高考解析幾何壓軸題

1、13橢圓例1如圖：直線l：與橢圓c：交于a、b兩點(diǎn)，以oa、ob為鄰邊作平行四邊形oapb。求證：橢圓c：與直線l：總有兩個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)p的軌跡方程。（3）是否存在直線l，使oapb為矩形？若存在，求出此時(shí)直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由。解：(1)由得橢圓c：與直線l：總有兩個(gè)交點(diǎn)。(2)設(shè),與交于點(diǎn)，則有即，又由（1）得， （2）得 （3）將（3）代入（2）得點(diǎn)p的軌跡方程為當(dāng)時(shí)，這樣的直線不存在；當(dāng)時(shí)，存在這樣的直線，此時(shí)直線為例2. 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是與，且橢圓上存在一點(diǎn)，使得直線與垂直.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)是相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線，直線與相交于點(diǎn)，若，求直線的方程.解：（）

2、由題設(shè)有 設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為由pf1pf2，得 化簡(jiǎn)得 將與聯(lián)立，解得 由 所以m的取值范圍是.（）準(zhǔn)線l的方程為設(shè)點(diǎn)q的坐標(biāo)為，則 將 代入，化簡(jiǎn)得 由題設(shè) ，得 ， 無(wú)解.將 代入，化簡(jiǎn)得 由題設(shè) ，得 .解得m=2. 從而，得到pf2的方程 例3.（08安徽）設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為（）求橢圓的方程；（)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足。證明：點(diǎn)q總在某定直線上。解：（）由題意：，解得.所求的求橢圓的方程.（)方法一：設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)，、均不為0，且，又四點(diǎn)共線，可設(shè)，于是 ，由于，在橢圓上，將分別帶入的方程，整理得：由-得 .，.即點(diǎn)總在直線上.方法二：設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)，、均

3、不為0，記，則且.又四點(diǎn)共線，從而，于是：，；，.從而 又點(diǎn)在橢圓上，即+2并結(jié)合，得，即點(diǎn)總在直線上.14.雙曲線例1.已知雙曲線設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l的方向向量當(dāng)直線l與雙曲線c的一條漸近線m平行時(shí)，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；證明：當(dāng)>時(shí)，在雙曲線c的右支上不存在點(diǎn)q使之到直線l的距離為。解：（1）雙曲線c的漸近線，即 直線的方程 直線與m的距離 （2）證法一：設(shè)過(guò)原點(diǎn)且平行于的直線則直線與的距離，當(dāng)時(shí)，。 又雙曲線c的漸近線為，雙曲線c的右支在直線的右下方，雙曲線c右支上的任意點(diǎn)到直線的距離大于。故在雙曲線c的右支上不存在點(diǎn)q到到直線的距離為 證法二：假設(shè)雙曲線c右支上存在點(diǎn)q到直線的

4、距離為，則 由（1）得， 設(shè)當(dāng)時(shí)，： 將代入（2）得， （*），方程（*）不存在正根，即假設(shè)不成立，故在雙曲線c的右支上不存在點(diǎn)q到直線的距離為 例2. （07江西）設(shè)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離分別為和，且存在常數(shù)，使得（1）證明：動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，并求出的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線雙曲線的右支于兩點(diǎn)，試確定的范圍，使，其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)解：（1）在中，即，即（常數(shù)），點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線方程為：（2）解法一：設(shè)，當(dāng)垂直于軸時(shí)，的方程為，在雙曲線上即，因?yàn)椋援?dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)的方程為由得：，由題意知：，所以，于是：因?yàn)?，且在雙曲線右支上，所以由知，解法二：設(shè)，的中點(diǎn)為當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)

5、，又所以；由得，由第二定義得所以于是由得因?yàn)?，所以，又，解得：由?5.拋物線例1已知拋物線：，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交于點(diǎn)（）證明：拋物線在點(diǎn)處的切線與平行；（）是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由解：（）如圖，設(shè)，把代入得，xay112mnbo由韋達(dá)定理得，點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，將代入上式得，直線與拋物線相切，即（）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，又是的中點(diǎn)，由（）知軸，又 ，解得即存在，使例2. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)軸正方向上一點(diǎn)任作一直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于點(diǎn)abcpqo如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)

6、軸正方向上一點(diǎn)任作一直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于點(diǎn)（1）若，求的值；（5分）（2）若為線段的中點(diǎn)，求證：為此拋物線的切線；（5分）（3）試問(wèn)（2）的逆命題是否成立？說(shuō)明理由（4分）xyl（1）若，求的值； （2）若為線段的中點(diǎn)，求證：為此拋物線的切線； （3）試問(wèn)（2）的逆命題是否成立？說(shuō)明理由 解：（1）設(shè)直線的方程為，將該方程代入得令，則因?yàn)椋獾?，或（舍去）故?）由題意知，直線的斜率為又的導(dǎo)數(shù)為，所以點(diǎn)處切線的斜率為，因此，為該拋物線的切線（3）（2）的逆命題成立，證明如下：設(shè)若為該拋物線的切線，則，又直線的斜率為，所以，得，因，有故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即

7、點(diǎn)是線段的中點(diǎn)16 解析幾何中的參數(shù)范圍問(wèn)題1、已知圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為（1，0），對(duì)應(yīng)這個(gè)焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為，又曲線過(guò)，ab是過(guò)f的此圓錐曲線的弦；圓錐曲線中心在原點(diǎn)，其離心率，一條準(zhǔn)線的方程是。（1）求圓錐曲線和的方程。（2）當(dāng)不超過(guò)8，且此弦所在的直線與圓錐曲線有公共點(diǎn)時(shí)，求直線ab的傾斜角的取值范圍。分析：本題主要考察直線、橢圓、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理計(jì)算能力。函數(shù)與方程思想，以方程的意識(shí)解決平面解析幾何問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法解：過(guò)p作直線x=-1的垂線段pn.曲線是以為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,

8、且.曲線；依題意知圓錐曲線為橢圓，.又其焦點(diǎn)在y軸上，圓錐曲線： （2）設(shè)直線ab：,.由拋物線定義得：，又由得，其時(shí)，。依題意有即，則直線ab的傾斜角。2. 如圖，在rtabc中，cba=90°，ab=2，ac=。doab于o點(diǎn)，oa=ob，do=2，曲線e過(guò)c點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p在e上運(yùn)動(dòng)，且保持| pa |+| pb |的值不變.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線e的方程；（2）過(guò)d點(diǎn)的直線l與曲線e相交于不同的兩點(diǎn)m、n且m在d、n之間，設(shè)， 試確定實(shí)數(shù)的取值范圍分析：本題主要考察直線、橢圓、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決

9、問(wèn)題及推理計(jì)算能力。函數(shù)與方程思想，以方程的意識(shí)解決平面解析幾何問(wèn)題分類討論思想方法 數(shù)形結(jié)合思想方法講解: （1）建立平面直角坐標(biāo)系, 如圖所示 . | pa |+| pb |=| ca |+| cb | y c =a o b動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是橢圓 . 曲線e的方程是 . （2）設(shè)直線l的方程為 , 代入曲線e的方程，得 設(shè)m1（, 則 i) l與y軸重合時(shí)， ii) l與y軸不重合時(shí)， 由得 又, 或 01 , . 而 , ,的取值范圍是 . 3. 已知向量，動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離等于，并且滿足，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，是參數(shù)。（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）當(dāng)時(shí)，若直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡相交于、兩點(diǎn)，線段的垂直

10、平分線交軸，求的取值范圍；（3）如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條圓錐曲線，其離心率滿足，求的取值范圍。分析：本題主要考察直線、橢圓的方程、向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理計(jì)算能力。函數(shù)與方程思想，以方程的意識(shí)解決平面解析幾何問(wèn)題分類討論思想方法 數(shù)形結(jié)合思想方法解：（1）設(shè)，則由，且是原點(diǎn)，得，從而，根據(jù)得，即為所求軌跡方程。（2）當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是，即，的方程為，代入，或，。的中點(diǎn)為，垂直平分線方程為，令得，（）（3）由于，即，所以此時(shí)圓錐曲線是橢圓，其方程可以化為當(dāng)時(shí)，此時(shí)，而，；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，而，而時(shí)，可解得。綜上可知的取值范圍是4. 如圖，為半圓，ab為半圓直徑，o為半

11、圓圓心，且odab，q為線段od的中點(diǎn)，已知|ab|=4，曲線c過(guò)q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p在曲線c上運(yùn)動(dòng)且保持|pa|+|pb|的值不變.(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線c的方程；(2)過(guò)d點(diǎn)的直線l與曲線c相交于不同的兩點(diǎn)m、n，且m在d、n之間，設(shè)=，求的取值范圍.分析：本題主要考察直線、橢圓的方程、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題能力。函數(shù)與方程思想，以方程的意識(shí)解決平面解析幾何問(wèn)題分類討論思想方法 數(shù)形結(jié)合思想方法解：(1)以ab、od所在直線分別為x軸、y軸，o為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系， |pa|+|pb|=|qa|+|qb|=2|ab|=4.曲線c為以原點(diǎn)為中心，a

12、、b為焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)其長(zhǎng)半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,a=,c=2,b=1.曲線c的方程為+y2=1.(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2,代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.=(20k)24×15(1+5k2)0,得k2.由圖可知=由韋達(dá)定理得將x1=x2代入得兩式相除得m在d、n中間，1又當(dāng)k不存在時(shí)，顯然= (此時(shí)直線l與y軸重合).17 解析幾何中的最值問(wèn)題1.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，垂足為（）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明：；（）求四邊形的面積的最小值解：（）橢圓的半焦距，由知點(diǎn)在以線段為直徑的圓上

13、，故，所以，（）（）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇視r(shí)，的方程為，代入橢圓方程，并化簡(jiǎn)得設(shè)，則，；因?yàn)榕c相交于點(diǎn)，且的斜率為，所以，四邊形的面積當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)（）當(dāng)?shù)男甭驶蛐甭什淮嬖跁r(shí)，四邊形的面積綜上，四邊形的面積的最小值為分析：本題主要考察直線、橢圓、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理計(jì)算能力。函數(shù)與方程思想，以方程的意識(shí)解決平面解析幾何問(wèn)題分類討論思想方法2. （09湖南）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)p到點(diǎn)f（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當(dāng)p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，d恒等于點(diǎn)p的橫坐標(biāo)與18之和 （）求點(diǎn)p的軌跡c； （）設(shè)過(guò)點(diǎn)f的直線i與軌跡c相交于m，n兩點(diǎn)

14、，求線段mn長(zhǎng)度的最大值。分析：本題主要考察直線、橢圓、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力。函數(shù)與方程思想，以方程的意識(shí)解決平面解析幾何問(wèn)題分類討論思想方法解（）設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（x，y），則3x-2由題設(shè) 當(dāng)x>2時(shí)，由得 化簡(jiǎn)得 當(dāng)時(shí) 由得 化簡(jiǎn)得 故點(diǎn)p的軌跡c是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分（包括它與直線x=2的交點(diǎn)）所組成的曲線，參見(jiàn)圖1（）如圖2所示，易知直線x=2與 ，的交點(diǎn)都是a（2，），b（2，），直線af，bf的斜率分別為=，=.當(dāng)點(diǎn)p在上時(shí)，由知. 當(dāng)點(diǎn)p在上時(shí)

15、，由知 若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為（i）當(dāng)k，或k，即k-2 時(shí)，直線i與軌跡c的兩個(gè)交點(diǎn)m（，），n（，）都在c 上，此時(shí)由知mf= 6 - nf= 6 - 從而mn= mf+ nf= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)由 得 則，是這個(gè)方程的兩根，所以+=*mn=12 - （+）=12 - 因?yàn)楫?dāng) 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。（2）當(dāng)時(shí)，直線l與軌跡c的兩個(gè)交點(diǎn) 分別在上，不妨設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)上，則知， 設(shè)直線af與橢圓的另一交點(diǎn)為e 所以。而點(diǎn)a，e都在上，且 有（1）知若直線的斜率不存在，則=3，此時(shí)綜上所述，線段mn長(zhǎng)度的最大值為。18 解析幾何中的定值問(wèn)題1如右圖，

16、中心在原點(diǎn)o的橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線的方程為：.（）求橢圓的方程；ofp3p2p1（）在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)，使，證明：為定值，并求此定值.分析：本題主要考查橢圓的定義、方程及幾何性質(zhì)、余弦三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和分析問(wèn)題、靈活解決問(wèn)題的能力。 數(shù)形結(jié)合思想方法aq1ofp3p2p1解：（）設(shè)橢圓方程為.因焦點(diǎn)為，故半焦距.又右準(zhǔn)線的方程為，從而由已知，因此.故所求橢圓方程為.（）記橢圓的右頂點(diǎn)為a，并設(shè)，不失一般性，假設(shè)，且.又設(shè)在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有.解得.因此，故為定值.2. 已知橢圓兩焦點(diǎn)分別為f1、f2，p是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足，過(guò)p作傾斜角互補(bǔ)的兩條直

17、線pa、pb分別交橢圓于a、b兩點(diǎn).（）求p點(diǎn)坐標(biāo)；（）求證直線ab的斜率為定值；（）求pab面積的最大值.yoxbapf1f2分析：本題主要考查直線、橢圓的方程及幾何性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力函數(shù)與方程思想方法解：（）由題可得，設(shè)則，點(diǎn)在曲線上，則，從而，得.則點(diǎn)p的坐標(biāo)為.（）由題意知，兩直線pa、pb的斜率必存在，設(shè)pb的斜率為，則bp的直線方程為：.由得 ，設(shè)，則，同理可得，則，.所以：ab的斜率為定值.（）設(shè)ab的直線方程：.由，得，由，得p到ab的距離為，則。當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)三角形pab面積的最大值為。19 解析幾何與向量1.設(shè)、分別是橢圓的

18、左、右焦點(diǎn).（）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的最大值和最小值;（）設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.分析：本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理計(jì)算能力。函數(shù)與方程思想，以方程的意識(shí)解決平面解析幾何問(wèn)題解：（）解法一：易知所以，設(shè)，則因?yàn)?，故?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又又，即 pbqmfoaxy故由、得或2oyx1lf（07福建）如圖

19、，已知點(diǎn)，直線，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，且（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（）過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，已知，求的值；分析：本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力 函數(shù)與方程的思想， 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法解法一：（）設(shè)點(diǎn)，則，由得：，化簡(jiǎn)得（）設(shè)直線的方程為：設(shè)，又，聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，所以點(diǎn)的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：（）由已知，得則：過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則有：由得：，即3如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)p在am上，點(diǎn)n在cm上，且滿足的軌跡為 曲線e. （i）求曲線e的方程； （ii）若過(guò)定點(diǎn)f（0，2）的直線交曲線e于不同的兩點(diǎn)g、h（點(diǎn)g在點(diǎn)f、h之間）， 且滿足，求的取值范圍. 分析：本小題主要考查直線、圓、橢圓、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力 函數(shù)與方程的思想， 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法解：（i） np為am的垂直平分線，|na|=|nm|.又動(dòng)點(diǎn)n的軌跡是以點(diǎn)c（1，0），a（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓.且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距2