復(fù)數(shù)的三種表示形式

1、2.3復(fù)數(shù)的三種表示形式通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道在電工學(xué)關(guān)于交流電的 研究中，電流、電壓等物理量都可用正弦型函數(shù)來(lái)描述, 但是解題時(shí)的計(jì)算過(guò)程卻相當(dāng)復(fù)雜。當(dāng)復(fù)數(shù)用三角形式 表示后，處理這類(lèi)問(wèn)題就變得十分簡(jiǎn)捷，從而確立了復(fù) 數(shù)在交流電研究中的地位。在電工學(xué)中，正弦交流電的電壓為u = Umsm（a）t +（pu）, 而復(fù)數(shù)U（t） = Um cos（初+ 0）+i Um sin（初+礎(chǔ) 的虛部恰好 是電壓的表達(dá)式，因此可考慮利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行正弦 交流電的有關(guān)計(jì)算。復(fù)數(shù)的三種表示形式 復(fù)數(shù)的三角形式e 復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式復(fù)數(shù)的指數(shù)形式復(fù)數(shù)的三角形式其屮，廠=J/ +b? ,cosO =冬, b

2、匕'sin& = , tan0 = （QHO） ra任何一個(gè)復(fù)數(shù)Z=Q+方i都可以表示成z=r(cose+isin0)的形式。我們把r(cose+isin0)叫做復(fù)數(shù)的三角形式。 對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)的三角形式，把z=a+b叫 做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。例1將復(fù)數(shù)V3+i表示成三角形式。解：因?yàn)? b,所以廠=J(Q+1=2,arg(75 + i) = £即y3+i = 2(cos + z sin )6 6例2將復(fù)數(shù)2(cos- + isin)表示成代 數(shù)形式。解："T + isin辛)7171=2cos 仗)+ i sin(/r) =2(cos + i sin )33

3、9;亠庚、=2(11)2 2=1 + a/3z例3復(fù)數(shù)一2（込扌+ isi吟是不是復(fù)數(shù)的三角形式，如果不是，把它表示成三角形式。解：不是復(fù)數(shù)的三角形式。z = -2(cos + zsin)44=2(-cos-/sin)44=2cos(t + + i sin(7F + )44= 2(cos + zsin)44復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù) z = d +歷的模為廠，輻 角為0,則復(fù)數(shù)z=d+ 冬還可以用zrze來(lái)表 示，止匕時(shí)廠cosO, b = rsin<9o我們把乙=3稱(chēng)為復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式。例1將復(fù)數(shù)z =箱-i用極坐標(biāo)形式表示出來(lái)。解：因?yàn)閆 = a/3-i的模 尸=J(巧

4、5; +(_1)2 =2輻角-24半O O所以"2Z蟲(chóng)7T例2將復(fù)數(shù)"3Z-F化為三角形式和代數(shù)形式。分析：因?yàn)槔涞哪Ｊ?,輻角是送解：“送冗71= 3cose-) + Zsin(-)= 3(cos-zsin)2 2=3(0 - /)=3i復(fù)數(shù)的指數(shù)形式根據(jù)歐拉公式e"=cos + isin，任何一個(gè)復(fù)數(shù) Z=(cos0+isin<9)都可以表示成z = re10的形式，我們把這種形式叫做復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。其中廠為復(fù)數(shù)的模，底數(shù)e=2.71828. 指數(shù)中的i為虛數(shù)單位，0為復(fù)數(shù)的輻角， 例如:為無(wú)理數(shù)，幕 單位為弧度。rr5” . . 5”/ iV2(cos+ 2sin)=° 6 66、厶匕兀 龍.帀i石coszsin = e '77例1把復(fù)數(shù) £ (cos 150°+i sin 150°)表示為指數(shù)形式 和極坐標(biāo)形式。2解： -(cosl50: +i sin 150) =(cos + i sin )2 2 6 62>/3=Z2 62 Tl解: