【課件】（人教A版2019選擇性必修第一冊）：用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系

1、人教A版2019 選擇性必修第一冊第一章第一章 空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何1.4 空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系我們已經(jīng)把向量從平面推廣到空間，并利用空間向量我們已經(jīng)把向量從平面推廣到空間，并利用空間向量解決了一些有關(guān)空間位置關(guān)系和度量的問題解決了一些有關(guān)空間位置關(guān)系和度量的問題 我們發(fā)我們發(fā)現(xiàn)，建立空間向量與幾何要素的對應(yīng)關(guān)系是利用空間現(xiàn)，建立空間向量與幾何要素的對應(yīng)關(guān)系是利用空間向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵本節(jié)我們進一步運用向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵本節(jié)我們進一步運用空間向量研究立體幾何中有關(guān)直線、空間向

2、量研究立體幾何中有關(guān)直線、 平面的位置關(guān)系平面的位置關(guān)系和度量問題和度量問題1空間中點、空間中點、 直線和平面的向量表示直線和平面的向量表示我們知道，點、我們知道，點、 直線和平面是空間的基本圖形，點、直線和平面是空間的基本圖形，點、 線段和平面圖形線段和平面圖形等是組成空間幾何體的基本元素因此，為了用空間向量解決立體兒何問等是組成空間幾何體的基本元素因此，為了用空間向量解決立體兒何問題，首先要用向量表示空間中的點、題，首先要用向量表示空間中的點、 直線和平面直線和平面思考：思考：如何用向量表示空間中的一個點如何用向量表示空間中的一個點OPp 圖圖1.4-11.41,OPOPOPP 如如圖圖在

3、在空空間間中中 我我們們?nèi)∪∫灰欢ǘc點作作為為基基點點 那那么么空空間間中中任任意意一一點點 就就可可以以用用向向量量來來表表示示 我我們們把把向向量量稱稱為為點點 的的位位置置向向量量. .a ABPl圖圖1.4-2思考思考我們知道，我們知道， 空間中給定一個點空間中給定一個點A和一個方向就能唯一確定一條直線和一個方向就能唯一確定一條直線l 如何用向量表示直線如何用向量表示直線l?用向量表示直線用向量表示直線l ， 就是要利用點就是要利用點A和直線和直線l的方向向量表示直線上的任的方向向量表示直線上的任意一點意一點1.42,.,APalltlaAPtAaPABtPlB 如如圖圖是是直直線線

4、 的的方方向向向向量量 在在直直線線 上上取取是是直直線線 上上的的任任意意一一點點 由由向向量量共共線線的的條條件件可可知知 點點 在在直直線線 上上的的充充要要條條件件是是存存在在實實數(shù)數(shù)使使得得即即設(shè)設(shè)OABPla 圖圖1.4-3,1.43,OOPOAPltta 進進一一步步地地 如如圖圖取取定定空空間間中中的的任任意意一一點點可可以以得得到到點點 在在直直線線上上的的充充要要條條件件是是存存在在實實數(shù)數(shù)使使,ABaOPOAtAB 代代入入式式 得得將將式和式都稱為空間直線的向量表示式由式和式都稱為空間直線的向量表示式由此可知，空間任意直線由直線上一點及直線的此可知，空間任意直線由直線上

5、一點及直線的方向向量唯一確定方向向量唯一確定 你能證明這個結(jié)論嗎？你能證明這個結(jié)論嗎？ OPa b 圖圖1.4-4思考思考一個定點和兩個定方向能否確定一個平面？進一步地，一個定點和一個一個定點和兩個定方向能否確定一個平面？進一步地，一個定點和一個定方向能否確定一個平面？如果能確定，如何用向量表示這個平面？定方向能否確定一個平面？如果能確定，如何用向量表示這個平面？,1.44,( ,),.Oab Px yOPxayb 我我們們知知道道 平平面面 可可以以由由 內(nèi)內(nèi)兩兩條條相相交交直直線線確確定定. .如如圖圖設(shè)設(shè)兩兩條條直直線線相相交交于于點點它它們們的的方方向向向向量量分分別別為為 和和為為平

6、平面面 內(nèi)內(nèi)任任意意一一點點 由由平平面面向向量量基基本本定定理理可可知知 存存在在唯唯一一的的有有序序?qū)崒崝?shù)數(shù)對對使使得得,Oa b 這這樣樣 點點 與與向向量量不不僅僅可可以以確確定定平平面面還還可可以以具具體體表表示示出出 內(nèi)內(nèi)的的任任意意一一點點. .這這種種表表示示在在解解決決幾幾何何問問題題時時有有重重要要作作用用. .OABCPa b p 圖圖1.4-5,1.45,OPABCx yOPOAxAByAC 進進一一步步地地 如如圖圖取取定定空空間間任任意意一一點點可可以以得得到到 空空間間一一點點 位位于于平平面面內(nèi)內(nèi)的的充充要要條條件件是是存存在在實實數(shù)數(shù)使使我們把式稱為空間平面我

7、們把式稱為空間平面ABC的向量表的向量表示式由此可知，空間中任意平面由空示式由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定間一點及兩個不共線向量唯一確定 Pa 圖圖1.4-6Al我們知道，給定空間一點我們知道，給定空間一點A和一條直線和一條直線l，則過點，則過點A且垂直于直線且垂直于直線l的平面的平面是唯一確定的由此得到啟發(fā)，我們可以利用點是唯一確定的由此得到啟發(fā)，我們可以利用點A和直線和直線l的方向向量來的方向向量來確定平面確定平面1.46,( ).llaanormal vector如如圖圖直直線線取取直直線線 的的方方向向向向量量我我們們稱稱向向量量 為為平平面面量量的的法法向

8、向,|0.AaAaP a AP 給給定定一一個個點點 和和一一個個向向量量那那么么過過點點且且以以向向量量 為為法法向向量量的的平平面面完完全全確確定定 可可以以表表示示為為集集合合,?mmb ba 如如果果另另有有一一條條直直線線在在直直線線上上任任取取向向量量與與 有有什什么么關(guān)關(guān)系系A(chǔ)BCDD1A1B1C1Mxyz圖圖1.4-71111111111.47,4,3,2,.(1.)(1,;2)ABCDA B C DABBCCCMABDDA DC DDxyzBCC BMCA如如圖圖在在長長方方體體是是的的中中點點 以以 為為原原點點所所在在直直線線分分別別為為 軸軸、 軸軸、軸軸 建建立立如如

9、圖圖所所示示的的空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系求求中中的的法法向向量量求求平平面面的的平平面面法法向向量量例例11(1),;BCC By分分析析： 平平面面與與 軸軸垂垂直直其其法法向向量量可可以以直直接接寫寫出出111(2),.MCAMC MA CA 平平面面可可以以看看成成由由中中的的兩兩個個向向量量所所確確定定 運運用用法法向向量量與與它它們們的的垂垂直直關(guān)關(guān)系系 可可轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為數(shù)數(shù)量量積積運運算算求求得得法法向向量量11111(1),(0,1,0)yBCC BnBCC B 解解： 因因為為 軸軸垂垂直直于于平平面面所所以以是是平平面面的的一一個個法法向向量量. .ABCDD1A1B1C

10、1Mxyz圖圖1.4-7111(2)4,3,2,(3, 2, 0),(0, 4, 0),(3, 0, 2),( 3,2,0),(0, 2,2).ABBCCCMABM C AMCMA 因因為為是是的的中中點點 所所以以的的坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別為為因因此此21221221( , , ),23203220nx y zMCAnMC nMAnMCxyxznMAyzyz 設(shè)設(shè)是是平平面面的的法法向向量量 則則所所以以213,2,3.(2,3,3).zxynMCA 取取則則于于是是是是平平面面的的一一個個法法向向量量2空間中直線、平面的平行空間中直線、平面的平行我們知道，直線的方向向量和平面的法向量是確定空間中

11、的直線和平面我們知道，直線的方向向量和平面的法向量是確定空間中的直線和平面的關(guān)鍵量那么是否能用這些向量來刻畫空間直線、平面的平行、垂直的關(guān)鍵量那么是否能用這些向量來刻畫空間直線、平面的平行、垂直關(guān)系呢？首先來看平行的問題關(guān)系呢？首先來看平行的問題思考思考由直線與直線、直線與平面或平面與平面的平行關(guān)系，可以得到直線的由直線與直線、直線與平面或平面與平面的平行關(guān)系，可以得到直線的方向向量、平面的法向量間的什么關(guān)系？方向向量、平面的法向量間的什么關(guān)系？1u 2u l1l2圖圖1.4-811221212211.48,/R,.;,.,lu ul lluuuu 如如圖圖設(shè)設(shè)分分別別是是直直線線的的方方向向

12、向向量量. .由由方方向向向向量量的的定定義義可可知知 如如果果兩兩條條直直線線平平行行 那那么么它它們們的的方方向向向向量量一一定定平平行行 反反使使得得過過來來 如如果果兩兩條條直直線線的的方方向向向向量量平平行行 那那么么這這兩兩條條直直線線也也平平行行 所所以以n u l 1n 2n 圖圖1.4-9圖圖1.4-10,1.49,/0,unnluulln 類類似似地地 如如圖圖設(shè)設(shè) 是是直直線線 的的方方向向向向量量是是平平面面 的的法法向向量量則則112122/1.,/10,R,4,nnnn nn 使使如如圖圖設(shè)設(shè)分分別別是是平平面面的的法法向向量量 則則得得n abPu v 例例2 證

13、明證明“平面與平面平行的判定定理平面與平面平行的判定定理”：若一個平面內(nèi)的兩條相交直若一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行線與另一個平面平行，則這兩個平面平行1.411,/, /,/,/.ababP ab 已已知知：求求證證：如如圖圖, ,0,.na bu vn un vnn 分分析析：設(shè)設(shè)平平面面 的的法法向向量量為為直直線線的的方方向向向向量量分分別別為為則則由由已已知知條條件件可可得得由由此此可可以以證證明明 與與平平面面 內(nèi)內(nèi)的的任任意意一一個個向向量量垂垂直直即即 也也是是 的的法法向向量量n abPu v 1.411, ./, /,0,0.na bu vabn

14、 un v 證證明明： 如如圖圖取取平平面面 的的法法向向量量直直線線的的方方向向向向量量分分別別為為因因為為所所以以, R,.ababPQx yPQxuyv 因因為為所所以以對對于于任任意意點點存存在在使使得得()0,n PQnxuyvxn uyn v 從從而而,/.n 所所以以 向向量量 也也是是平平面面 的的法法向向量量 故故ABCDD1A1B1C1xyzP111111111.412,4,3,2./3,?,/ABCDA B C DABBCCCB CPA PACD如如圖圖在在長長方方體體上上是是否否存存在在點點使使得得平平面面中中例例1111,.,0,.B C A PACDnPn A P

15、分分析析：根根據(jù)據(jù)條條件件建建立立適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡目湛臻g間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系 那那么么問問題題中中涉涉及及的的點點、向向量量以以及及平平面面的的法法向向量量 等等都都可可以以用用坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示 如如果果點點存存在在 那那么么就就有有，由由此此通通過過向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)運運算算可可得得結(jié)結(jié)果果111,.(3, 0, 0),(0, 4, 0),(0, 0, 2),( 3,4,0),( 3,0,2).DDA DC DDxyzACDACAD 解解： 以以 為為原原點點所所在在直直線線分分別別為為 軸軸、軸軸、 軸軸 建建立立如如圖圖所所示示空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系則則111( , ),0,0,2

16、,340,36,4, 3.320.1.2,(4,3,6).nx y zACDn ACn ADxxxyzxyxzyznACD 設(shè)設(shè)是是平平面面的的法法向向量量 則則即即所所以以取取則則所所以以是是平平面面的的一一個個法法向向量量1111(3, 0,2),(0, 4, 0),(3, 4, 2),(0,4,0),( 3,0, 2).ACBA BB C 由由得得ABCDD1A1B1C1xyzP1111111(01),( 3 ,0, 2 ),( 3 ,4, 2 ).PB PB CB PA PA BB P 設(shè)設(shè)點點 滿滿足足則則所所以以ABCDD1A1B1C1xyzP110,1212120,.2n A P

17、P 令令得得解解得得這這樣樣的的點點 存存在在111111,2,/.B PB CPB CA PACD 所所以以 當(dāng)當(dāng)即即 為為的的中中點點時時平平面面3空間中直線、平面的垂直空間中直線、平面的垂直思考思考類似空間中直線、平面平行的向量表示在直線與直線、直線與平面、平類似空間中直線、平面平行的向量表示在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系？系？一般地，直線與直線垂直，就是兩直線的方向向量垂直；一般地，直線與直線垂直，就是兩直線的方向向量垂直；直線與平面垂直，就是直線的方向向量與平面

18、的法向量平行；直線與平面垂直，就是直線的方向向量與平面的法向量平行；平面與平面垂直，就是兩平面的法向量垂直平面與平面垂直，就是兩平面的法向量垂直 1u 2u 2n 1n u n ll1l2(1)(2)(3)12121212120.,1.413(1),lluuuullu u 如如圖圖設(shè)設(shè)直直線線的的方方向向向向則則量量分分別別為為/1.413(2),R,.lununnlu 平平面面 的的法法向向量量使使得得如如圖圖設(shè)設(shè)直直線線 的的方方向向為為則則向向量量為為1212211.413(3),0.nnnnn n 如如圖圖設(shè)設(shè)直直線線的的法法向向則則量量分分別別為為BCDD1A1B1C1A1111111111,60 ,1.414,1,.4ABCDA B C DABADAAA ABA ADBADACBDD B 例例 如如圖圖在在平平行行六六面面體體平平面面中中求求證證：直直線線1111111,.AB AD AAACBDD BACBDD B 分分析析：根根據(jù)據(jù)條條件