動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題最值

1、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題最值最值問(wèn)題有四種情形：定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)得最值，動(dòng)點(diǎn)在圓上或直線(xiàn)上，就就是點(diǎn)到圓得最近距 離，與點(diǎn)到直線(xiàn)得最近距離；三角形兩邊之與大于第三邊得問(wèn)題，當(dāng)兩邊成一直線(xiàn)最大； 幾條線(xiàn)段之與構(gòu)成一條線(xiàn)段最??；還有就就是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)最小問(wèn)題。一、定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)所在圓得最大或最小值，動(dòng)點(diǎn)在一個(gè)定圓上運(yùn)動(dòng)，其實(shí)質(zhì)就是圓外一點(diǎn)到 圓得最大或最小距離，就就是定點(diǎn)與圓心所在直線(xiàn)與圓得交點(diǎn)得兩個(gè)距離。方法：證明動(dòng)點(diǎn)在圓上或者去找不變得特殊三角形，證明兩個(gè)三角形相似，求出某些邊得 值。1. 如圖， ABC EFG均就是邊長(zhǎng)為2得等邊三角形，點(diǎn) D就是邊BC EF得中點(diǎn)，直線(xiàn)AG、FC相交于點(diǎn)M .當(dāng) EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線(xiàn)段

2、BM長(zhǎng)得最小值就是（）A. 2 3B. .3 1C. .2D. .3 1F提示：點(diǎn)M在以AC為直徑得圓上2. （ 2015?咸寧）如圖，已知正方形 ABCD得邊長(zhǎng)為2, E就是邊BC上得動(dòng)點(diǎn)，BF丄AE交CD于點(diǎn)F,垂足為G,連結(jié)CG.下列說(shuō)法：AG>GE;AE=BF ; 點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)得路徑 長(zhǎng)為nCG得最小值為1 .其中正確得說(shuō)法就是.（把您認(rèn)為正確得說(shuō)法得序號(hào)都填上）N就是 AB邊上一動(dòng)點(diǎn), 值就是 八、呂長(zhǎng)度得最小彳提示：G在以AB為直徑得圓上：正確答案就是：3、 如圖，正方形 ABCD得邊長(zhǎng)為4cm,正方形AEFG得邊長(zhǎng)為1cm如果正方形 AEFG繞點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn)，那么C、F兩點(diǎn)之間得最

3、小距離為4、如圖，在邊長(zhǎng)為2得菱形ABCD中, / A=60° ,M就是AD邊得中 將厶AMN& MN所在直線(xiàn)翻折得到 A MN,連接A' C,則A' C/B5、如圖，等腰直角 ACB AC=BC='5，等腰直角 CDP且PB<2，將 CDP繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)、A'A NBCP(1 )(2)(3)求證：AD=PB若/ CPB=135 , 求 BD/ PBC=時(shí)，/ PBC=時(shí)，BD有最大值，并畫(huà)圖說(shuō)明;BD有最小值，并畫(huà)圖說(shuō)明、PBCBCP45DFA以點(diǎn)角頂點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蚺帕?提示等腰直角厶AOC與等腰直角發(fā)現(xiàn)EEFGH2DCB最大值為GBAB

4、(1 )(2)(3)BD=A分析:且ACAD：2 GFEM2AE=135 ,AD=1 B得最F為CE得中 D ADBa得+AD寸 BD 角三角礙,.線(xiàn)段AB上亍AD在一條直線(xiàn)上，6由(1)知/ PBC=/求CF得長(zhǎng)將厶ADE繞A旋轉(zhuǎn)一周，求點(diǎn) F運(yùn)動(dòng)得路徑長(zhǎng) ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，求線(xiàn)段 CF得范圍、得等腰 PBC(點(diǎn)P, BAC=、2 , F為BE中點(diǎn)就是'AC邊上一動(dòng)點(diǎn)人連接q 則厶BADE得周長(zhǎng)得最小則線(xiàn)段 AC得取值范圍A(2, 4)、P(1, 0), B為y軸上得動(dòng)點(diǎn)，以 AB為邊構(gòu)造 ABC,為。一2+_3C 2點(diǎn)F在以GH為直徑得圓p A-一此時(shí)/ CAD=456、如圖，

5、 ABCM ADE都就是等腰直角三角形DDA又 AD=47、如圖，AB=4, O為AB中點(diǎn)，O O得半徑為AE-CEC ACW AE+CE1三角形，邊長(zhǎng)為,2, D0，AAB+AD 當(dāng) BD=A、ACB就是等腰1E1,點(diǎn)P就是O O上一動(dòng)點(diǎn):5>BA，過(guò)點(diǎn) A作AE/ BC交O O于E,連接EDFM CB -A A【寸BD最小，此時(shí)，AB與>BC/ CAD=45提示：本題根據(jù)中點(diǎn)構(gòu)造三角形相似，B03A BAE且OF9、如圖，正方形 ABC,AB 點(diǎn)，求BF得最大值。連AC,取DC中點(diǎn)G,A -1- GH -AD 22CE(BE從而得到相似BOPA BEC CE=在厶ACE中卡 C

6、D ”小距離。方法：1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知V其實(shí)質(zhì)就是點(diǎn)到直線(xiàn)DEO BE、點(diǎn)，且/ AED=9BCBA PMM1M取特殊位置考慮:當(dāng)B在原點(diǎn)時(shí),當(dāng)C在原點(diǎn)時(shí),5使點(diǎn)C在x軸上,OM=AM點(diǎn)M在0A得垂直平分線(xiàn)上。2、在平面直角坐標(biāo)系中，A (-3,0 ), B (3,0 ), C (0，-知3 ), E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊向左側(cè)作正厶BEF貝U OF得最小值為 提示：點(diǎn)F在如圖所示得直線(xiàn) AF上運(yùn)動(dòng)。 那兩個(gè)涂色得三角形始終就是全等得/ FAO=3C° OF 3332323、如圖，點(diǎn)D在等邊 ABC得邊BC得延長(zhǎng)線(xiàn)上,且 AF=BE尋最小值就是X E若BD=2,貝U D

7、G彳A7點(diǎn)E、F分別就是連接EF,以EF為邊構(gòu)造等邊 EFG連接DG垂直時(shí),考慮特殊位置: 當(dāng)當(dāng)杏與 有點(diǎn)G¥與A重合，此時(shí)BG/ AC 當(dāng) 與AC平行得直線(xiàn)上，/DG垂直于過(guò)B與CDC過(guò) E 作 EH/ AC,則有EGBBBG EHF=60D點(diǎn)G在平行于A(yíng)C得直線(xiàn)GB上運(yùn)動(dòng)。4、如圖，OA=3 / OAB=60 , P為射線(xiàn)BO上一動(dòng)點(diǎn)，E為OB中點(diǎn), 則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中CE得最小值為34AB F H與C重合時(shí)，F(xiàn)與B重合,GX AC 所平行得直線(xiàn)以AP為邊作等邊 APC,易證： APHA ACB A點(diǎn)C在A(yíng)B得垂 三、根據(jù)三角形兩邊之與CyA半軸上得那個(gè)點(diǎn)) AC=BC*y其她兩邊

8、得與,之差小于第三邊，最大值就就是讓第三1、15、 ACD 中，AD=；則BD得最大值就是,CD= 5 , BC丄 AC 于 C, AC=2BC,提示：過(guò)C作CE! CD使 CE=2CD連接ACCDCE則有ACDBDCCEED二 BD - AE 又 AE< DE+AD=13 / BD=6 522、如圖，AB=4, O為AB中點(diǎn)，O O得半徑為1,點(diǎn)P就是O O上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)得等腰PBC(點(diǎn) P, B,C按逆時(shí)針?lè)较蚺帕?則線(xiàn)段 AC得取值范圍、2 < APW 3 2提示：發(fā)現(xiàn)定等腰直角厶2 在厶ACE中,AAE-CEC ACW AE+C(1)(2)(3)AD=PB若/

9、CPB=135/ PBC=/ PBC=，求BD 時(shí)， 時(shí)，pBCA分析且ACAD=DBD=AB+AD寸 BDAOC與等腰直角C* BCDCB就是等腰線(xiàn)段AB上,BD有最大值，并畫(huà)圖說(shuō)明;BD有最小值，并畫(huà)圖說(shuō)明、1 A AB寸BD最小，此時(shí),CAD=45-CDp,且 PB=(2最小值問(wèn)題，就就是要ACB AC=BC='5，等腰A Ov_從而得到相似BOPA BEC CEf 2 CDP繞IO角礙A此時(shí)/ CAD=45，四、由三角形第三邊小于兩邊之與推廣可以得到，多條線(xiàn)段得與構(gòu)成一條線(xiàn)段，理由就是兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短。1、如圖，四邊形 ABCD就是正方形， ABE就是等邊三角形,將BM繞點(diǎn)B逆

10、時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得到BN,連AM CM EN(1)(2)求證： ABMA ENB 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CMI值最小？ 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+C得值最??？并說(shuō)明理由、E當(dāng)AM+BM+C得值最小值為.31時(shí)，求正方形得邊長(zhǎng)、E2. ( 2015?天津)在每個(gè)小正方形得邊長(zhǎng)為1得網(wǎng)格中.點(diǎn)(3)分別為線(xiàn)段 BC、DB上得動(dòng)點(diǎn)，且 BE=DF .AD在一條直線(xiàn)上，1)知/ PBC=/M為對(duì)角線(xiàn)BD上任意一點(diǎn),A、F(I )如圖，當(dāng)BE仝時(shí)，計(jì)算AE+AF得值等于(H)當(dāng)AE+AF取得最小值時(shí)，請(qǐng)?jiān)谌鐖D 所示得網(wǎng)格中，用無(wú)刻度得直尺，畫(huà)出線(xiàn)段AE，AF，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn) E與點(diǎn)F得位置如何

11、找到得(不要求證明)取格點(diǎn)H，K，連接BH，CK，相交干點(diǎn) P，連接 AP，與 BC 相交，得點(diǎn) E，取格點(diǎn) M，N連接 DM，CN，相交于點(diǎn)G，連接AG，與BD相交，得點(diǎn) F，線(xiàn)段 AE，AF即為所求. .1111 -»»-r - - ir - < - -1«ilIf1*_ _ 1 _ _ _ _L " L - k F II ' -<!'Iji|ji3i| Ii；Um nJ1 «faH » Jng41111!=>111li亠厶w q ,1111i.iL K * L FT V r*Ha * fan m

12、 厶 4AP1 1,1 1i r b r 1.0.I H T I IVt-1r p b 尸 * t t . -r、«-ida1 >1k s 亠44a JL.J 8 ¥ 1 cF I！.B1 W-i4a|njF T R ji3hii1111h - i 3"111Iy n»niL. * 1 7 1 1q"J""iila4jI|:ji*Aii3、已知拋物線(xiàn)y2 2x 2nx nn得頂點(diǎn)為N.(1) 若點(diǎn)P在直線(xiàn)MN上，求(2) 就是否存在過(guò)(0, 2)得直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于 使AB為定長(zhǎng)，若存在，求出 AB得長(zhǎng)；若不(3) 在(

13、2)得條件下，當(dāng)四邊形 MABN得周【意圖】本題綜合考查運(yùn)用初中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容與重要n得值;* 分交x, y軸于點(diǎn)M ,-A,請(qǐng)說(shuō)明理由長(zhǎng)最小時(shí)，得思想方法解決問(wèn)題得能力.生，(A點(diǎn)在艸得下方)，【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)得解析式求法，坐標(biāo)得方法，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)得交點(diǎn)問(wèn)題，一元二次方程根與 系數(shù)得關(guān)系等，坐標(biāo)系中定值與最值問(wèn)題.44【解析】(1)配方P (n, n)代入y x -93如圖1，設(shè)過(guò)(0， 2)得直線(xiàn)為y kx設(shè) A(x1,y1), Bgyz)y kx 2,聯(lián)立2,y (x n) n消元得 x2 (k 2n)x n2 n 20二 x1 x2 2n k ,x1x2 n2 n 2, (x1 x2)2

14、(x1 x2 )2 4x2 k2 8 AB2(1 k2)k2 8 (4 4k)n第24題(4 4k)n2要使AB為定長(zhǎng)，則 AB得值與n得取值無(wú)關(guān)， 4 4k=0.k=1存在直線(xiàn)y=x 2，使AB為定長(zhǎng)，且 AB=3、2 .4(3)如圖2，易求M ( 3, 0), N(0,)，平移AB,使A點(diǎn)于M點(diǎn)重合，則 B得對(duì)應(yīng)點(diǎn)G剛3好落在y軸上，因?yàn)锳B=3j2，所以G (0, 3).作點(diǎn)G關(guān)于直線(xiàn)y=x 2得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H(5,2).過(guò)G作GF1 y軸，交直線(xiàn) AB于F,連FH,所以FH=FG=5又/ FGAN AFH=45 ,連接NH 交直線(xiàn)y=x 2為點(diǎn)R (2, 0).可證明當(dāng)點(diǎn)B與R重合時(shí)，四邊形

15、 MABN得周長(zhǎng)最小.ty將 R (2, 0)代入 y (x n)2 n 中,得 n1 1, n2 4 (舍去)./ n=1 .五、利用對(duì)稱(chēng)求最值M°H/OB上，且 OM = 1 , °N= 3,點(diǎn) P、Q 分別1.如圖，/ AOB= 30 °點(diǎn) M、N分別在邊 OA、在邊OB、OA上，貝U MP+ PQ+ QN得最小值就是2、已知拋物線(xiàn) yx2 2nx n2 n得頂點(diǎn)為x, y軸于點(diǎn)M ,P,直線(xiàn)y 4N.(1) 若點(diǎn)P在直線(xiàn)MN上，求n得值；(2) 就是否存在過(guò)(0, 2)得直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于 A, B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)得下方)， 使AB為定長(zhǎng)，若存在，求出 AB

16、得長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 在(2)得條件下，當(dāng)四邊形 MABN得周長(zhǎng)最小時(shí)，求 n得值.【意圖】本題綜合考查運(yùn)用初中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容與重要得思想方法解決問(wèn)題得能力.【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)得解析式求法，坐標(biāo)得方法，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)得交點(diǎn)問(wèn)題，一元二次方程根與系數(shù)得關(guān)系等，坐標(biāo)系中定值與最值問(wèn)題.44【解析】(1)配方P (n, n)代入y x93如圖1，設(shè)過(guò)(0， 2)得直線(xiàn)為y kx 2 ,設(shè) Ag%), B(x2,y2)ykx2,聯(lián)立y(xn)2 n消元得x2(k2n )x n2 n 20X22nk ,x1x2n2 n 2,(x1x2)2(x1 x2 )2 4xjX2 k28 (4第24題4k)n

17、AB2(1 k2)k28 (44k)n 要使AB為定長(zhǎng)，則 AB2得值與n得取值無(wú)關(guān)， 44k=0. k=1存在直線(xiàn)y=x 2，使AB為定長(zhǎng)，且 AB=3.2 .4(3)如圖2，易求M ( 3, 0), N(0,)，平移AB,使A點(diǎn)于M點(diǎn)重合，則 B得對(duì)應(yīng)點(diǎn)G剛3好落在y軸上，因?yàn)锳B=3j2，所以G (0, 3).作點(diǎn)G關(guān)于直線(xiàn)y=x 2得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H(5,2).過(guò)G作GF1 y軸，交直線(xiàn) AB于F,連FH,所以FH=FG=5又/ FGAN AFH=45 ,連接NH 交直線(xiàn)y=x 2為點(diǎn)R (2, 0).可證明當(dāng)點(diǎn)B與R重合時(shí)，四邊形MABN得周長(zhǎng)最小.*y將 R (2, 0)代入 y (x n

18、)2n 中,得n 1, n2 4 (舍去). n=1 .六、其她類(lèi)最值1、如圖，在 ABC中，/ C= 90 °點(diǎn)GOMD就是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作BE丄AD交AD得延長(zhǎng)線(xiàn)于E.若AC= 6, BC= 8，則D旦得最大值為( B )AD11A.B.-23提示：比值構(gòu)造相似三角形，于就是過(guò)C.第24題圖2_D3 D.空4 2E作 EF丄 BC于 F,則有 ACSA EFDDEADEFAC，而AC=6所以只要EF最大就比值最大，當(dāng)E在以AB為直徑得半圓弧中點(diǎn)時(shí)，EF最大就是22 .如圖，在O O中，BC就是弦，AD過(guò)圓心 O, AD丄BC. E就是O O上一點(diǎn).F就是AE延 長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，EF=AE.若AD=9, BC=6.設(shè)線(xiàn)段CF長(zhǎng)度得最小值與最大值分別為 m , n,則mn=( )A. 100 B. 9