第2章 晶格熱振動

1、編輯ppt第二章 晶格熱振動 Thermal Vibration of Lattice2.0 引言n一維晶格熱振動，色散關系，周期性邊界條件n三維晶格熱振動的特點和一般規(guī)律n晶格熱振動的量子化，聲子n聲子統(tǒng)計分布函數(shù)，晶格熱振動能n晶格比熱的Einstein模型n晶格比熱的Debye模型n晶格熱傳導一、基本內(nèi)容二、學習要點n掌握格波的概念和色散關系n正確理解聲子的概念及其統(tǒng)計分布n掌握態(tài)密度的求法n熟練掌握固體比熱的計算方法n掌握聲子的碰撞過程及其對固體熱導的影響2.1 一維晶格（原子鏈）的熱振動unun+1un-1一、一維簡單晶格的熱振動一維簡單晶格位移示意圖 un: -第n個原子 偏離平衡

2、位置的位移 m: -原子質(zhì)量am2.1 一維晶格（原子鏈）的熱振動22200( )1( )( )(0)2( )0 xxdV xd V xV xVxxdxdxdV xdx221( )2d V xdx一、一維簡單晶格的熱振動V(r)r拋物線近似選擇合適的勢能零點，有21( )2( )( )V xxdV xf xxdx 令：簡諧近似一、一維簡單晶格的熱振動第個n原子受力:)2()()(1111nnnnnnnnuuuuuuuF2.1 一維晶格（原子鏈）的熱振動)2(1122nnnnuuudtudm)(nqatinAeu牛頓方程：試探解：nu將特解代入牛頓方程得：)cos1 (22qam2.1 一維晶格

3、（原子鏈）的熱振動一、一維簡單晶格的熱振動（1） q的物理意義， 2/q 討論格波的概念 色散關系：22(1 cos)sin22sin2qaqammqamq-/a/aq 的取值限定在第一布里淵區(qū)內(nèi)2.1 一維晶格（原子鏈）的熱振動一、一維簡單晶格的熱振動ppqqvqvqvvg相速度：d群速度：=d當：,0q 類似于連續(xù)介質(zhì)中的彈性波稱之為：振動2.1 一維晶格（原子鏈）的熱振動一、一維簡單晶格的熱振動Nnnuu周期性邊界條件)(nqatineu1iqNae2qNal , 2, 1, 0llNaNalq22qaa:22NNl N個q， 獨立振動的模式數(shù)與自由度相等2.1 一維晶格（原子鏈）的熱振

4、動二、一維復式晶格的熱振動unvnvn-1amun+1un-1M un-第n個m原子 偏離平衡位置的位移 vn-第n個M原子 偏離平衡位置的位移 m: -原子質(zhì)量 M:-原子質(zhì)量 a:-晶胞常數(shù) 2.1 一維晶格（原子鏈）的熱振動二、一維復式晶格的熱振動212(2)nnnnd uMuuvdt)2(122nnnnuvvdtudm)(nqatinAeu)(nqatinBev牛頓方程試探解2.1 一維晶格（原子鏈）的熱振動二、一維復式晶格的熱振動0) 1()2(2BeAmiqa0)2() 1(2BmAeiqa將試探解代入牛頓方程可以得到：關于A,B齊次方程組無窮多解,有非零A,B解條件是方程組系數(shù)行

5、列式為零，可以得到一個關于2的一元二次方程，解得：1212222222(2cos) (2cos) mMmMmMqamMmMmMmMqamM2.1 一維晶格（原子鏈）的熱振動二、一維復式晶格的熱振動-/a/a+-光學支聲學支q2.1 一維晶格（原子鏈）的熱振動二、一維復式晶格的熱振動Nnnuu11NuuNnnvv11Nvv 周期邊界條件1iqNae2qNal , 2, 1, 0llNaNalq22qaa:22NNl N個q， 2N個獨立振動的模式數(shù)與自由度相等光學支N個振動模式光學支N個振動模式2.2 三維晶格的熱振動二、一維復式晶格的熱振動0qAmBM 02)1 (2meBAiqa1AB單胞質(zhì)

6、心不動， 異類原子相向運動，離子晶體可以同光波發(fā)生強烈相互作用，故稱為光學振動， 光學模頻率高,用激光可激發(fā)該振動所代表的振動所代表的振動單胞內(nèi)異類原子同向運動，頻率與波矢成線性關系，與連續(xù)介質(zhì)中的彈性波類似，故稱為聲學振動，聲學波可以用聲波激發(fā)其振動三、三維復式晶格的熱振動的一般規(guī)律周期性邊界條件同樣實用于三維晶體可以找到一組坐標變換，可以將三維晶格振動處理成獨立的簡諧振動所以可以得出，q的取值與一維情況是相近的，而且，波矢同樣要限制在第一布里淵區(qū)以內(nèi)。2.2 三維晶格的熱振動1 1223 311112222333320, 1,2, 320, 1,2, 320, 1,2, 3qqqlqlN

7、alqlN alqlN aqbbb三、三維復式晶格的熱振動的一般規(guī)律123NN N N2.2 三維晶格的熱振動若三維晶體每個單胞中含有n個原子，共有N個單胞總的的獨立晶格振動模式數(shù)：3nN個由于聲學格波在長波極限下代表單胞的整體運動，所以聲學振動的模式數(shù)為：3N個；聲學支的色散關系共有3個；光學振動的獨立模式數(shù)為：3nN-3N = 3(n-1)N個三、三維復式晶格的熱振動的一般規(guī)律2.2 三維晶格的熱振動),(iiiiiizyxzyxQQ),(iiiiiizyxzyxQQ正則坐標：所有原子坐標的線性組合正則動量：所有動量的線性組合三、三維復式晶格的熱振動的一般規(guī)律引入：11331133.nNn

8、NnNnNQxQxQxQxM2.2 三維晶格的熱振動三、三維復式晶格的熱振動的一般規(guī)律在上述正則變換下：體系的總能量可以表達為：2211()22iiiEQQ量子化以后，可以看成是3nN個獨立的線性諧振子，其哈密頓量沒有勢能的交叉項：nNiiHH31總2.2 三維晶格的熱振動三、三維復式晶格的熱振動的一般規(guī)律）（21n上述3nN個獨立的線性諧振子的薛定諤方程可以分離變量求解，其能量本證值為：晶格振動的能量量子聲子聲子是晶格集體振動的一種元激發(fā)類比：光波和光子 聲波和聲子2.2 三維晶格的熱振動三、三維復式晶格的熱振動的一般規(guī)律晶格振動的能量量子為聲子, 聲子能量：聲子動量：q12n （）一個格波

9、能量激發(fā)n個聲子，能量減少，意味聲子湮滅電子聲子碰撞:能量,動量都守恒聲子聲子碰撞:能量,動量都守恒聲子數(shù)不守恒： 玻色子2.2 三維晶格的熱振動三、三維復式晶格的熱振動的一般規(guī)律11Bk Tne聲子的統(tǒng)計分布晶格振動的總能量（E0零點振動能）01expETkEB2.2 三維晶格的熱振動三、三維復式晶格的熱振動的一般規(guī)律2.2 三維晶格的熱振動dgTkEB)(1expmax0兩個相鄰的頻率或波矢相差很小，晶格熱振動總能量可以用積分表示2.3晶格比熱的實驗研究結(jié)果BVNkC33 TCV當溫度很高時，實驗發(fā)現(xiàn)所有固體的晶格比熱均趨于相同的常數(shù)離子固體：T0，n杜隆-柏替（Dulung-Petit）

10、定律2.4 晶格比熱的愛因斯坦模型3exp1aBENk T愛因斯坦溫度2.4 晶格比熱的愛因斯坦模型愛因斯坦模型實驗結(jié)果TCv通過色散關系加以討論-/a/a+-光學支聲學支q溫度較高高頻聲子激發(fā)為主高頻下，頻率近似為常數(shù)愛因斯坦模型更適合較高溫度的情形2.4 晶格比熱的愛因斯坦模型2.5 晶格比熱的德拜（Debye）模型-/a/a+-光學支聲學支qq的線性區(qū)域一、模型n考慮到愛因斯坦模型在低溫下與實驗不符，德拜主要考慮低溫下的情況;n通過分析色散關系中低頻聲學支特點可以發(fā)現(xiàn)，當頻率較低時，頻率同波矢近于線性關系；n在溫度較低時，激發(fā)的聲子主要是低頻聲子，所以可以假定頻率與波矢成正比；n在物理上

11、，實質(zhì)上是將晶格振動看成是連續(xù)介質(zhì)中的彈性波，因為低頻下，波長遠大于晶格常數(shù)，所以晶體可以看成是連續(xù)介質(zhì)。2.5 晶格比熱的德拜（Debye）模型一、模型態(tài)密度2.5 晶格比熱的德拜（Debye）模型二、態(tài)密度在倒空間中q的取值是均勻分布的l1, l2, l3, 整數(shù)b2b1b32.5 晶格比熱的德拜（Debye）模型二、態(tài)密度倒空間每個q所代表的點形成的“點陣”在倒空間，每個q所占的體積為：33123121233()(2 )()(2 )qcbbbbbbVNNNNNVVV=NVc 是晶體的體積2.5 晶格比熱的德拜（Debye）模型二、態(tài)密度b1b2b3q倒易空間q的密度為：223224d4d

12、( )d(2 ) /d2qqqqqqqVVVqq2.5 晶格比熱的德拜（Debye）模型二、態(tài)密度( )( )gdq dq( )( )dqgqd 由于和q是一一對應的， 所以有2.5 晶格比熱的德拜（Debye）模型三、晶格比熱2.6 晶體的熱膨脹V(r)r拋物線近似( )/( )/BBV xk TV xk Txedxxedx溫度為T時，一維晶體中原子的平均距離為： 若勢函數(shù)時是對稱的，上式為零，晶體表現(xiàn)為零膨脹特性2.6 晶體的熱膨脹rV(r)由晶體勢函數(shù)的形狀分析晶體熱膨脹行為討論：正膨脹？負膨脹？2.7 晶格導熱一、聲子膨脹的正常過程（N過程）第一布里淵區(qū)q1q2q3三聲子過程：滿足動量守恒定律123qqq一、聲子膨脹的倒逆過程（U過程）第一