三角函數(shù)公式及其推導(dǎo)兩種方法

1、三角函數(shù)公式及其推導(dǎo)1. 三角函數(shù)的定義A cb C a BFigure I由此，我們定義：如Figure I, 在ABC中備注：當(dāng)用一個(gè)字母或希臘字母表示角時(shí)，可略寫符號(hào)，但用三個(gè)子母表示時(shí)，不能省略。在本文中，我們只研究sin、cos、tan。2. 額外的定義3. 簡(jiǎn)便計(jì)算公式證明：證完4. 任意三角形的面積公式 C a b h d e B c AFigure II如FigureII,5. 余弦定理：任意三角形一角的余弦等于兩鄰邊的平方和減對(duì)邊的平方之差與兩鄰邊積的兩倍之比。證明：如Figure II,證完6. 海倫公式證明：如Figure II,7. 正弦定理Figure IIIAc O

2、B a C如 Figure III,c為ABC外接圓的直徑,同理：8. 加法定理(1) 兩角差的余弦y A B O C x(-)Figure IV如 Figure IV, 令A(yù)O=BO=r點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為由余弦公式可得：綜上得：(2) 兩角和的余弦(3) 兩角和的正弦(4) 兩角差的正弦(5) 兩角和的正切(6) 兩角差的正切9. 兩倍角公式10. 積化和差公式11. 和差化積公式(1)設(shè)：A=+, B=-,(2)設(shè)：12. 其他常用公式13. 特殊的三角函數(shù)值sin01cos10tan01N/A14. 關(guān)于機(jī)器算法在計(jì)算機(jī)中，三角函數(shù)的算法是這樣的，其

3、中x用弧度計(jì)算推導(dǎo)公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R為外接圓半徑) 由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起來a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)帶入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R兩角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cos

4、AcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA?CosA對(duì)數(shù)的性質(zhì)及推導(dǎo)用表示乘方，用log(a)(b)表示以a為底，b的對(duì)數(shù)*表示乘號(hào)，/表示除號(hào)定義式：若an=b(a>0且a1)則n=log(a)(b)基本性質(zhì)：1.a(log(a)(b)=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.

5、log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(Mn)=nlog(a)(M)推導(dǎo)1.這個(gè)就不用推了吧，直接由定義式可得(把定義式中的n=log(a)(b)帶入an=b)2.MN=M*N由基本性質(zhì)1(換掉M和N)alog(a)(MN)=alog(a)(M)*alog(a)(N)由指數(shù)的性質(zhì)alog(a)(MN)=alog(a)(M)+log(a)(N)又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3.與2類似處理MN=M/N由基本性質(zhì)1(換掉M和N)alog(a)(M/N)=alog(a)(M)/alog(a)(N)由

6、指數(shù)的性質(zhì)alog(a)(M/N)=alog(a)(M)-log(a)(N)又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)4.與2類似處理Mn=Mn由基本性質(zhì)1(換掉M)alog(a)(Mn)=alog(a)(M)n由指數(shù)的性質(zhì)alog(a)(Mn)=alog(a)(M)*n又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以log(a)(Mn)=nlog(a)(M)其他性質(zhì)：性質(zhì)一：換底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推導(dǎo)如下N=alog(a)(N)a=blog(b)(a)綜合兩式可得N=blog(b)(a)log(a)(N)=blog(

7、a)(N)*log(b)(a)又因?yàn)镹=blog(b)(N)所以blog(b)(N)=blog(a)(N)*log(b)(a)所以log(b)(N)=log(a)(N)*log(b)(a)這步不明白或有疑問看上面的所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性質(zhì)二：（不知道什么名字）log(an)(bm)=m/n*log(a)(b)推導(dǎo)如下由換底公式lnx是log(e)(x),e稱作自然對(duì)數(shù)的底log(an)(bm)=ln(an)/ln(bn)由基本性質(zhì)4可得log(an)(bm)=n*ln(a)/m*ln(b)=(m/n)*ln(a)/ln(b)再由換底公式log(an)(

8、bm)=m/n*log(a)(b)-（性質(zhì)及推導(dǎo)完）公式三:log(a)(b)=1/log(b)(a)證明如下:由換底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)-取以b為底的對(duì)數(shù),log(b)(b)=1=1/log(b)(a)還可變形得:log(a)(b)*log(b)(a)=1平方關(guān)系：sin2()+cos2()=1tan2()+1=sec2()cot2()+1=csc2()·商的關(guān)系：tan=sin/coscot=cos/sin·倒數(shù)關(guān)系：tan·cot=1sin·csc=1cos·sec=1萬能公式：sin=2tan(

9、/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：公式一：設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot公式二：設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式三：任意角與-的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos

10、（）costan（）tancot（）cot公式五：利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2）sincos（2）costan（2）tancot（2）cot公式六：/2±及3/2±與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tan(以上kZ)一般

11、的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)平方關(guān)系：sin2()+cos2()=1tan2()+1=sec2()cot2()+1=csc2()·積的關(guān)系：sin=tan*coscos=cot*sintan=sin*seccot=cos*cscsec=tan

12、*csccsc=sec*cot·倒數(shù)關(guān)系：tan·cot=1sin·csc=1cos·sec=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊,余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對(duì)邊比鄰邊,三角函數(shù)恒等變形公式·兩角和與差的三角函數(shù)：cos(+)=cos·cos-sin·sincos(-)=cos·cos+sin·sinsin(±)=sin·cos±cos·sintan(+)=(tan+tan)/(1-tan·tan)tan(-)=(tan-tan)

13、/(1+tan·tan)·輔助角公式：Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)·倍角公式：sin(2)=2sin·cos=2/(tan+cot)cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2()tan(2)=2tan/1-tan2()·三倍角公式：sin(3)=3sin-4sin3()cos(3)=4cos3()-3cos·半角公式：sin(/2)=±(1-cos)/2)cos(/2)=±

14、;(1+cos)/2)tan(/2)=±(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin·降冪公式sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos2()=(1+cos(2)/2=vercos(2)/2tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2)·萬能公式：sin=2tan(/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)·積化和差公式：sin·cos=(1/2)sin(+)+sin(-)cos·sin=(

15、1/2)sin(+)-sin(-)cos·cos=(1/2)cos(+)+cos(-)sin·sin=-(1/2)cos(+)-cos(-)·和差化積公式：sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2·其他：sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*

16、(n-1)/n=0以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等內(nèi)容·高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級(jí)數(shù)易得)：sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i)cosx=e(ix)+e(-ix)/2tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix)泰勒展開有無窮級(jí)數(shù)，ez=exp(z)1z/1！z2/2！z3/3！z4/4！zn/n！此時(shí)三角函數(shù)定義域已推廣至整個(gè)復(fù)數(shù)集。·三角函數(shù)作為微分方程的解：對(duì)于微分方程組y=-y''y=y'

17、'''，有通解Q,可證明Q=Asinx+Bcosx，因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。補(bǔ)充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)雙曲函數(shù)，其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。特殊三角函數(shù)值a030456090sina01/22/23/21cosa13/22/21/20tana03/313NonecotaNone313/30三角函數(shù)的計(jì)算冪級(jí)數(shù)c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxn(n=0.)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=cn(x-a)n(n=0.)它們的各項(xiàng)都是正整數(shù)冪的冪函數(shù),其中c0,c1,c2,.及a

18、都是常數(shù),這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).泰勒展開式(冪級(jí)數(shù)展開法):f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+.f(n)(a)/n!*(x-a)n+.實(shí)用冪級(jí)數(shù)：ex=1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+.ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+.(|x|<1)sinx=x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-<x<)cosx=1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-<x<)arcsinx=x+1/2*

19、x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+.(|x|<1)arccosx=-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+.)(|x|<1)arctanx=x-x3/3+x5/5-.(x1)sinhx=x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-<x<)coshx=1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-<x<)arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-.(|x|<1)arctanhx=x+x3/3+x5/5+.(|x|<1)-傅立葉級(jí)數(shù)(三角級(jí)數(shù))

20、f(x)=a0/2+(n=0.)(ancosnx+bnsinnx)a0=1/(.-)(f(x)dxan=1/(.-)(f(x)cosnx)dxbn=1/(.-)(f(x)sinnx)dx注意：正切也可以表示為“Tg”如：TanA=TgASin2a=2SinaCosaCos2a=Cosa2-Sina2=1-2Sina2=2Cosa2-1Tan2a=2Tana/1-Tana2眾所周知,在數(shù)學(xué)和物理中,三角函數(shù)是一個(gè)重要的工具,以下是一些推導(dǎo)公式,希望對(duì)大家有作用平方關(guān)系：sin2()+cos2()=1 cos2a=(1+cos2a)/2 tan2()+1=sec2() sin2a=(1-cos2a

21、)/2cot2()+1=csc2()·積的關(guān)系：sin=tan*coscos=cot*sintan=sin*sec cot=cos*cscsec=tan*csc csc=sec*cot·倒數(shù)關(guān)系：tan·cot=1sin·csc=1cos·sec=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊, 余弦等于角A的鄰邊比斜邊 正切等于對(duì)邊比鄰邊,·三角函數(shù)恒等變形公式·兩角和與差的三角函數(shù)：cos(+)=cos·cos-sin·sincos(-)=cos·cos+sin·si

22、nsin(±)=sin·cos±cos·sintan(+)=(tan+tan)/(1-tan·tan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tan·tan)·三角和的三角函數(shù)：sin(+)=sin·cos·cos+cos·sin·cos+cos·cos·sin-sin·sin·sincos(+)=cos·cos·cos-cos·sin·sin-sin·cos·sin-sin·

23、sin·costan(+)=(tan+tan+tan-tan·tan·tan)/(1-tan·tan-tan·tan-tan·tan)·輔助角公式：Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B·倍角公式：sin(2)=2sin·cos=2/(tan+cot)cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1

24、-2sin2()tan(2)=2tan/1-tan2()·三倍角公式：sin(3)=3sin-4sin3()cos(3)=4cos3()-3cos·半角公式：sin(/2)=±(1-cos)/2)cos(/2)=±(1+cos)/2)tan(/2)=±(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin·降冪公式sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2)·萬能公式：sin

25、=2tan(/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)·積化和差公式：sin·cos=(1/2)sin(+)+sin(-)cos·sin=(1/2)sin(+)-sin(-)cos·cos=(1/2)cos(+)+cos(-)sin·sin=-(1/2)cos(+)-cos(-)·和差化積公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-c

26、os=-2sin(+)/2sin(-)/2·推導(dǎo)公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos21-cos2=2sin21+sin=(sin/2+cos/2)2·其他：sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+.+cosnx= sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx證明：左邊=2sinx(cosx+cos2x+.+cosnx)/2sinx=sin2x-0+sin3x-sinx+si