第四章 等參數(shù)有限元方法

1、第四章 等參數(shù)有限元方法§4.1 引言 在有限元法中，提高計(jì)算精度的有效方法是提高單元的計(jì)算精度。一種高精度的單元不僅要求采用高階插值函數(shù)的位移模式，而且應(yīng)能較好地適應(yīng)物體的邊界幾何形狀。§4.2 等參數(shù)單元的概念本節(jié)首先從平面任意四邊形單元著手，介紹等參元的一些基本概念。平面問題的有限元法中，最簡單而又常用的是常應(yīng)變?nèi)切螁卧?，其次是具?結(jié)點(diǎn)的矩形單元。矩形單元，由于它的位移是坐標(biāo)的二次函數(shù)，因而能比常應(yīng)變?nèi)切螁卧^好地反映實(shí)際應(yīng)力的變化情況，但是矩形單元不能適應(yīng)曲線邊界和非正交的直線邊界，也不能隨意地改變大小，如果能改用任意的四邊形單元，如圖4-1所示，上述缺點(diǎn)就能

2、克服，但是對于任意四邊形單元，如采用矩形單元的雙線性位移模式 （4.2.1）則相鄰單元的公共邊界上位移將是不連續(xù)的。這是由于在單元不平行于坐標(biāo)軸的任意一個(gè)邊界上，上述位移模式是二次函數(shù)而不是線性變化的，因而在邊界上的插值函數(shù)值不能由同一邊界上兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移唯一的確定。 雙線性位移模式不能直接地用于任意四邊形單元。但是對于矩形單元，由于在邊界上位移模式是線性的，即在矩形單元中的邊界上位移完全由同一邊界上的兩個(gè)端點(diǎn)的位移唯一確定，因而單元間位移是連續(xù)的。也就是說單元是協(xié)調(diào)的。 為解決任意四邊形單元的協(xié)調(diào)性問題，我們通過坐標(biāo)變換，首先將xy平面上的任意四邊形單元變換為平面上以原點(diǎn)為中心，邊長為2的正

3、方形單元，而xy平面上的結(jié)點(diǎn)1，2，3，4分別映射為平面上的結(jié)點(diǎn)1，2，3，4。這種變換不是對應(yīng)于整個(gè)求解域進(jìn)行，而是針對每個(gè)單元進(jìn)行的，是局部坐標(biāo)，它只應(yīng)用于單元范圍內(nèi)，而為整體坐標(biāo)，它適用于所有單元。下面我們考慮局部坐標(biāo)系下的單元。設(shè)位移模式為 （4.2.2）每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移可用位移矢量表示，即 每個(gè)單元有8個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量，于是單元結(jié)點(diǎn)的位移向量可表示為為單元結(jié)點(diǎn)位移列陣。將結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入位移模式，則得 （4.2.3）上式是關(guān)于的線性方程組。且，將坐標(biāo)代入，求出，并進(jìn)一步代入位移模式中，得同理得 （4.2.4）上式還可以寫成 （4.2.5）式中 （4.2.6）四個(gè)式子可以寫成統(tǒng)一的形式 （4.

4、2.7）顯然，在單元邊界上位移是線性變化的，即邊界上的位移由同一邊界上兩個(gè)結(jié)點(diǎn)位移確定，從而保證了單元之間的位移連續(xù)性。如果仿照位移模式，把坐標(biāo)變換式取為 （4.2.8）顯然，局部坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在整體坐標(biāo)系中必有一點(diǎn)，即與有一一對應(yīng)的關(guān)系。而局部坐標(biāo)系中的四個(gè)結(jié)點(diǎn)恰好對應(yīng)于整體坐標(biāo)系中任意四邊形的四個(gè)結(jié)點(diǎn)。 這種坐標(biāo)變換所采用的插值函數(shù)與位移模式所采用的插值函數(shù)的單元稱為等參數(shù)單元，簡稱等參元。可以看到：這種單元在單元之間位移是連續(xù)的。單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧牡刃ЫY(jié)點(diǎn)力的形式與下節(jié)類似。§4-3 平面8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參數(shù)單元 4.3.1 位移模式任意四邊形等參數(shù)單元的位移模式逼近實(shí)際位

5、移的精度是受到限制的。此外，用單元的直線邊界去擬合物體的曲線邊界時(shí)，總不可避免地降低了計(jì)算模型逼近實(shí)際模型的精度。在單元中提高位移的階次，從而提高了應(yīng)變和應(yīng)力的階次，能很好地提高有限元分析的精度。 對于8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形單元，在局部坐標(biāo)系下同樣采用正方形，單元的結(jié)點(diǎn)位于正方形的角點(diǎn)和各邊的中點(diǎn)。位移模式可假設(shè)為 （4.3.1）上述位移模式在邊界上，當(dāng)固定時(shí)，位移為的二次函數(shù)；而當(dāng)固定時(shí)，位移是的二次函數(shù)，因此稱雙二次位移模式。而在邊界上有三個(gè)結(jié)點(diǎn)，同一邊界上的三個(gè)結(jié)點(diǎn)位移可以唯一地確定邊界上的位移表達(dá)式。 將結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和結(jié)點(diǎn)位移代入位移模式，可以求得及，回代入位移模式，從而得 （4.3.2）式中

6、（4.3.3）形函數(shù)的性質(zhì)：，即形函數(shù)在本點(diǎn)上為1，在其它結(jié)點(diǎn)上為零。對于坐標(biāo)采用同樣的插值函數(shù)，則坐標(biāo)變換為 （4.3.4）顯然坐標(biāo)變換將平面中的8個(gè)結(jié)點(diǎn)分別映射成平面中坐標(biāo)的8個(gè)結(jié)點(diǎn)。而且在平面中每一條邊都是一條二次曲線，它完全由對應(yīng)邊上3個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)唯一確定。 現(xiàn)在來考察單元的收斂性：）協(xié)調(diào)性由于相鄰單元的公共邊界是由改變上的3個(gè)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)唯一確定的二次曲線，因此該邊上某點(diǎn)應(yīng)有相同的形函數(shù)，公共邊上一點(diǎn)的位移可有邊上的結(jié)點(diǎn)位移唯一確定，即單元是協(xié)調(diào)的。）完備性單元的位移模式是否反映剛體位移和常應(yīng)變，要看它是否具有如下形式的位移項(xiàng)： （4.3.5）為此，可先假設(shè)單元結(jié)點(diǎn)的位移與上述位移場相一

7、致，即 （4.3.6）根據(jù)位移模式，與此結(jié)點(diǎn)位移相應(yīng)的單元內(nèi)的位移是 （4.3.7）可以證明：，于是得到當(dāng)結(jié)點(diǎn)位移為單元內(nèi)的位移就是剛體位移下面證明：設(shè)另一坐標(biāo)系，它與原坐標(biāo)系的關(guān)系為根據(jù)坐標(biāo)變換，應(yīng)有因此于是得上述結(jié)論還可以直接由形函數(shù)展開得到。形函數(shù)的性質(zhì)及其形函數(shù)的構(gòu)造：4.3.2單元特性分析首先將位移模式代入幾何關(guān)系得到相應(yīng)的應(yīng)變列陣 （4.3.8）B稱為應(yīng)變矩陣。應(yīng)變矩陣的分塊矩陣是 （4.3.9）由于形函數(shù)的顯式變量為，為了對x,y求導(dǎo)數(shù)，必須采用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，于是 （4.3.10）矩陣 （4.3.11）稱為Jacobi矩陣，并記為的逆陣，則 （4.3.12） （4.3.13）

8、式中是雅可比矩陣的行列式。單元中的應(yīng)力可表示為 （4.3.14）單元的剛度矩陣為 （4.3.15）4.3.3 單元結(jié)點(diǎn)載荷向量計(jì)算1體積力向量 設(shè)單元的體積力 （4.3.16）2表面力如設(shè)單元在的邊界上有面力 （4.4.17）設(shè)當(dāng)時(shí)，有一增量，則x,y分別也有增量為于是邊界上線元的增量從而 （4.4.18）3熱載荷向量若溫度變化引起的初應(yīng)變由此引起的溫度載荷 （4.4.19）也就是在等效結(jié)點(diǎn)力上，疊加一個(gè)溫度載荷。有了單元?jiǎng)偠染仃嚭徒Y(jié)點(diǎn)載荷向量，可以建立求解結(jié)點(diǎn)位移的線性代數(shù)方程組，解出結(jié)點(diǎn)位移后，就可利用相應(yīng)公式求單元內(nèi)的應(yīng)力。最后需要指出的是：結(jié)構(gòu)離散時(shí)，在整體坐標(biāo)系中對結(jié)構(gòu)進(jìn)行單元?jiǎng)澐謺r(shí)

9、，應(yīng)盡可能將內(nèi)部單元取為近似于正方形，這樣單元給出最佳計(jì)算精度；而在曲邊上，力求在具有同向曲率的線段上設(shè)置單元；為了保證等參元的坐標(biāo)能順利進(jìn)行，在整體坐標(biāo)系中單元結(jié)點(diǎn)配置不應(yīng)使單元過分歪斜。§4.4 820結(jié)點(diǎn)等參元 1位移模式和形函數(shù) 對于平面問題所敘述的方法，顯然可以推廣到空間問題。常用的空間等參數(shù)單元，有空間8結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元，空間20結(jié)點(diǎn)等參元。 20結(jié)點(diǎn)的空間六面體等參數(shù)單元。具有較高的精度。且能適應(yīng)復(fù)雜的曲面六面邊界，下面將應(yīng)用等參數(shù)單元的概念，給出該單元分析的一般結(jié)果。 與空間20結(jié)點(diǎn)六面體的實(shí)際單元對應(yīng)的基本單元為曲面六面體，對應(yīng)的基本單元的局部坐標(biāo)系為，邊長為2，在局

10、部坐標(biāo)系下的位移模式為， （4.4.1）利用形函數(shù)的性質(zhì)，容易導(dǎo)得形函數(shù)為： （4.4.2） 式中，。局部坐標(biāo)到整體坐標(biāo)的變換為， （4.4.3）2單元特性分析）應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣與上節(jié)分析思路一致，根據(jù)幾何關(guān)系，由位移求導(dǎo)得其中位移向量應(yīng)變矩陣B的分塊矩陣為 （4.4.4）形函數(shù)對整體坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)可表示為 （4.4.5）而雅可比矩陣為 （4.4.6）求得了，也就求得了應(yīng)變矩陣B，于是由物理方程得）單元?jiǎng)偠染仃嚧藭r(shí)彈性矩陣為單元?jiǎng)偠染仃嚳蓪懗?（4.4.7）等效結(jié)點(diǎn)載荷向量體積力的等效結(jié)點(diǎn)載荷：設(shè)單元體積力，則體積力的等效結(jié)點(diǎn)力為 （4.4.8）面積力的等效結(jié)點(diǎn)載荷：設(shè)在邊界上有面力，則面力引起

11、的等效結(jié)點(diǎn)力 （4.4.9）為了計(jì)算表面力向量，先推導(dǎo)局部坐標(biāo)系中單元表面上微分面積的表達(dá)式。在的面上任一點(diǎn)的切平面可由沿方向的兩個(gè)微分矢量局部坐標(biāo)面上的微分面積是兩微分矢量和所構(gòu)成的平行四邊形的面積。而所以式中 （4.4.10）于是單元表面力等效載荷為 （4.4.11）熱載荷向量若溫度變化引起的初應(yīng)變 （4.4.12）由此引起的溫度載荷 （4.4.13）也就是在等效結(jié)點(diǎn)力上，疊加一個(gè)溫度載荷。§4-5 數(shù)值積分4.5.1 高斯積分在計(jì)算等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚭徒Y(jié)點(diǎn)載荷向量時(shí)，需要作如下形式的積分運(yùn)算，被積函數(shù)一般相當(dāng)復(fù)雜，通常需要采用數(shù)值積分。即在單元內(nèi)選擇某些點(diǎn)，稱為積分點(diǎn)，求出被

12、積函數(shù)在這些點(diǎn)上的數(shù)值，然后用一些權(quán)系數(shù)乘這些函數(shù)值，最后求和就可得到近似的積分值。高斯積分法是數(shù)值積分法中具有較高精度的方法。一維高斯求積公式：設(shè)是的次多項(xiàng)式，則取n個(gè)高斯積分點(diǎn)，求積公式將給出精確的積分結(jié)果。式中是對應(yīng)于積分點(diǎn)的權(quán)系數(shù)，對于個(gè)積分點(diǎn)數(shù)的坐標(biāo)和權(quán)系數(shù)如下表：高斯求積公式中的積分點(diǎn)坐標(biāo)和權(quán)系數(shù)n0.577350269221.0000000000.774596669230.5555555560.00000000000.8888888890.861136311640.3478548450.33998104360.6521451550.906179845950.2369268850.53846931010.4786286710.00000000000.568888889二維求積公式：三維求積公式：4.5.2 數(shù)值積分階次的確定 在數(shù)值積分中，如何選取積分點(diǎn)數(shù)將直接影響計(jì)算精度和計(jì)算工作量。通?？梢砸罁?jù)保證積分精度的原則選取。 假設(shè)位移模式是p次多項(xiàng)式。對于連續(xù)性問題，結(jié)構(gòu)近似能量表達(dá)式是次多項(xiàng)式。為保證數(shù)值計(jì)算精確到次，應(yīng)選擇的高斯積分階次為，這時(shí)數(shù)值積分可精確到次多項(xiàng)式。對于平面8結(jié)點(diǎn)四邊形單元至少應(yīng)采用的高斯積分點(diǎn)，對20結(jié)點(diǎn)六面體單元應(yīng)采用的高斯積分點(diǎn)。 但是，在一般情況下，