數(shù)學分析三試卷及答案

1、精品文檔數(shù)學分析( 三 ) 參考答案及評分標準一 .計算題（共8 題，每題 9 分，共 72 分）。1.求函數(shù) f ( x, y)3x sin 13y sin 1 在點 (0,0)處的二次極限與二重極限 .yx解： f ( x, y)3 x sin13 y sin13 x3 y，因此二重極限為 0 . (4分)yx因為 lim 3x sin 13y sin1 與 lim 3x sin 13y sin 1 均不存在，x 0yxy 0yx故二次極限均不存在。 (9分)2. 設 yy( x), 是由方程組z xf ( xy), 所確定的隱函數(shù) , 其中 f 和 F 分別zz(x)F ( x, y,

2、z)0具有連續(xù)的導數(shù)和偏導數(shù), 求 dz .dx解： 對兩方程分別關于x 求偏導 :dzf (xy)xfdy，dx( x y)(1)dx (4分)FxFydyFzdz0。dxdx解此方程組并整理得dzFyf ( x y)xf ( xy)( FyFx ) (9分)dxFyxf (xy)Fz.3.取 ,為新自變量及w w( ,v) 為新函數(shù)，變換方程2 z2 zzz 。x2x yx設xy ,xy ,wzey （假設出現(xiàn)的導數(shù)皆連續(xù)） .22解： z 看成是 x, y 的復合函數(shù)如下：zwy , w w( , ),x y ,x y 。(4 分)e22代人原方程，并將 x, y, z變換為 , ,w

3、。整理得：2 w2 w2w 。 (9分)24. 要做一個容積為 1m3 的有蓋圓桶 , 什么樣的尺寸才能使用料最省 ?解： 設圓桶底面半徑為 r , 高為 h , 則原問題即為：求目標函數(shù)在約束條件下的最小值，其中目標函數(shù) :S表2 rh2 r 2 ,。1歡迎下載精品文檔約束條件 :r 2 h1。r 2r 2h 1) 。 (3 分)構造 Lagrange 函數(shù)：F (r , h,)2rh 2(令Fr2h4 r2 rh0,(6 分)Fh2rr 20.解得 h 2r，故有 r31, h34由題意知問題的最小值必存在，當?shù)酌姘?.徑為 r31高為 h34時，制作圓桶用料最省。 (9 分),2y35.

4、 設 F ( y)e x2 y dx , 計算 F ( y) .y2解：由含參積分的求導公式F ( y)y3x2 ydxy32x2 y2ex2 y2 yex2 y (5 分)y2 ey2x edx 3yx y3x y2yy32ydx 3y2e y72 ye y5y2 x2 e x7 y2e y75 ye51y32ydx 。(9 分)y2 e x222yyx2y22xy6. 求曲線所圍的面積，其中常數(shù)a,b, c0.a2b2c2解：利用坐標變換xacos ,由于 xy0 ，則圖象在第一三象限，從而可y b sin .以利用對稱性，只需求第一象限內(nèi)的面積。,02,0ab2 sincos 。 (3

5、分)c則1(x, y)ab2V 2d d22dc 2 sincos (6 分)( , )00ab da2b22 sincosdc20a2b2(9 分)2c2.52, 其中 L 是 圓柱面 x2y 21與平面7. 計算曲線積分 3xdyydzzdxLz y 3的交線（為一橢圓），從 z 軸的正向看去，是逆時針方向 .解： 取平面 z y 3上由曲線 L 所圍的部分作為 Stokes 公式中的曲面 ，定向為上側，則 的法向量為。2歡迎下載精品文檔cos,cos,cos0,1,1。(3 分)22由 Stokes 公式得coscoscos3zdx5xdy 2 ydzdSLxyz3z5x2 y2dS(6

6、 分)22dxdyx2 y2 12(9 分)8. 計算積分, S 為橢球 x2y2z21的上半部分的下側.yzdzdxa2b2c2S解：橢球的參數(shù)方程為 xa sin cos, ybsinsin , z c cos，其中02,02, 且( z, x)ac sin2sin。 (3 分)(,)積分方向向下，取負號，因此，yzdzdx22 bac2 sin3 cossin2d (6 分)0d0bac22d2 sincosd0sin 2304abc2 (9 分)二 . 證明題（共3 題，共 28 分）。9. （9 分）討論函數(shù) f (x)xy3,x2y20x2y4在原點 (0,0) 處的連續(xù)性、0,x

7、2y20可偏導性和可微性 .解：連續(xù)性：當 x2y20 時，xy2x2y4yy，當 x, y0,0 ，f ( x)x2y4 yx2y4 220從而函數(shù)在原點 0,0處連續(xù)。 (3 分)可偏導性： f x 0,0limf0x,0f0,00，0xxfy0,0limf0,0yf0,00 ，yy0。3歡迎下載精品文檔即函數(shù)在原點0,0 處可偏導。 (5 分)ffx x f y yx y31不存在，可微性： limx2y2limyx2x2y2 0x2 y2 0 x24y2從而函數(shù)在原點 0,0處不可微。 (9 分)10. （ 9 分） （9 分） 設 F x, y 滿足：（1）在 Dx, yx x0a,

8、y y0b 上連續(xù)，（2） F x0 , y00 ，（3）當 x 固定時，函數(shù) Fx, y是 y 的嚴格單減函數(shù)。試證：存在0，使得在xxx0上通過 F x, y0 定義了一個函數(shù) yy(x) ，且 yy( x) 在上連續(xù)。證明：（i ）先證隱函數(shù)的存在性。由條件（ 3）知，F(xiàn) x0 , y在y0b, y0b上是y的嚴格單減函數(shù)，而由條件（2）知 F x0 , y00 ，從而由函數(shù) Fx0 , y 的連續(xù)性得F x0 , y0b 0 ， F x0 , y0b 0 ?，F(xiàn)考慮一元連續(xù)函數(shù) F x, y0b 。由于 Fx0 , y0b 0 ，則必存在 1 0 使得F x, y0b 0 ， x O (

9、 x0 , 1 ) 。同理，則必存在20 使得F x, y0b 0 ， x O ( x0 , 2 ) 。取min( 1, 2 ) ，則在鄰域 O (x0 , ) 內(nèi)同時成立F x, y0 b0 ， F x, y0 b0 。 (3 分)于是，對鄰域 O( x0 ,) 內(nèi)的任意一點 x ，都成立F x, y0 b0 ， F x, y0 b0。固定此 x ，考慮一元連續(xù)函數(shù) Fx, y。由上式和函數(shù) Fx, y 關于 y 的連續(xù)性可知，存在 F x, y 的零點 y y0b, y0b 使得F x, y 0。而 F x, y 關于 y 嚴格單減，從而使 F x, y 0 的 y 是唯一的。再由 x 的

10、任意性，證明了對 :O ( x0 , ) 內(nèi)任意一點，總能從 Fx, y 0 找到唯一確定的 y 與 x 相對應，即存在函數(shù)關系f : xy 或 yf ( x) 。此證明了隱函數(shù)的存在性。 (6 分)（ ii ）下證隱函數(shù) yf ( x) 的連續(xù)性。設 x* 是 : O ( x0 , ) 內(nèi)的任意一點，記 y* : fx* 。對任意給定的0 ，作兩平行線y y*，y y*。由上述證明知。4歡迎下載精品文檔F x* , y*0 ， F x* , y*0 。由 F x, y的連續(xù)性，必存在 x* 的鄰域 O (x* , ) 使得F x, y*0 ， F x, y*0，x O (x* , ) 。對任

11、意的 xO (x* ,) ，固定此 x 并考慮 y 的函數(shù) F x, y，它關于 y 嚴格單減且F x, y*0 ， F x, y*0 。于是在 y*, y*內(nèi)存在唯一的一個零點y 使F x, y0 ，即 對任意的 xO (x* , ) ，它對應的函數(shù)值 y 滿足 yy*。這證明了函數(shù)y f ( x) 是連續(xù)的。(9 分)111dx 在 02 上是否一致收斂，并給出證明。11. （ 10 分）判斷積分xsin0x證明：此積分在 02 上非一致收斂。證明如下：作變量替換 x1 ，則t11sin11sin tdt 。 (3 分)0 xdxt2x1不論正整數(shù) n 多么大，當 tA , A 2n, 2

12、n3時，恒有44sin t2 。 (5 分)2因此，A1sintdt2A1dt (7 分)At 22At 2214t2At222時。20 ，當42n344因此原積分在 02 上非一致收斂。 (10 分)注：不能用 Dirichlet判別法證明原積分是一致收斂的。原因如下：盡管對任意的 B1 積分Bsin tdt 一致有界，且函數(shù)1關于 x 單調(diào)，但是當1t221x時，關于0,2并非一致趨于零。事實上，取t n, 相應地取1t1112，則 limlim1 0 ，并非趨于零。nt211tnn nlim nnn 數(shù)學分析 3模擬試題一、解答下列各題（每小題5 分，共 40 分）。5歡迎下載精品文檔1

13、、 設 zln(xy ), 求xzyzxy ；uz sin y ,x3s22t , y4s 2t 3 , z 2s23t 2 ,u ,u2、x求stuexsin(x2 u( 2,1),xy)3、設y求在點處的值；4、求由方程 xyzx 2y 2z 22 所確定的函數(shù) zz( x , y) 在點 (1,0, 1)處的全微分 dz ；5、求函數(shù) uln( x 2y 2z2 ) 在點 M (1,2, 2) 處的梯度 gradu (1,2,2) ；6、求曲面 zez2 xy3 在點（ 1，2， 0）處的切平面和法線方程；e xe 2 x7、計算積分：0xdx；8、計算積分：I1dx1e y2dy0x；x 2y 2z21二、 (10 分 ) 求內(nèi)接于橢球a 2b 2c 2的最大長方體的體積， 長方體的各個面平行于坐標面。三、（ 10 分 ） 若 D 是 由 xy 1和兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域，且1f ( x )dxdy( x )dx( x).D0，求ydarctg, 其 中 D 是 由 圓 周 x2y 2四、（ 10分）計算 Dxy0y x 所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.五、（ 10Ie x ( 1cos y)dx ( y sin