平方根(提高)知識(shí)講解

1、平方根(提高)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根.2. 了解開(kāi)方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用開(kāi)方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用計(jì)算器求平方 根.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平方根和算術(shù)平方根的概念1 .算術(shù)平方根的定義如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a ,即x2 a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根(規(guī)定0的算術(shù)平方根還是 0) ; a的算術(shù)平方根記作 Va，讀作“a的算術(shù)平方根”，a叫做被開(kāi)方 數(shù).要點(diǎn)詮釋：當(dāng)式子 4 有意義時(shí)，a一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即 Va >0, a >0.2 .平方根的定義如果x2 a ,那么x叫做a的平方根.求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)

2、平方 .平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算.a (a >0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為7a(a 0),其中 6 是a的算術(shù)平方根.要點(diǎn)二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1 .區(qū)別：(i)定義不同；(2)結(jié)果不同：ja和ja2 .聯(lián)系：(1 )平方根包含算術(shù)平方根；(2)被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；(3) 0的平方根和算術(shù)平方根均為0.要點(diǎn)詮釋：(1)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方 根；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.(2)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫(xiě)出它的另一個(gè)平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來(lái)研究平方根要點(diǎn)三、平方根的性質(zhì)a(a0)a2|a|0(a0)a(a0)、

3、a a a 0要點(diǎn)四、平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng) 1 位例如：462500 250, 7625 25,6.25 2.5, 0.0625 0.25.【典型例題】 類型一、平方根和算術(shù)平方根的概念1、(2015秋？張家港市校級(jí)期中) 已知2a - 1的平方根是±3, 3a+b - 9的立方根是2, c是服的整數(shù)部分，求a+b+c的平方根.【思路點(diǎn)撥】 首先/據(jù)平方根與立方根的概念可得2a-1與3a+b - 9的值，進(jìn)而可得a、b的值；接著估計(jì)我的大小,可得c的值；進(jìn)而可得a+b+c ,根據(jù)平方根的求法可得答

4、案.【答案與解析】解：根據(jù)題意，可得 2a - 1=9 , 3a+b - 9=8 ;故 a=5 , b=2 ;又< 2< VS<3,c=2 ,a+b+c=5+2+2=9,.9的平方根為±3.【總結(jié)升華】 此題主要考查了平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義及無(wú)理數(shù)的估算能力，還要掌握實(shí)數(shù)的基本運(yùn)算技能，靈活應(yīng)用.舉一反三：【變式】已知2a 1與一a+2是m的兩個(gè)不同的平方根，求 m的值.【答案】2a 1與a + 2是m的平方根，所以2 a 1與a + 2互為相反數(shù).解：當(dāng) 2a 1+ ( a+2) =0 時(shí)，a =- 1,所以 m = 2a 1 2 2 ( 1) 123

5、2 9&,x 1(4)TT 2、X為何值時(shí)，下列各式有意義？(1)Vx2 ;(2) Jx 4 ;(3) Jx 1 hX ;【答案與解析】解：(1)因?yàn)閤2 0,所以當(dāng)x取任何值時(shí)，JX2都有意義.(2)由題意可知:x 4 0,所以x 4時(shí)，Jx 4有意義.(3)由題意可知:義.(4)由題意可知:x 1 0解得： 1 x 1 .所以 1 x 1時(shí)JxJ JTHx有意1 x 0x 1 0,解得x 1且x 3 .x 3 0所以當(dāng)x 1且x3時(shí),業(yè)有意義.x 3【總結(jié)升華】(1)當(dāng)被開(kāi)方數(shù)不是數(shù)字，而是一個(gè)含字母的代數(shù)式時(shí)，一定要討論，只有當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)時(shí)，式子才有意義. 子才有意義.(2

6、)當(dāng)分母中含有字母時(shí)，只有當(dāng)分母不為。時(shí)，式舉一反三：1 1【變式】已知b 4732 2j2a 2,求 的算術(shù)平方根.a b【答案】3a2 0,2113 1解：根據(jù)題意，得則a ,所以b=2,- - - 2,2 3a 0.3a b 2 211,11-的算術(shù)平方根為*/ 一 J2.a b, a b類型二、平方根的運(yùn)算3、求下列各式的值. J252 242 gj32 42； (2)2cj 1否36 17900 .【思路點(diǎn)撥】(1)首先要弄清楚每個(gè)符號(hào)表示的意義.(2)注意運(yùn)算順序.【答案與解析】解： J252242 gj3242 石9 gV25 7 535 ；(2) J2011 J0.361790

7、0 J81 0.61 309 0.2 61.7 .4 351 4352【總結(jié)升華】(1)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是先算平方開(kāi)方，再乘除，后加減，同一級(jí)運(yùn)算按先 后順序進(jìn)行.(2)初學(xué)可以根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的意義和表示方法來(lái)解，熟練后直接根 據(jù)吁a(a 0)來(lái)解.類型三、利用平方根解方程在夕4、求下列各式中的 X.2(1) X2 361 0;2(2) x 1289；2(3) 9 3x 264 0【答案與解析】2解：(1) X2 361 0X2361.X 36119289. x 1289x + 1 = ±17x = 16 或 x = 18.2(3)9 3x 264 023x 264T83.

8、x2 或x914【總結(jié)升華】本題的實(shí)質(zhì)是一元二次方程,開(kāi)平方法是解一元二次方程的最基本方法(2)3x 2(3)小題中運(yùn)用了整體思想分散了難度舉一反三：【變式】求下列等式中的 x :2(1)若 x 1.21 ,則 x=29(3)若 x ,則 x=4【答案】(1) ±1.1; (2) ±13; (3)類型四、平方根的綜合應(yīng)用【高清課堂：389316平方根：例5】 x2 169 ,貝U x =22(4)若 x 2 ，則 x =3 ，、，一；(4) ±2.25、已知a、b是實(shí)數(shù)，且J2a 6|b石I 0,解關(guān)于x的方程(a 2)x b2 a 1 .【答案與解析】解：: a

9、、b是實(shí)數(shù)，J2a 6 |b 721 0, J2a 6 0, |b 何 0,.2a 6 0, b 金 0. a -3, b 五.把 a -3, b 近代入(a 2)x b2 a 1 ,得x + 2=-4,x =6.【總結(jié)升華】 本題是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)與方程的知識(shí)相結(jié)合的一道題，應(yīng)先求出a、b的值，再解方程.此類題主要是考查完全平方式、算術(shù)平方根、絕對(duì)值三者的非負(fù)性，只需令每項(xiàng)分別等于零即可.舉一反三：【高清課堂：389316平方根：例5練習(xí)】【變式】若 收 1 收7 0 ,求x2011 y2012的值.【答案】解：由 Xx 1 y 0,得 x2 1 0, y 1 0 ,即 x 1 , y 1 .2

10、0112012 ,2011 , ,、2012 -當(dāng) x=1, y=1 時(shí)，x y 1( 1)2 .2011201220112012當(dāng) x=1, y=1 時(shí)，x y ( 1)( 1)0 .【高清課堂：389316平方根：例6】O2 6、小麗想用一塊面積為400 cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為2300 cm 的長(zhǎng)方形紙片，使它長(zhǎng)寬之比為3: 2,請(qǐng)你說(shuō)明小麗能否用這塊紙片裁出符合要求的長(zhǎng)方形紙片.【答案與解析】解：設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為 3x (x >0) cm ,則寬為2xcm,依題意得3x 2x 300._ 2-6x 300.x2 50.x >0,x , 50 .長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為 3屈 cm .50 >49,. 、50 7.3扁 21,即長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)大于 20 cm.2由正萬(wàn)形紙片的面積為 400 cm ,可知其邊長(zhǎng)為20 cm,長(zhǎng)方形的紙片長(zhǎng)大于正方形紙片的邊長(zhǎng).答：小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的長(zhǎng)方形紙片【總結(jié)升華】本題需根據(jù)平方根的定義計(jì)算出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，再判斷能否用邊長(zhǎng)為 20 cm的正方形紙片裁出長(zhǎng)方形紙片舉一反三：【變式】(2015春？臺(tái)安縣月考)某小區(qū)為了促進(jìn)全民健身活動(dòng)的開(kāi)展，決定在一塊面積約為1000m 2的正方形空地上建一個(gè)籃球場(chǎng)，已知籃球場(chǎng)的面積為 420m；其中長(zhǎng)是寬的士學(xué)倍, 籃球