江蘇省常州市西夏墅中學(xué)高一數(shù)學(xué)《2.4向量的數(shù)量積(2)》學(xué)案

1、江蘇省常州市西夏墅中學(xué)高一數(shù)學(xué)2.4 向量的數(shù)量積（ 2）學(xué)案教學(xué)目標(biāo)：1掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律，能利用數(shù)量積 的 5 個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問(wèn)題；2掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；3通過(guò)師生互動(dòng)，學(xué)生自主探究、交流與合作，培養(yǎng)學(xué)生探求新知及合作能力教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算律的理解教學(xué)方法：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、合作探究教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)導(dǎo)引復(fù)習(xí)提問(wèn)：1（ 1）兩個(gè)非零向量夾角的概念；（ 2）平面向量數(shù)量積的定義； （ 3）“投影”的概 念；（ 4）向量 數(shù)量積的幾何意義；（ 5）兩個(gè)向量的數(shù)量積

2、的性質(zhì)2判斷下列各題正確與否：若 a0，則對(duì)任一向量 b ，有 a b 0 ；( )若 a0 ，則對(duì)任一非零向量b ，有 a b0 ；( × )若 a 0， a b 0 ，則 b0 ；( ×若 a b0 ，則 a,b 至少有一個(gè)為零向量；( × )用心愛(ài)心專心-1-若 a ba c ，則 bc 當(dāng)且僅當(dāng) a0 時(shí)成立；(× )對(duì)任意向量 a ，有 a2| a |2 ( )二、學(xué)生活動(dòng)問(wèn)題 1 已知實(shí)數(shù) a ， b ， c ( b0) ，則 a bb cac . a b =b · ca = c 是否成立？問(wèn)題 2實(shí)數(shù)的運(yùn)算律有ab=ba； a(

3、b+c)= ab+ac； ( ab) c=a( bc) 在向量的數(shù)量積中是否成立？（舉例說(shuō)明）三、建構(gòu)數(shù)學(xué)1數(shù)量積的運(yùn)算律（證明的過(guò)程可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平?jīng)Q定）（1）交換律： abb a ；證明：設(shè) a, b 夾角為，則 a b|a |b | cos ， b a| b | |a | cos， a bb a （2）數(shù)乘結(jié)合律： (a)b(ab)a(b)證明：若0，此式顯然成立若0， (a) b| a |b | cos，(ab)| a |b | cos，a(b)| a | b | cos， (a) b( a b)a(b)若0， (a) b|a |b |cos()|a |b |(cos )| a|b

4、|cos，( ab)| a | b | cos，a (b)|a | b | cos()| a|b|(cos )| a|b |cos ( a) b( a b) a ( b)綜上可知 (a)b(ab)a (b) 成立A（3）分配律： (ab)cacb c 2 bB在平面內(nèi)取一 點(diǎn) O ，作 OA = a ,AB = b ， OC = c ，a1 a b （即 OB ）在 c 方向上的投影等于a, b 在 cOABCc方向上的投影和，即：| ab | cos| a | cos 1 |b | cos 2用心愛(ài)心專心-2- | c | ab | cos| c | a | cos 1| c | b | c

5、os 2 ， c(a b) c a c b即： (ab) ca c b c 說(shuō)明：（ 1）一般 地， ( a b ) · c a ·（ b · c ）（ 2） a · c b · c ， c 0a （ 3）有如下常用性 質(zhì)： a 2 | a | 2 ,( a b ) 2 a2 a b b 2（ a b ）·（ c d ） a · c a · d b · c b · d , 2向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律分析：若有（ a b ） c a（ b · c ），設(shè) a 、 b 夾角 為， b 、

6、c 夾角為 ，則 ( a b ) c | a | ·|b |cos · c ， a ·(b · c ) a ·|b | c |cos ，若 a c ， ，則 | a | | c | ，進(jìn)而有：（ a b ） c a ·(b ? c ) ，這是一種特殊情形，一般情況下不成立舉反例如下：已知 |a |，|b | ，|c |2 ， a 與 b 夾角是60°，b 與 c 夾角是45°，(a b ) · c （ |a | ·|b |cos60 °）·c 1c ，2a ·(b

7、· c ) （ |b |·|c |cos45°） a a而 1 c a ，故（ a b ）· c a ·（ b · c ）2四、數(shù)學(xué)運(yùn)用1例題例 1已知 a, b 都是非零向量， 且a 3b 7a 5b垂直，a4b與7a 2b與垂直，求 a 與 b 的夾角例 2 求證：平行四邊形兩條對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和變式 1 用向量方法證明：菱形對(duì)角線互相垂直變式 2如圖， AD , BE , CF 是ABC 的三條高，求證：AD , BE, CF 相交于一點(diǎn)AEF用心H愛(ài)心專心-3-BCD變式 3用向量證明三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)

8、例 3四邊形ABCD中，AB = a BC = b CD = c DAd，且a·bb·cc·d， d · a ，試問(wèn)四邊形ABCD 是什么圖形？例 4設(shè) a 與 b 是夾角為60°，且 | a | b | ，是否存在滿足條件的a ， b ，使| a + b |=2|a - b | ？請(qǐng)說(shuō)明理由2鞏固（ 1）已知 | a |=1,|b |=2，（ 1）a - b 與 a 垂直，則 ab 的夾角是 _；（ 2）若 a / b ，a b _；（）若a、b的夾角為，則 |a +b |_；33（ 2）已知 |a |=2,|b |=1 ， a 與 b 之間的夾角為，那么向量a -4 b 的模為 _；3| a -4 b | ·|a - b |_（3）設(shè) e 、e 是兩個(gè)單位 向量，其夾角為 600，求向量 a =2 e1 + e2 與 b =2 e2 -3 e1 的夾角；12（4）對(duì)于兩個(gè)非零