軛復(fù)矩陣為A*，A的矩陣元素是A矩陣元素的共軛復(fù)量，即(A*)ij= (A ij) *實(shí)矩陣：A= A*也即，對(duì)一切的i和j， A ij =A*ijd) 對(duì)稱矩陣 轉(zhuǎn)置矩陣：A的轉(zhuǎn)置矩陣是把A矩陣的行變成列即得反之亦然，且以符號(hào) 表示A例如對(duì)于一個(gè)對(duì)稱矩陣 亦即，對(duì)于一切i和j Aij=Aji例如 是對(duì)稱陣。一切對(duì)稱矩陣必是方陣123456789A

16、147258369AAA123245356A(e)厄米矩陣 伴隨矩陣 ：A的伴隨矩陣是取其轉(zhuǎn)置矩陣的共軛復(fù)量而得，即例如：的伴隨矩陣是厄米矩陣：A=A*AA214231iiiAeie213421iieeiiAA亦即，例如是厄米矩陣。 一切厄米矩陣必是方陣；對(duì)于實(shí)矩陣，斷定它是厄米矩陣還是對(duì)稱矩陣的判據(jù)是一樣的。f零矩陣 元素全是零的任何矩陣。對(duì)于一切i和j Aij=Aji*12443iiieAie 0000000000 g) 酉矩陣 當(dāng)一個(gè)矩陣的伴隨矩陣等于其逆矩陣時(shí)，那么為酉矩陣。 =A-1 或者 A=E， A =E 酉矩陣的列或行與通常向量空間里的一組正交歸一向量相關(guān)。例如，假設(shè)是酉矩陣，

17、那么 A=E， 和AAA11121111111111111nAAAAAAAAAAA*1nkikjijkA A1,2,.,1,2,.,injn按定義要求全體向量：是正交歸一的，即A的各列構(gòu)成正交歸一向量式中 是單位正交基向量。一切酉矩陣都是方陣。例如是酉矩陣1njkkjkrA e1,2,.,jnjrke2(2/3)1000000=iAe式中：h正交矩陣 假設(shè)一個(gè)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣等于其逆矩陣，即那么為正交矩陣。對(duì)于實(shí)矩陣，斷定它是正交矩陣還是酉矩陣的判據(jù)是一樣的。一切正交矩陣都是方陣。例如是正交矩陣。請(qǐng)證明1AAcossin0sincos0001A 轉(zhuǎn)置矩陣 、伴隨矩陣 與逆矩陣A-1AAABBA(

18、)ABB A111()ABB A2.4 矩陣本征值方程對(duì)于每一個(gè)n階的方陣A，都存在方式為 AX=X的本征值方程，式中的 X 是一個(gè)維數(shù)為n1)列矩陣， 是一個(gè)數(shù)或標(biāo)量。方程的解通常有n個(gè)各不一樣的值稱為本征值和相應(yīng)的列矩陣X (稱為本征向量。 該方程表表示義：以列矩陣右乘矩陣A就等于同一列矩陣乘以一個(gè)數(shù)。 可以用下標(biāo)來區(qū)分方程的幾個(gè)解，可將對(duì)應(yīng)于不同本征值1， 2， n的各本征向量寫作X1， X2， Xn,并將方程寫成 Axi=xi i=1,2,n通常需將本征向量歸一化11211nxxx12222nxxx12,.,nnnnxxx即 i=1,2,n 或者 即這一限制刪減了那些不用要的僅差一個(gè)常

19、數(shù)因子的本征向量。方程的另一方式 A- iE ) xi =0 i=1,2,n 1iix x *11nkikikx x 1212*1iiiininixxxxxx1,2,.,in1,2,.,in式中：E為恒等矩陣，0為零矩陣。為使方程有非平凡解即排除xi=0)，本征值i必需滿足行列式方程 det(A- E ) =0 該方程通常被稱為矩陣A的特征方程，它本質(zhì)上是一個(gè)的多項(xiàng)式方程，具有n個(gè)根1，2， n。將1， 2， n逐一代入方程A- iE ) xi =0 和 進(jìn)展求解。每一個(gè)本征值i導(dǎo)致相應(yīng)的非零歸一化本征向量xi 。 1iix x 對(duì)于A- iE ) xi =0 的本征值和本征向量有兩個(gè)重要定理

20、：1假設(shè)矩陣A是厄米矩陣，那么其本征值是實(shí)數(shù)。 i= i* i=1,2,n 假設(shè)他們的本征向量都是對(duì)應(yīng)于不同的本征值，亦即，當(dāng)本征值是非簡(jiǎn)并的 k i ，那么本征向量是彼此正交的。 或 合并二式為 0klx x *10,njkjlklkx x*1,2,.,1,2,.,klklknx xln2以厄米矩陣的本征向量作為列所組成的矩陣X時(shí)酉矩陣。 由矩陣A的本征向量所組成的矩陣X，可用來和AX=X 的解結(jié)合而成單個(gè)方程： 當(dāng)A是厄米矩陣，那么X當(dāng)然是酉矩陣；假設(shè)A是對(duì)稱矩陣，那么X就是正交矩陣。120.00.0.000n AXX2.5 類似變換假設(shè)存在矩陣Q使 Q-1AQ=B那么稱矩陣A和B經(jīng)過類似

21、變換相聯(lián)絡(luò)。定理1 假設(shè)A和B矩陣是經(jīng)過類似變換關(guān)聯(lián)的，那么其行列式本征值及跡對(duì)角元素之和應(yīng)是相等的。det(A)=det(B)A的諸=B的諸跡(A)=跡(B) 假設(shè) A= Q- 1AQ，B= Q- 1BQ， C= Q- 1CQ，那么A,B,C, ,之間的任何關(guān)系，也為A，B，C，,所滿足。定理定理2 假設(shè)類似變換的結(jié)果產(chǎn)生一個(gè)對(duì)角陣，那么，假設(shè)類似變換的結(jié)果產(chǎn)生一個(gè)對(duì)角陣，那么，此過程稱為對(duì)角化。此過程稱為對(duì)角化。定理定理3 假假設(shè)矩陣假假設(shè)矩陣A和和B可經(jīng)過同一矩陣對(duì)角化，可經(jīng)過同一矩陣對(duì)角化，那么那么A和和B對(duì)易。對(duì)易。定理定理4 假假設(shè)假假設(shè)X是由矩陣是由矩陣A的本征向量所組成的矩陣，的本征向量所組成的矩陣，那么類似變換那么類似變換X-1AX必將必將 產(chǎn)生一個(gè)對(duì)角矩陣，其產(chǎn)生一個(gè)對(duì)角矩陣，其對(duì)角元為對(duì)角元為A的本征值。假假設(shè)的本征值。假假設(shè)A是厄米矩陣，那么是厄米矩陣，那么X一定是酉矩陣。一個(gè)厄米矩陣總是可以經(jīng)過酉一定是酉矩陣。一個(gè)厄米矩陣總是可以經(jīng)過酉變換使之對(duì)角化；而一個(gè)對(duì)稱矩陣總是可以經(jīng)過變換使之對(duì)角化；而一個(gè)對(duì)稱矩陣總是可以經(jīng)過正交變換使之對(duì)角化。正交變換使之對(duì)角化。定理定理5 酉