初三中考數(shù)學——幾何變換歷年真題和考點總結

1、 中 國 教 育 培 訓 領 軍 品 牌§7幾何變換教學目標板塊教學目標A級目標B級目標C級目標平移了解圖形平移，理解平移中對應點連線平行(或在同一條直線上)且相等的性質能按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形；能依據(jù)平移前后的圖形，指出平移的方向和距離能運用平移的知識解決簡單的計算問題；能運用平移的知識進行圖案設計軸對稱了解圖形的軸對稱，理解對應點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質；了解物體的鏡面對稱能按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；掌握簡單圖形之間的軸對稱關系，并能指出對稱軸；掌握基本圖形的軸對稱性及其相關性質能運用軸對稱進行圖案設計旋轉了解圖形的旋轉，理解對應點到

2、旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等的性質；會識別中心對稱圖形能按要求作出簡單平面圖形旋轉后的圖形，能依據(jù)旋轉前后的圖形，指出旋轉中心和旋轉角能運用旋轉的知識解決簡單的計算問題；能運用旋轉的知識進行圖案設計比例及定理熟知定理內容掌握平行線分線段成比例定理的內容以及其推論，同時會運用定理解決問題會運用定理及其推論的內容來解決相似的問題相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性質，以及掌握相關的模型會運用相似三角形相關的知識解決有關問題學習內容知識梳理 一、幾何變換1、幾何變換幾何變換是一類重要的解題方法，通過幾何變換可以把圖形變得更對稱、更美觀、更便于處理；通過幾

3、何變換可以將互不相鄰的元素集中到一起，使我們能夠更有效地利用條件；通過幾何變換還可以自然地利用圖形本身的對稱性，有意無意地將我們平時注意不到的條件運用到解題中幾何變換可以分為以下幾類：1 平移：即保持點沿同一方向移動相同距離，且保持線段平行的變換平移的性質有：保持角度不變，保持幾何圖形全等2 軸對稱：將圖形沿直線翻折軸對稱的性質有：對應點的連線被對稱軸垂直平分，對應線段的交點在對稱軸上，保持幾何圖形全等3 中心對稱：將圖形關于一個點對稱中心對稱的性質有：對應點的連線的中點永遠是對稱中心，保持幾何圖形全等4 旋轉：即將平面圖形繞一個定點旋轉一個角度旋轉的性質有：對應點到旋轉中心的距離相等，對應直

4、線的夾角等于旋轉角，保持幾何圖形全等5 位似：將圖形關于一個點作放大或縮小變換初中幾何暫時不涉及這部分內容2、平移變換1平移的概念：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大小注：平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內的變換圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個要素是圖形平移的依據(jù)圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小，這個特征是得出圖形平移的基本性質的依據(jù)2平移的基本性質：由平移的基本概念知，經(jīng)過平移，圖形上的每一個點都

5、沿同一個方向移動相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質：經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等(或在同一直線上)，對應線段平行且相等，對應角相等平移變換前后的圖形具有如下性質：對應線段平行(或共線)且相等；對應角的兩邊分別平行且方向一致；對應的圖形是全等形注：要注意正確找出“對應線段，對應角”，從而正確表達基本性質的特征“對應點所連的線段平行且相等”，這個基本性質既可作為平移圖形之間的性質，又可作為平移作圖的依據(jù)3簡單的平移作圖 想一想： 生活中的圖形是由什么構成的？結論：點、線、面 我們知道線可以看作是由許多點構成的，給出一條線段和它平移后的一個端點的位置，你能否作出它平

6、移后的圖形呢？結論：在進行平移作圖時，要知道平移的距離和方向，利用平移的相關性質(如：平移不改變圖形的大小和形狀等)作圖，要找出圖形的關鍵點 平移作圖：確定一個圖形平移后的位置所需條件為：圖形原來的位置；平移的方向；平移的距離平移變換的方法應用平移變換時通過作平行線的手段把圖形中的某條線段或某個角移動到一個新的位置上，使圖形中分散的條件與結論有機地聯(lián)系起來平移法在應用時有三種情況：平移條件：把條件中的某條線段或角平移；平移結論：把結論中的線段或角平移；同時平移條件或結論：是把圖形中條件或結論中的線段或角同時平移5平移變換的主要功能：把分散的線段、角相對集中起來，從而使已知條件集中在一個基本圖形

7、之中，而產生進一步的更加深入的結果，這種思想我們稱之為“集散思想”或者通過平移產生新的圖形，而使問題得以轉化應用平移變換可以把一個角在保持大小不變、角的兩邊方向不變的情況下移動位置也可以使線段在保持平行且相等的條件下移動位置，從而達到相關幾何元素相對集中、使元素之間的關系明朗化的目的因為應用平移變換可以把角在保持大小不變、角的兩邊方向不變的情況下移動位置，也可以使線段在保持平行且相等的條件下移動位置，因此，當條件中有平行四邊形、中點、中位線等情形時，常常可以作平移變換以集中條件、解決問題3、翻折變換軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形.這

8、條直線就是它的對稱軸.這時我們就說這個圖形關于這條直線（或軸）對稱.如下圖，是軸對稱圖形.兩個圖形軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就是說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點.如下圖，與關于直線對稱，叫做對稱軸.和,和，和是對稱點.軸對稱圖形和兩個圖形軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系：軸對稱圖形兩個圖形軸對稱區(qū)別圖形的個數(shù)1個圖形2個圖形對稱軸的條數(shù)一條或多條只有1條聯(lián)系二者都的關于對稱軸對稱的對稱軸的性質：對稱軸所在直線經(jīng)過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段.即：如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點

9、所連線段的垂直平分線.類似地，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.如圖，直線經(jīng)過線段的中點，并且垂直于線段，則直線就是線段的垂直平分線.線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.如圖，點是線段垂直平分線上的點，則.線段垂直平分線的判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.成軸對稱的兩個圖形的對稱軸的畫法：如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.因此，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以

10、得到這兩個圖形的對稱軸.成軸對稱的兩個圖形的主要性質：成軸對稱的兩個圖形全等如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點連線的垂直平分線軸對稱變換的方法應用：軸對稱變換是通過作圖形關于一直線的對稱圖形的手段，把圖形中的某一圖形對稱地移動到一個新的位置上，使圖形中的分散條件和結論有機地聯(lián)系起來常用的輔助線有角平分線條件時的各種輔助線，本質上都是對稱變換的思想軸對稱變換應用時有下面兩種情況：（1）圖形中有軸對稱圖形條件時，可考慮用此變換；（2）圖形中有垂線條件時，可考慮用此變換4、旋轉有關概念旋轉：把一個圖形繞著某一點轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，點叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角，

11、如果圖形上的點經(jīng)過旋轉變?yōu)辄c，那么這兩個點叫做這個旋轉的的對應點(如圖)注意：研究旋轉問題應把握兩個元素：旋轉中心與旋轉角每一組對應點所構成的旋轉角相等旋轉的性質：旋轉后的圖形與原圖形是全等的；(進而得到相等的線段、相等的角)旋轉前后兩個圖形對應點到旋轉中心的距離相等；(進而得到等腰三角形)對應點與旋轉中心所連線段的夾角都等于旋轉角；(若特殊角則得到等邊三角形、等腰直角三角形)旋轉作圖的基本步驟：由旋轉的性質可知，旋轉作圖必須具備兩個重要條件：旋轉中心；旋轉方向及旋轉角度具體步驟分以下幾步：連：即連接圖形中每一個關鍵點與旋轉中心轉：即把連線按要求繞旋轉中心轉過一定角度(作旋轉角)截：即在角的另

12、一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點連：即連接所得到的各點5、中心對稱中心對稱的有關概念：把一個圖形繞著某一點旋轉，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做中心對稱點，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點(如圖)注意：兩個圖形成中心對稱是旋轉角為定角()的旋轉問題，它是一種特殊的旋轉，反映的是兩個圖形的一種特殊關系中心對稱闡明的是兩個圖形的特殊位置關系中心對稱的特征：關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行(或在同一直線上)且相等如果

13、連接兩個圖形的對應點的線段都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形一定關于這一點成中心對稱中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心(如圖)中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系：中心對稱是指兩個圖形的關系，中心對稱圖形是指具有某種性質的一個圖形若把中心對稱圖形的兩個部分分別看作兩個圖形，則他們成中心對稱；若把中心對稱的兩個圖形看作一個整體，則成為中心對稱圖形關于原點對稱的點的坐標特征：兩個點關于原點對稱時，他們坐標符號相反，反過來，只要兩個點的坐標符號相反，則兩個點關于原點對稱中心對稱圖形與旋轉對稱圖形

14、的比較：名稱定義區(qū) 別聯(lián) 系旋轉對稱圖形如果一個圖形繞著某一點旋轉一定角度(小于周角)后能與原圖形完全重合，那么這個圖形叫做旋轉對稱圖形旋轉角度不一定是旋轉對稱圖形只有旋轉才是中心對稱圖形，而中心對稱圖形一定是旋轉對稱圖形中心對稱圖形如果一個圖形繞某一點旋轉后能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形必須旋轉中心對稱圖形與軸對稱圖形比較：名稱定義基本圖形區(qū)別舉例中心對稱圖形如果一個圖形繞著某點旋轉后能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形繞某一點旋轉線段、平行四邊形、矩形、菱形、圓軸對稱圖形如果一個圖形沿某一條直線翻折后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這樣的圖形叫做軸對稱圖形沿某一條直線翻

15、折(對折)線段、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓二、相似1、比例線段板塊一 比例的性質1這一性質稱為比例的基本性質,由它可推出許多比例形式;2(反比定理);3(或)(更比定理);4(合比定理);5(分比定理);6(合分比定理);7(等比定理).板塊二 成比例線段1比例線段對于四條線段，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如（即），那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段2比例的項在比例式（）中，稱為比例外項，稱為比例內項，叫做的第四比例項三條線段（）中，叫做和的比例中項3黃金分割如圖，若線段上一點把線段分成兩條線段和（），且使是和的比例中項（即）則稱線段被點黃金分割

16、，點叫線段的黃金分割點，其中，與的比叫做黃金比板塊三 平行線分線段成比例定理1定理三條直線截兩條直線，截得的對應線段成比例2推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例3推論的逆定理如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊4三角形一邊的平行線性質平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例如圖，則若將稱為上，稱為下，稱為全，上述比例式可以形象地表示為當三條平行線退化成兩條的情形時，就成了“”字型，“”字型則有板塊四 拓展定理1、梅涅勞斯定理梅內勞斯（Men

17、elaus，公元98年左右），是希臘數(shù)學家兼天文學家梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個重要定理梅涅勞斯定理：、分別是三邊所在直線、上的點則、共線的充分必要條件是：根據(jù)命題的條件可以畫出如圖所示的兩個圖形：或、三點中只有一點在三角形邊的延長線上，而其它兩點在三角形的邊上；或、三點分別都在三角形三邊的延長線上證明：（1）必要性，即若、三點共線，則設、到直線的距離分別為、則，、，三式相乘即得（2）充分性，即若，則、三點共線設直線交于，由已證必要性得：又因為，所以因為和或同在線段上，或同在邊的延長線上，并且能分得比值相等，所以和比重合為一點，也就是、三點共線梅涅勞斯定理的應用，一是求共線線段的筆，即在、三

18、個比中，已知其中兩個可以求得第三個二是證明三點共線2、塞瓦定理連結三角形一個頂點和對邊上一點的線段叫做這個三角形的一條塞瓦線塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數(shù)學家兼水利工程師他在1678年發(fā)表了一個著名的定理，后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理塞瓦定理：從的每個頂點出發(fā)作一條塞瓦線則共點的充分必要條件是充分性命題：設的三條塞瓦線共點，則必有必要性命題：設中，是三條塞瓦線，如果，則三線共點我們先證明充分性命題如圖，設相交于點，過作邊的平行線，分別交的延長線于由平行截割定理，得上面三式兩邊分別相乘得：我們再證明必要性命題假設與這兩條塞瓦線相交于點，連交于則也是一條過點的的塞

19、瓦線根據(jù)已證充分性命題，可得，由因為，進而可得所以，因此所以與重合，從而和重合，于是得出共點塞瓦定理在平面幾何證題中有著舉足輕重的作用第一方面，利用塞瓦定理的必要性可證明三線共點問題第二方面，當一個三角形有三條塞瓦線共點時，依據(jù)塞瓦定理的充分性命題，就可以得出六條線段比例乘積等于1的關系式利用這個關系式可以證明線段之間的比例式或乘積式2、相似三角形板塊一 相似的有關概念1相似形具有相同形狀的圖形叫做相似形相似形僅是形狀相同，大小不一定相同相似圖形之間的互相變換稱為相似變換2相似圖形的特性兩個相似圖形的對應邊成比例，對應角相等3相似比兩個相似圖形的對應角相等，對應邊成比例板塊二 相似三角形的概念

20、1相似三角形的定義對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三角形如圖，與相似，記作，符號讀作“相似于”2相似比相似三角形對應邊的比叫做相似比全等三角形的相似比是1“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”板塊三 相似三角形的性質1相似三角形的對應角相等如圖，與相似，則有2相似三角形的對應邊成比例如圖，與相似，則有（為相似比）3相似三角形的對應邊上的中線，高線和對應角的平分線成比例，都等于相似比如圖1，與相似，是中邊上的中線，是中邊上的中線，則有（為相似比）圖1如圖2，與相似，是中邊上的高線，是中邊上的高線，則有（為相似比）圖2如圖3，與相似，是中的角平分線，是中的角平分線，則

21、有（為相似比）圖34相似三角形周長的比等于相似比如圖4，與相似，則有（為相似比）應用比例的等比性質有圖45相似三角形面積的比等于相似比的平方如圖5，與相似，是中邊上的高線，是中邊上的高線，則有（為相似比）進而可得圖5板塊四 相似三角形的判定1平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似2如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似可簡單說成：兩角對應相等，兩個三角形相似3如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似4如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的你對應成比例，那么這兩個三角形

22、相似可簡單地說成：三邊對應成比例，兩個三角形相似5如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似6直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形相似（常用但要證明）7如果一個等腰三角形和另一個等腰三角形的頂角相等或一對底角相等，那么這兩個等腰三角形相似；如果它們的腰和底對應成比例，那么這兩個等腰三角形也相似板塊五 相似證明中的比例式或等積式、比例中項式、倒數(shù)式、復合式證明比例式或等積式的主要方法有“三點定形法”1橫向定型法欲證，橫向觀察，比例式中的分子的兩條線段是和，三個字母恰為的頂點；分母的兩條線段是和，三個字母恰為的三個頂點因此只需

23、證2縱向定型法欲證，縱向觀察，比例式左邊的比和中的三個字母恰為的頂點；右邊的比兩條線段是和中的三個字母恰為的三個頂點因此只需證3中間比法由于運用三點定形法時常會碰到三點共線或四點中沒有相同點的情況，此時可考慮運用等線，等比或等積進行變換后，再考慮運用三點定形法尋找相似三角形這種方法就是等量代換法在證明比例式時，常用到中間比比例中項式的證明，通常涉及到與公共邊有關的相似問題。這類問題的典型模型是射影定理模型，模型的特征和結論要熟練掌握和透徹理解倒數(shù)式的證明，往往需要先進行變形，將等式的一邊化為1，另一邊化為幾個比值和的形式，然后對比值進行等量代換，進而證明之復合式的證明比較復雜通常需要進行等線代

24、換（對線段進行等量代換），等比代換，等積代換，將復合式轉化為基本的比例式或等積式，然后進行證明板塊六 相似證明中常見輔助線的作法在相似的證明中，常見的輔助線的作法是做平行線構造成比例線段或相似三角形，同時再結合等量代換得到要證明的結論常見的等量代換包括等線代換、等比代換、等積代換等如圖：平分交于，求證：證法一：過作，交的延長線于，點評：做平行線構造成比例線段，利用了“A”型圖的基本模型證法二；過作的平行線，交的延長線于，點評：做平行線構造成比例線段，利用了“X”型圖的基本模型板塊七 相似證明中的面積法面積法主要是將面積的比，和線段的比進行相互轉化來解決問題常用的面積法基本模型如下：如圖：如圖：

25、如圖：板塊八 相似證明中的基本模型例題講解 板塊一：幾何變換考點一：軸對稱圖形例1 （2012柳州）娜娜有一個問題請教你，下列圖形中對稱軸只有兩條的是（）AB CD圓 等邊三角形 矩形 等腰梯形考點：軸對稱圖形分析：根據(jù)軸對稱圖形的概念，分別判斷出四個圖形的對稱軸的條數(shù)即可解答：解：A、圓有無數(shù)條對稱軸，故本選項錯誤；B、等邊三角形有3條對稱軸，故本選項錯誤；C、矩形有2條對稱軸，故本選項正確；D、等腰梯形有1條對稱軸，故本選項錯誤故選C點評：本題考查軸對稱圖形的概念，解題關鍵是能夠根據(jù)軸對稱圖形的概念正確找出各個圖形的對稱軸的條數(shù)，屬于基礎題例2 （2012成都）如圖，在平面直角坐標系xOy

26、中，點P（-3，5）關于y軸的對稱點的坐標為（）A（-3，-5）B（3，5）C（3-5）D（5，-3）考點：關于x軸、y軸對稱的點的坐標分析：根據(jù)關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)解答解答：解：點P（-3，5）關于y軸的對稱點的坐標為（3，5）故選B點評：本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；（3）關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)對應訓練1. （2012寧波）下列交通標志圖案是軸對稱圖形的是（）ABCD考點：軸對稱圖形專題

27、：常規(guī)題型分析：根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷后利用排除法求解解答：解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B、是軸對稱圖形，故本選項正確；C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤故選B點評：本題考查了軸對稱圖形，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合2（2012沈陽）在平面直角坐標系中，點P（-1，2）關于x軸的對稱點的坐標為（）A（-1，-2）B（1，-2）C（2，-1）D（-2，1）考點：關于x軸、y軸對稱的點的坐標分析：根據(jù)關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)解答解答：解：點P（-1，2）

28、關于x軸的對稱點的坐標為（-1，-2）故選A點評：本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；（3）關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)考點二：最短路線問題例3 （2012黔西南州）如圖，拋物線y= x2+bx-2與x軸交于A、B兩點，與y交于C點，且A（-1，0），點M（m，0）是x軸上的一個動點，當MC+MD的值最小時，m的值是（）ABCD考點：軸對稱-最短路線問題；二次函數(shù)的性質；相似三角形的判定與性質分析：首先可求得二次函數(shù)的頂點坐標，

29、再求得C關于x軸的對稱點C，求得直線CD的解析式，與x軸的交點的橫坐標即是m的值解答：解：點A（-1，0）在拋物線y=x2+bx-2上，×（-1）2+b×（-1）-2=0，b=-，拋物線的解析式為y=x2-x-2，頂點D的坐標為（，-），作出點C關于x軸的對稱點C，則C（0，2），OC=2連接CD交x軸于點M，根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MD的值最小 設拋物線的對稱軸交x軸于點EEDy軸，OCM=EDM，COM=DEMCOMDEM，即，m=故選B點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，軸對稱性質以及相似三角形的性質，關鍵在于求出函數(shù)表達式，作

30、出輔助線，找對相似三角形對應訓練3. （2012貴港）如圖，MN為O的直徑，A、B是O上的兩點，過A作ACMN于點C，過B作BDMN于點D，P為DC上的任意一點，若MN=20，AC=8，BD=6，則PA+PB的最小值是 考點：軸對稱-最短路線問題；勾股定理；垂徑定理專題：探究型分析：先由MN=20求出O的半徑，再連接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的長，作點B關于MN的對稱點B，連接AB，則AB即為PA+PB的最小值，BD=BD=6，過點B作AC的垂線，交AC的延長線于點E，在RtABE中利用勾股定理即可求出AB的值解答：解：MN=20，O的半徑=10，連接OA、OB，在RtOBD中，OB

31、=10，BD=6，OD=8；同理，在RtAOC中，OA=10，AC=8，OC=6，CD=8+6=14，作點B關于MN的對稱點B，連接AB，則AB即為PA+PB的最小值，BD=BD=6，過點B作AC的垂線，交AC的延長線于點E，在RtABE中，AE=AC+CE=8+6=14，BE=CD=14，AB=故答案為：點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題、垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵考點三：中心對稱圖形例4 （2012襄陽）下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）ABCD考點：中心對稱圖形；軸對稱圖形分析：依據(jù)軸對稱圖形與中心對稱

32、的概念即可解答解答：解：B選項是軸對稱也是中心對稱圖形，C、D選項是軸對稱但不是中心對稱圖形，A選項只是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形故選A點評：對軸對稱與中心對稱概念的考查：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸如果一個圖形繞某一點旋轉180°后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心對應訓練4（2012株洲）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）來源:Zxxk.ComABCD考點：中心對稱圖形；軸對稱圖形分析：根據(jù)中心對稱圖形的定義旋轉180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，

33、以及軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，即可判斷出答案解答：解：A、此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；B、此圖形不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；C、此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項正確；D、此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項錯誤故選C點評：此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱的定義，關鍵是找出圖形的對稱中心與對稱軸考點四：平移旋轉的性質例5 （2012義烏市）如圖，將周長為8的ABC沿BC方向平移1個單位得到DEF，則四邊形ABFD的周長為（）A6B8C

34、10D12考點：平移的性質分析：根據(jù)平移的基本性質，得出四邊形ABFD的周長=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案解答：解：根據(jù)題意，將周長為8個單位的等邊ABC沿邊BC向右平移1個單位得到DEF，AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；又AB+BC+AC=8，四邊形ABFD的周長=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10故選；C點評：本題考查平移的基本性質：平移不改變圖形的形狀和大??；經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等得到CF=AD，DF=AC是解題的關鍵例6 （2012十堰）如圖，O是正ABC內一點，OA=3

35、，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO，下列結論：BOA可以由BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；點O與O的距離為4；AOB=150°；S四邊形AOBO=6+3；SAOC+SAOB=6+其中正確的結論是（）ABCD考點：旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；勾股定理的逆定理分析：證明BOABOC，又OBO=60°，所以BOA可以由BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，故結論正確；由OBO是等邊三角形，可知結論正確；在AOO中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，故AOO是直角三角形；進而求得

36、AOB=150°，故結論正確；S四邊形AOBO=SAOO+SOBO=6+4，故結論錯誤；如圖，將AOB繞點A逆時針旋轉60°，使得AB與AC重合，點O旋轉至O點利用旋轉變換構造等邊三角形與直角三角形，將SAOC+SAOB轉化為SCOO+SAOO，計算可得結論正確解答：解：由題意可知，1+2=3+2=60°，1=3，又OB=OB，AB=BC，BOABOC，又OBO=60°，BOA可以由BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，故結論正確；如圖，連接OO，OB=OB，且OBO=60°，OBO是等邊三角形，OO=OB=4故結論正確；BOABOC，O

37、A=5在AOO中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，AOO是直角三角形，AOO=90°，AOB=AOO+BOO=90°+60°=150°，故結論正確；S四邊形AOBO=SAOO+SOBO=×3×4+×42=6+4，故結論錯誤；如圖所示，將AOB繞點A逆時針旋轉60°，使得AB與AC重合，點O旋轉至O點易知AOO是邊長為3的等邊三角形，COO是邊長為3、4、5的直角三角形，則SAOC+SAOB=S四邊形AOCO=SCOO+SAOO=×3×4+×32=6+，故結論正確綜上所述，正確的結論

38、為：故選A點評：本題考查了旋轉變換中等邊三角形，直角三角形的性質利用勾股定理的逆定理，判定勾股數(shù)3、4、5所構成的三角形是直角三角形，這是本題的要點在判定結論時，將AOB向不同方向旋轉，體現(xiàn)了結論-結論解題思路的拓展應用對應訓練5.（2012莆田）如圖，ABC是由ABC沿射線AC方向平移2cm得到，若AC=3cm，則AC= 1cm考點：平移的性質分析：先根據(jù)平移的性質得出AA=2cm，再利用AC=3cm，即可求出AC的長解答：解：將ABC沿射線AC方向平移2cm得到ABC，AA=2cm，又AC=3cm，AC=AC-AA=1cm故答案為：1點評：本題主要考查對平移的性質的理解和掌握，能熟練地運用

39、平移的性質進行推理是解此題的關鍵6（2012南通）如圖RtABC中，ACB=90°，B=30°，AC=1，且AC在直線l上，將ABC繞點A順時針旋轉到，可得到點P1，此時AP1=2；將位置的三角形繞點P1順時針旋轉到位置，可得到點P2，此時AP2=2+ ；將位置的三角形繞點P2順時針旋轉到位置，可得到點P3，此時AP3=3+ ；按此規(guī)律繼續(xù)旋轉，直到點P2012為止，則AP2012等于（）A2011+671B2012+671C2013+671D2014+671考點：旋轉的性質專題：規(guī)律型分析：仔細審題，發(fā)現(xiàn)將RtABC繞點A順時針旋轉，每旋轉一次，AP的長度依次增加2，1，

40、且三次一循環(huán)，按此規(guī)律即可求解解答：解：RtABC中，ACB=90°，B=30°，AC=1，AB=2，BC=，將ABC繞點A順時針旋轉到，可得到點P1，此時AP1=2；將位置的三角形繞點P1順時針旋轉到位置，可得到點P2，此時AP2=2+；將位置的三角形繞點P2順時針旋轉到位置，可得到點P3，此時AP3=2+1=3+；又2012÷3=6702，AP2012=670（3+）+2+=2012+671故選B點評：本題考查了旋轉的性質及直角三角形的性質，得到AP的長度依次增加2，1，且三次一循環(huán)是解題的關鍵考點五：圖形的折疊例7 （2012遵義）如圖，矩形ABCD中，E是

41、AD的中點，將ABE沿BE折疊后得到GBE，延長BG交CD于F點，若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長為（）A 3B2C2D2考點：翻折變換（折疊問題）。810360 分析：首先過點E作EMBC于M，交BF于N，易證得ENGBNM（AAS），MN是BCF的中位線，根據(jù)全等三角形的性質，即可求得GN=MN，由折疊的性質，可得BG=3，繼而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的長解答：解：過點E作EMBC于M，交BF于N，四邊形ABCD是矩形，A=ABC=90°，AD=BC，EMB=90°，四邊形ABME是矩形，AE=BM，由折疊的性質得：AE=GE，EGN=A=90°

42、;，EG=BM，ENG=BNM，ENGBNM（AAS），NG=NM，CM=DE，E是AD的中點，AE=ED=BM=CM，EMCD，BN：NF=BM：CM，BN=NF，NM=CF=，NG=，BG=AB=CD=CF+DF=3，BN=BGNG=3=，BF=2BN=5，BC=2故選B點評：此題考查了矩形的判定與性質、折疊的性質、三角形中位線的性質以及全等三角形的判定與性質此題難度適中，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用例8 （2012天津）已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標洗中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經(jīng)過點O、P折疊該紙

43、片，得點B和折痕OP設BP=t（）如圖，當BOP=30°時，求點P的坐標；（）如圖，經(jīng)過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB上，得點C和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；（）在（）的條件下，當點C恰好落在邊OA上時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）考點：翻折變換（折疊問題）；坐標與圖形性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；相似三角形的判定與性質專題：幾何綜合題分析：（）根據(jù)題意得，OBP=90°，OB=6，在RtOBP中，由BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；（）由OBP、QCP分別是由OBP、

44、QCP折疊得到的，可知OBPOBP，QCPQCP，易證得OBPPCQ，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案；（）首先過點P作PEOA于E，易證得PCECQA，由勾股定理可求得CQ的長，然后利用相似三角形的對應邊成比例與m= t2- t+6，即可求得t的值解答：解：（）根據(jù)題意，OBP=90°，OB=6，在RtOBP中，由BOP=30°，BP=t，得OP=2tOP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=-2（舍去）點P的坐標為（2，6）（）OBP、QCP分別是由OBP、QCP折疊得到的，OBPOBP，QCPQCP，OPB=OPB，QPC=Q

45、PC，OPB+OPB+QPC+QPC=180°，OPB+QPC=90°，BOP+OPB=90°，BOP=CPQ又OBP=C=90°，OBPPCQ，由題意設BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11-t，CQ=6-mm= t2- t+6（0t11）（）過點P作PEOA于E，PEA=QAC=90°，PCE+EPC=90°，PCE+QCA=90°，EPC=QCA，PCECQA，PC=PC=11-t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6-m，AC=，m= t2- t+6，解得：t1=，t2=，點P的坐標為（，6）或（

46、，6）點評：此題考查了折疊的性質、矩形的性質以及相似三角形的判定與性質等知識此題難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意數(shù)形結合思想與方程思想的應用對應訓練7（2012資陽）如圖，在ABC中，C=90°，將ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，已知MNAB，MC=6，NC=，則四邊形MABN的面積是（）ABCD考點：翻折變換（折疊問題）。810360 分析：首先連接CD，交MN于E，由將ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，即可得MNCD，且CE=DE，又由MNAB，易得CMNCAB，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形對應高的

47、比等于相似比，即可得，又由MC=6，NC=，即可求得四邊形MABN的面積解答：解：連接CD，交MN于E，將ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，MNCD，且CE=DE，CD=2CE，MNAB，CDAB，CMNCAB，在CMN中，C=90°，MC=6，NC=，SCMN=CMCN=×6×2=6，SCAB=4SCMN=4×6=24，S四邊形MABN=SCABSCMN=246=18故選C點評：此題考查了折疊的性質、相似三角形的判定與性質以及直角三角形的性質此題難度適中，解此題的關鍵是注意折疊中的對應關系，注意數(shù)形結合思想的應用8（2012深圳）

48、如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E，交BC于點F，連接AF、CE，（1）求證：四邊形AFCE為菱形；（2）設AE=a，ED=b，DC=c請寫出一個a、b、c三者之間的數(shù)量關系式考點：翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質；菱形的判定分析：（1）由矩形ABCD與折疊的性質，易證得CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可證得AF=CF=CE=AE，即可得四邊形AFCE為菱形；（2）由折疊的性質，可得CE=AE=a，在RtDCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之間的數(shù)量關系式為：a2=b2+c2解答：（1）證明：四邊形ABCD是矩形，ADBC，AEF=

49、EFC，由折疊的性質，可得：AEF=CEF，AE=CE，AF=CF，EFC=CEF，CF=CE，AF=CF=CE=AE，四邊形AFCE為菱形；（2）a、b、c三者之間的數(shù)量關系式為：a2=b2+c2理由：由折疊的性質，得：CE=AE，四邊形ABCD是矩形，D=90°，AE=a，ED=b，DC=c，CE=AE=a，在RtDCE中，CE2=CD2+DE2，a、b、c三者之間的數(shù)量關系式為：a2=b2+c2點評：此題考查了矩形的性質、折疊的性質、菱形的判定以及勾股定理等知識此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用，注意折疊中的對應關系考點六：簡單的圖形變換作用例9 （2012廣州）如圖，P

50、的圓心為P（-3，2），半徑為3，直線MN過點M（5，0）且平行于y軸，點N在點M的上方（1）在圖中作出P關于y軸對稱的P根據(jù)作圖直接寫出P與直線MN的位置關系（2）若點N在（1）中的P上，求PN的長考點：作圖-軸對稱變換；直線與圓的位置關系專題：作圖題分析：（1）根據(jù)關于y軸對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等找出點P的位置，然后以3為半徑畫圓即可；再根據(jù)直線與圓的位置關系解答；（2）設直線PP與MN相交于點A，在RtAPN中，利用勾股定理求出AN的長度，在RtAPN中，利用勾股定理列式計算即可求出PN的長度解答：解：（1）如圖所示，P即為所求作的圓，P與直線MN相交；（2）設直線PP與M

51、N相交于點A，在RtAPN中，AN=，在RtAPN中，PN=點評：本題考查了利用軸對稱變換作圖，直線與圓的位置關系，勾股定理的應用，熟練掌握網(wǎng)格結構，準確找出點P的位置是解題的關鍵對應訓練9（2012涼山州）如圖，梯形ABCD是直角梯形（1）直接寫出點A、B、C、D的坐標；（2）畫出直角梯形ABCD關于y軸的對稱圖形，使它與梯形ABCD構成一個等腰梯形（3）將（2）中的等腰梯形向上平移四個單位長度，畫出平移后的圖形（不要求寫作法）考點：作圖-軸對稱變換；直角梯形；等腰梯形的性質；作圖-平移變換分析：（1）根據(jù)A，B，C，D，位置得出點A、B、C、D的坐標即可；（2）首先求出A，B兩點關于y軸對稱點，在坐標系中找出，連接各點，即可得出圖象，（3）將對應點分別向上移動4個單位，即可得出圖象解答：解：（1）如圖所示：根據(jù)A，B，C，D，位置得出點A、B、C、D的坐標分別為：（-2，-1），（-4，-4），（0，-4），（0，-1）；（2）根據(jù)A，B兩點關于y軸對稱點分別為：A（2，-1），（4，-4），在坐標系中找出，連接各點，即可得出圖象，如圖所示；（3）將對應點分別向上移動