有指數(shù)應(yīng)變放大機(jī)制的多孔嵌套的壓電陶瓷制動(dòng)器靜態(tài)集總參數(shù)模型

1、有應(yīng)變指數(shù)放大機(jī)制的單元嵌套的壓電陶瓷致動(dòng)器靜態(tài)集總參數(shù)模型Jun Ueda, Thomas Secord, and H. Harry Asada摘要本文提出了一個(gè)有著應(yīng)變指數(shù)放大機(jī)制的單元嵌套的壓電陶瓷靜態(tài)集總參數(shù)模型的設(shè)計(jì)和分析。壓電陶瓷材料，例如鋯鈦酸鉛（PZT），有很大的壓力和帶寬，但它的應(yīng)變極其小，就僅僅0.1%，這已經(jīng)成為了廣泛應(yīng)用它的主要的一個(gè)瓶頸。我們已經(jīng)提出了一個(gè)有著超過(guò)20%的有效應(yīng)變的壓電陶瓷致動(dòng)器的多層“嵌套菱形”機(jī)制，這個(gè)機(jī)制通過(guò)它的分層的單元結(jié)構(gòu)增加應(yīng)變指數(shù)。然而，為了帶動(dòng)一個(gè)大的負(fù)載必須注意應(yīng)變放大結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)靜態(tài)分析，本文針對(duì)輸出的力和位移如何隨著節(jié)點(diǎn)

2、剛度和放大機(jī)制內(nèi)包含的柔索衰減。一個(gè)優(yōu)秀的集總參數(shù)模型有利于量化性能下降并且推進(jìn)折衷設(shè)計(jì)的方案的成熟。一個(gè)僅重15克的單元嵌套的壓電陶瓷致動(dòng)器原型已經(jīng)能產(chǎn)生21%的有效應(yīng)變(2.49mm的位移由12mm的致動(dòng)器長(zhǎng)度)和1.7N阻力。I介紹壓電陶瓷，例如PZT，有很高的功率密度，高帶寬和高效率。PZT在響應(yīng)速度和帶寬方面勝過(guò)其他的致動(dòng)器材料，包括記憶合金（SMA），導(dǎo)電高分子材料，和導(dǎo)電致伸縮彈性體。它的最大應(yīng)變和SMA一樣大，并且效率堪比導(dǎo)電致伸縮彈性體。PZT最致命的缺點(diǎn)是它的極其小的應(yīng)變，也就是，只有0.1%。在過(guò)去的幾十年里，大家做出了努力使得PZT產(chǎn)生的位移足夠大來(lái)驅(qū)使機(jī)電自動(dòng)一體化系

3、統(tǒng)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12。這些可以被分為 a）點(diǎn)動(dòng)或周期波的產(chǎn)生；b)雙金屬片型彎曲；c）杠桿型運(yùn)動(dòng)放大；d）彎曲伸張機(jī)制。點(diǎn)動(dòng)蘊(yùn)含摩擦傳動(dòng)，它把點(diǎn)動(dòng)的適用性限制到一個(gè)范圍。雙金屬片型機(jī)制11僅僅是只能產(chǎn)生很小的力盡管它們的位移和張力很大，這個(gè)也把應(yīng)用限制到了很小的范圍。杠桿型運(yùn)動(dòng)放大8低效，產(chǎn)生僅僅近似100的一個(gè)微小收益。它在幾個(gè)杠桿連接來(lái)產(chǎn)生一個(gè)大的位移式往往是十分笨重的。各種各樣的彎張機(jī)制已經(jīng)被研究開(kāi)發(fā)出來(lái)了，例如“Moonie” 1 4,“Cymbal” 7, “Rainbow” 3, 還有其他的一些 9。一個(gè)單獨(dú)的致動(dòng)器，例如C-block 5 和 M

4、oonie 4，可以被串聯(lián)疊加來(lái)增加總位移。然而，這種堆疊也增加了整體機(jī)構(gòu)的尺寸，并且不能提高它本身的應(yīng)變，它已經(jīng)被知道可以提高到23%，例如，通過(guò)彎張機(jī)制。因此，一個(gè)具有更大的應(yīng)變的更緊湊的致動(dòng)器被認(rèn)為是驅(qū)動(dòng)各種各樣的機(jī)電一體化系統(tǒng)所必須的。我們提出的這個(gè)新的“菱形嵌套”方案13對(duì)于在一個(gè)小巧的機(jī)身上獲得一個(gè)很打的應(yīng)變是特別有用，它適用于很多種應(yīng)用。數(shù)百量級(jí)大的放大增加可以用用這種方法獲得。雖然PZT堆疊的原始應(yīng)變僅為0.1%，這個(gè)新致動(dòng)器所得到的額定應(yīng)變?cè)?0%以上。這個(gè)大應(yīng)變放大的核心思想是分層次的嵌套結(jié)構(gòu)。應(yīng)變?cè)诜謱咏Y(jié)構(gòu)的每一層擴(kuò)增倍。不像傳統(tǒng)的杠桿機(jī)制，它獲得與杠桿的尺寸或者堆疊的數(shù)

5、量成比例，新機(jī)制的放大增益隨層數(shù)的增加成指數(shù)的增加。對(duì)于K層的分層機(jī)構(gòu)，所得到的增加是由K（層的數(shù)量的力量）決定的。這種嵌套的方法可以讓我們?cè)谝粋€(gè)緊湊的機(jī)體上獲得一個(gè)大的應(yīng)變。因此，單元致動(dòng)器概念對(duì)致動(dòng)器很合適。本文提出了一種有著指數(shù)放大應(yīng)變機(jī)制的單元嵌套的壓電陶瓷靜態(tài)集總參數(shù)模型的設(shè)計(jì)和分析。一個(gè)包括嵌套的應(yīng)變放大器的機(jī)械柔性的運(yùn)動(dòng)學(xué)靜態(tài)模型將發(fā)展到研究通過(guò)單個(gè)壓電致動(dòng)器產(chǎn)生的力和位移由分層機(jī)構(gòu)傳遞是如何產(chǎn)生輸出節(jié)點(diǎn)上力和位移聚合的結(jié)果。折衷的設(shè)計(jì)將會(huì)在這個(gè)模型的基礎(chǔ)上討論。提出的概念的有效性將通過(guò)具有21%有效應(yīng)變，1.7N阻力，機(jī)身重量15克的致動(dòng)器原型的設(shè)計(jì)得到證實(shí)。II菱形嵌套結(jié)構(gòu)用

6、于放大PZT致動(dòng)器小位移的幾個(gè)放大機(jī)制已經(jīng)同時(shí)在宏觀(guān)1和微觀(guān)12尺度上開(kāi)發(fā)了，并且已經(jīng)應(yīng)用到了商業(yè)產(chǎn)品上15。我們基于傳統(tǒng)的“Moonie”機(jī)制1的技術(shù)通過(guò)使用嵌套的結(jié)構(gòu)擴(kuò)展了呈指數(shù)的應(yīng)變放大。如圖1所示，該機(jī)制的基本組成部分是一個(gè)像六邊形的菱形，他會(huì)在灰色所示的內(nèi)部結(jié)構(gòu)擴(kuò)張時(shí)垂直收縮。假定該菱形的梁是完全剛性的，并且所有的接頭是可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)并且是單純地旋轉(zhuǎn)。結(jié)果，垂直方向的位移，即，機(jī)構(gòu)的輸出，被放大了。我們的方法是將這個(gè)技術(shù)擴(kuò)展到：1）獲得一個(gè)數(shù)量級(jí)更大的應(yīng)變放大，并且2）建立一個(gè)模塊化結(jié)構(gòu)，它是柔韌的和可擴(kuò)展的。圖2展示出了一種新的機(jī)制，稱(chēng)為“菱形嵌套”應(yīng)變放大器，它包含了眾多的排列成分

7、層結(jié)構(gòu)的菱形機(jī)制。最內(nèi)層的單元，也就是分級(jí)系統(tǒng)的基石，是以上描述的標(biāo)準(zhǔn)菱形機(jī)制。這些單元串聯(lián)以增加輸出位移。這些單元也可以平行排列，以增加輸出力。這種分層機(jī)制的顯著特點(diǎn)是，這些菱形單元被一個(gè)放大了一個(gè)較小的菱形單元的總位移的較大的菱形機(jī)制所封閉。這些較大的菱形單元被連接在一起，并圍著甚至更大的菱形結(jié)構(gòu)，以進(jìn)一步放大的總位移。當(dāng)這個(gè)圍繞并且擴(kuò)張的過(guò)程被重復(fù)時(shí)，一個(gè)多層應(yīng)變放大裝置就被構(gòu)成了，并且這個(gè)位移的結(jié)果呈指數(shù)增加。這個(gè)菱形嵌套機(jī)構(gòu)有無(wú)數(shù)種，取決于每一層串聯(lián)與并聯(lián)的單元數(shù)量和每一層的有效增長(zhǎng)。設(shè)K是放大層的數(shù)量。一般情況下放大所得結(jié)果是由每一層的乘積給的：其中，k是應(yīng)變放大的第k層的有效增益

8、。更簡(jiǎn)單地說(shuō)，假設(shè)每層放大應(yīng)變倍，所得到的放大增益是由給出的K的力量：這種層次結(jié)構(gòu)嵌套菱形機(jī)制是一個(gè)為獲得位移的數(shù)量級(jí)更大的放大的強(qiáng)大的工具。對(duì)于=15通過(guò)嵌套兩層菱形增長(zhǎng)變?yōu)閠otal=225，導(dǎo)致超過(guò)20%的有效應(yīng)變：=15并且K=2：0.1%x15x15=22.5%，這都比得上天然骨骼肌了。另一個(gè)菱形嵌套機(jī)構(gòu)的重要的特點(diǎn)是不同層的菱形的兩個(gè)面可能被排列成互相垂直。嵌套的菱形機(jī)制三維布置使得我們能夠密集地在有限的空間內(nèi)封入許多菱形單元。例如，圖2所示的三維結(jié)構(gòu)。需要注意的是串聯(lián)連接的第一層菱形單元沿著他們的輸出軸1被旋轉(zhuǎn)了90度。這使得菱形機(jī)構(gòu)在第二層更緊密；在2方向上的長(zhǎng)度減少。此外，應(yīng)

9、該指出的是，不同的結(jié)構(gòu)配置可以通過(guò)改變同一組件串聯(lián)和并聯(lián)的方式輕松獲得。圖3所示的是一個(gè)有12個(gè)單元的示例性配置器件。四個(gè)陣列并聯(lián)在一起并與另外一個(gè)同樣的結(jié)構(gòu)串聯(lián)。這種模塊化的設(shè)計(jì)是制造具有匹配負(fù)載阻抗，良好抗沖擊能力和良好力學(xué)特性的不同執(zhí)行器的有效方法。III.節(jié)點(diǎn)剛度和梁柔度的影響最初的設(shè)計(jì)已經(jīng)表明菱形壓電致動(dòng)器基于具有剛性橫梁和自由節(jié)點(diǎn)的理想運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，在應(yīng)變放大機(jī)制上具有產(chǎn)生20%等效應(yīng)變的潛力。但是，實(shí)際的機(jī)構(gòu)中不可避免的會(huì)有一些柔度的影響。結(jié)構(gòu)的柔度對(duì)合力和位移有著顯著的影響。在設(shè)計(jì)嵌套的應(yīng)變放大機(jī)構(gòu)時(shí)，必須注意到存在于結(jié)構(gòu)剛度和系統(tǒng)中PZT層疊致動(dòng)器固有剛度之間的相互作用。值得注

10、意的是由于機(jī)械公差和失效自由節(jié)點(diǎn)的小規(guī)模制造存在苦難。特別是對(duì)于第一層和第二層，這里的位移很小，由壓電致動(dòng)器造成的位移可能會(huì)因?yàn)楣?jié)點(diǎn)的失效而減小。因此，彎曲樞軸和柔性梁已用于放大PZT位移。圖4所示的是一個(gè)對(duì)于菱形機(jī)構(gòu)的實(shí)施方案。這些彎曲節(jié)點(diǎn)和橫梁必然給系統(tǒng)帶來(lái)不良的屬性影響。不良屬性主要有以下三種：1 首先，這些節(jié)點(diǎn)不再是自由節(jié)點(diǎn)，但是他們施加了一個(gè)壓電陶瓷必須克服的彈性負(fù)載。壓電陶瓷力的一部分被浪費(fèi)在應(yīng)付節(jié)點(diǎn)的剛性上。這將減少自由載荷的位移。這意味著節(jié)點(diǎn)剛度與內(nèi)部壓電陶瓷剛度具有相同的影響。節(jié)點(diǎn)剛度增加了壓電陶瓷需要克服的剛度。2 其次，梁的彈性可以減小壓電陶瓷產(chǎn)生的力和位移。當(dāng)壓電陶瓷產(chǎn)

11、生位移時(shí)，梁發(fā)生形變從而到力的傳遞產(chǎn)生緩沖減弱效果；至少力的傳遞不會(huì)達(dá)到直梁的效果。類(lèi)似地，如果輸出軸被耦合到另一個(gè)兼容的負(fù)載時(shí)，輸出力和位移將會(huì)在負(fù)載柔度和梁的柔度之間按比例分配。隨著梁剛度的降低，輸出的力和位移將會(huì)減小。 3 第三，彎曲節(jié)點(diǎn)不僅僅只造成純轉(zhuǎn)動(dòng)位移，還經(jīng)常造成不必要的平移位移。沿著梁方向上節(jié)點(diǎn)的彈性形變和梁的柔度會(huì)造成同樣的影響；壓電陶瓷產(chǎn)生的力和位移在節(jié)點(diǎn)上趨于減小。區(qū)分符合上述情形的兩種不同類(lèi)型顯得十分重要：一種是發(fā)生在理想的菱形機(jī)構(gòu)的機(jī)動(dòng)容許空間；另一種是在與前者正交互補(bǔ)的被稱(chēng)為約束空間的空間中。（1）中描述的節(jié)點(diǎn)剛度是在允許運(yùn)動(dòng)空間，而（2）（3）中描述的是子在有限的

12、空間中。曲梁等，例如在Moonies所見(jiàn)，在自由空間和約束空間中都具有柔度。這種分布式的柔度可以近似地分成兩種集總兼容原元件。為了減小嵌套菱形結(jié)構(gòu)的不利影響，必須使剛度在許可空間最小化，在約束空間最大化。當(dāng)應(yīng)變放大機(jī)制的多層被應(yīng)用時(shí)，在許可空間和約束空間的柔度變得更加復(fù)雜。IV具有結(jié)構(gòu)靈活性的嵌套菱形機(jī)構(gòu)A 單層靈活菱形機(jī)構(gòu)建?？紤]如圖5（a）中的情況，含有Moonies的菱形機(jī)構(gòu)被連接在一個(gè)彈性負(fù)載上。kload是負(fù)載的彈性模量，kpzt是內(nèi)部單元例如一個(gè)壓電陶瓷致動(dòng)器的彈性模量。xpzt是內(nèi)部單元的位移，fpzt是內(nèi)部單元施加到放大機(jī)構(gòu)上的力。f1是致動(dòng)器對(duì)負(fù)載的作用力，x1是負(fù)載的位移。

13、在該圖中，我們假設(shè)每個(gè)單元都是壓縮的以便于后續(xù)工作。只在靜態(tài)下考慮建模，質(zhì)量分布和阻尼器的影響忽略不計(jì)。菱形應(yīng)變放大機(jī)構(gòu)是一個(gè)雙端口柔度元件，其結(jié)構(gòu)有如下2*2剛度矩陣決定：其中是一個(gè)剛度矩陣。fI是內(nèi)部單元作用在該機(jī)構(gòu)上的靜力，fO是外部載荷的反作用力。注意下這里的剛度矩陣S是可逆的，對(duì)稱(chēng)的，正定的；s1 > 0, s2 > 0且s1s2-s23> 0。剛度矩陣的對(duì)稱(chēng)性遵循卡氏定理。當(dāng)這個(gè)機(jī)構(gòu)的輸入端口連接到一個(gè)壓電堆棧器產(chǎn)力fpzt固有剛度為kpzt，輸出端口被連接到剛性的負(fù)載kload，有：由上面的式子消掉：定義：這上面的和公式（6）消除，可得力f和剛度k從該放大機(jī)構(gòu)輸

14、出端口所得的有效PZT力和PZT堆的剛度。上述雙端口模型的一個(gè)缺點(diǎn)是，很難從物理層面了解到那些因素降低了致動(dòng)器的性能和如何通過(guò)設(shè)計(jì)來(lái)加以提高。在前面的部分已經(jīng)介紹了兩種不同的柔度，一種是在許可空間，另一種是在約束空間。為了提高機(jī)構(gòu)輸出力和位移的性能，必須實(shí)現(xiàn)剛度在許可空間中的最小化和在約束空間中的最大化。為了研究體現(xiàn)這些結(jié)構(gòu)的柔度，利用kJ,kBI，kBO三根彈簧和一個(gè)杠桿a建立如圖5（b）所示集總參數(shù)模型。當(dāng)彈性模量kBI，kBO趨于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為一個(gè)都是剛性連接的系統(tǒng)，其中輸出x1正比于輸入位移xpzt。剛度kJ，即許可空間中的剛度，阻礙這個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。kBI，kBO彈性形變表示

15、剛體運(yùn)動(dòng)的偏差。圖5（b）中其中xc是杠桿和彈簧連接點(diǎn)的位移；然而這個(gè)點(diǎn)是假設(shè)的并且xc對(duì)應(yīng)的不是一個(gè)物理位移。該模型適用于各種“菱形”放大機(jī)制，包括Moonies。在壓電疊堆驅(qū)動(dòng)器提供最大輸出力fpzt max時(shí)，考慮粘連力，得到如下公式：相似的，考慮這個(gè)菱形機(jī)制的空載位移，得到如下公式，其中kload 0：綜上所述，阻力在kBI, kBO 是達(dá)到最大值。同理，kJ 0時(shí)x1free達(dá)到最大值。另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，3彈簧模型能展現(xiàn)如圖5（c）中所示的理想菱形機(jī)制的特例。B.模型簡(jiǎn)化由式（10）到（12）可以得出fpzt和x1關(guān)系如下：上面的式子可以寫(xiě)作并且這表明之前提出的集總參數(shù)模型可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化

16、?？梢宰龀鋈缦旅枋?，這種簡(jiǎn)化使得由簡(jiǎn)單的低層嵌套模型組成的復(fù)雜嵌套機(jī)制的性能評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)化成一個(gè)集總參數(shù)模型。最終，整體機(jī)制的性能參數(shù)例如總位移，合力等能夠以遞推的方法預(yù)測(cè)。B 靈活的嵌套機(jī)制的總力和位移的遞推公式這部分的主要目的是歸結(jié)出一個(gè)遞推公式來(lái)獲得一個(gè)適用于一般嵌套機(jī)構(gòu)的等效模型。圖6所示的是一個(gè)菱形嵌套機(jī)構(gòu)。由前文可知，一個(gè)嵌套層可以通過(guò)它的等效模型來(lái)表示，這使得我們能夠以迭代的方式來(lái)描述嵌套結(jié)構(gòu)力位移的關(guān)系。令K為嵌套層的編號(hào)。同樣令kJk表示節(jié)點(diǎn)柔度, kBIk, kBok表示梁柔度，Nk(k = 1, · · ·K)表示第k層串聯(lián)的編號(hào)。這個(gè)機(jī)構(gòu)涉及NK

17、-1，NK-2 · · ·N1壓電陶瓷層疊驅(qū)動(dòng)器。聯(lián)立式（17）（18）得，第k層的等效模型可以表示為其中fik-1表示第（k-1）疊層中第i個(gè)單元的等效力。V.驅(qū)動(dòng)器樣板A菱形機(jī)構(gòu)的機(jī)械設(shè)計(jì)樣板嵌套驅(qū)動(dòng)器有超過(guò)20%的有效應(yīng)變，是基于結(jié)構(gòu)合理性分析設(shè)計(jì)的。來(lái)看圖2，所示的是一個(gè)有2個(gè)放大層的嵌套結(jié)構(gòu)。第一層采用的是Cedrat公司生產(chǎn)的APA50XS“Moonie”壓電驅(qū)動(dòng)器。根據(jù)圖2中的初步設(shè)計(jì)，有兩層結(jié)構(gòu)的機(jī)構(gòu)可以獲得超過(guò)20%的有效應(yīng)變。通過(guò)第一層由6個(gè)APA50XS驅(qū)動(dòng)器堆疊而成，即N1 = 6,則第二層合理的設(shè)計(jì)可以得到這個(gè)大的應(yīng)變。由表I可知，對(duì)于第

18、一層的單元，k1=0.225 ×106 N/m, fblock1 =18.0 N。本部分的剩余篇幅側(cè)重于第二層菱形機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)。從式（19）（20）中歸結(jié)出第二層的等效模型并帶入式（17）（18），這樣就提供了一個(gè)基于kBI2, kBO2和kJ2的能夠得到20%有效應(yīng)變的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。如前文所述，許可空間中的剛度即kJ2必須是最小值。此外，為了增加約束空間中的剛度即kBI2, kBO2，斜梁除了較薄的柔性連接部分外應(yīng)保證足夠的厚度。圖7所示的是為第2層設(shè)計(jì)的菱形機(jī)構(gòu)。磷青銅(C54400, H08)作為制造材料。機(jī)構(gòu)在運(yùn)功方向長(zhǎng)為12mm，寬為30mm?？紤]到是電火花加工柔性連接部分的厚度為0.1mm。斜梁厚度為1.3mm以保證其有足夠的剛度。斜梁的傾斜角是4.97度，假設(shè)機(jī)構(gòu)的理想位移比是11.5。集總參數(shù)校準(zhǔn)kBI2