實(shí)變函數(shù)與泛函分析53教學(xué)資料

1、實(shí)變函數(shù)與泛函分析53yiyi-1iniibamEdxxfL10,lim)()(對(duì)值域作分劃xi-1 xiiniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(對(duì)定義域作分劃本節(jié)主要內(nèi)容:l若f(x) Riemann可積，則f(x)在a,b上Lebesgue可積，且積分值相等lf(x) Riemann可積當(dāng)且僅當(dāng)f(x) 的不連續(xù)點(diǎn)全體為零測(cè)度集0|lim1:max|)()(1)()(nnnnininTkixxT作函數(shù)列, 3 , 2 , 1, 3 , 2 , 10),()()()()(1)()()(nkiTxxxxmMxnnninininiTn的分點(diǎn)是, 3 , 2 , 1:)()(2)(1)

2、(0)(nbxxxxaTnknnnnn對(duì) a,b作分劃序列xi-1 xiEbaxxxmEnTxbaxEnTnn,),()(lim, 0,), 3 , 2 , 1(: ,)()(且則的分點(diǎn)是令由控制收斂定理可知有則對(duì)一切上的上、下確界，在為令,| )(|,)(,)(ABxnbaxfBAnT,)()(lim,)(babaTndxxdxxnxi-1 xi另一方面,)()(lim,)(babaTndxxdxxndxxfdxxfxxmxxMbabaninikininninikininnn)()()(lim)(lim)(1)(1)()(1)(1)(從而結(jié)論成立xi-1 xi)(lim)(lim)(1)(1

3、)()(,)(ninikinininTbanxxmMdxxnn定理：有界函數(shù)f(x)在a,b上Riemann可積的充要條件是f(x)在a,b上的不連續(xù)點(diǎn)全體為零測(cè)度集教材p-104有另一種證明，從而0)()()(,dxxfdxxfdxxbababa證明：若f(x) Riemann可積,則f(x) 的Darboux上、下積分相等，上幾乎處處為零。在故于又,)(,.0)(baxbaeax上幾乎處處為零。在故于又,)(,.0)(baxbaeax上述過(guò)程反之也成立。從而f(x)在a,b上的不連續(xù)點(diǎn)全體為零測(cè)度集，引理：設(shè)f(x) 是E上有限實(shí)函數(shù)，則f(x)在x0E處連續(xù)的充要條件是f(x)在x0處的

4、振幅為0證明參照教材p-102 定理：若f(x)在a,b上Riemann可積，則f(x)在a,b上Lebesgue可積，且babadxxfRdxxfL)()()()(,證明： f(x)在a,b上Riemann可積，故f(x)在a,b上幾乎處處連續(xù)，從而f(x)在a,b上有界可測(cè)，并且Lebesgue可積，: )(inf,: )(sup11iiiiiixxxxfmxxxxfM其中)()()(1,11iiixxiiixxMdxxfxxmii另外其次， 對(duì)a,b的任一分劃bxxxxaTn210: nnxxbaiidxxfdxxf1,1)()(根據(jù)Lesbesgue積分的可加性，我們有: )(inf,

5、: )(sup11iiiiiixxxxfmxxxxfM其中)()()(1,11iiixxiiixxMdxxfxxmii另外11, 11()( )()nniiiiiia biimxxfx dxMxx從而對(duì)上式左、右端關(guān)于一切分劃各取上、下確界，即得dxxfdxxfdxxfbababa)()()(,xi-1 xiQqpxqQxxR)1 ,0(/1)1 ,0(0)(在有理點(diǎn)處不連續(xù)，在無(wú)理點(diǎn)處連續(xù)（參見：數(shù)學(xué)分析）lRiemann函數(shù)Riemann可積QxQxxD1 ,011 ,00)(處處不連續(xù)lDirichlet函數(shù)不Riemann可積0 1注：Lebesgue積分與廣義Riemann積分無(wú)必然

6、聯(lián)系例：f(x)有無(wú)窮積分, 但不Lebesgue可積.20)()(dxxfR51015202530-0.20.20.40.60.81), 0()(sinxxfxx注：Lebesgue積分與廣義Riemann積分無(wú)必然聯(lián)系例： f(x)有暇積分但不Lebesgue可積nnnxnxxf1111)1(00)(1/5 1/3 12ln1)()(10dxxfRnn1)1(41312112ln0)(,0cdxxf0)(,1 ,0,0cdxxfc證明：由于( , )(0, )(0, 0,1,( )( )( )0a bbaababf x dxf x dxf x dx故，有，上大于在，不妨令值不為上的且在，若

7、結(jié)論不成立，則存在0)(0)(, 0 1 , 0ExfxfEmEE教材p122有另一種證明寫法：證明中用到了積分的絕對(duì)連續(xù)性，所以0)(Fdxxf從而有f(x)在F上幾乎處處為00( )0mFFf x這與且在 上矛盾，所以f(x)=0 a.e.于FFbanFGdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfnn)()()()()()(0),(1)10( ，則有10,(0,1)(,)nnnFEmFGFab 作閉集使并令，第四節(jié) Lesbesgue積分的幾何意義與Fubini定理第五章 積分論主講：胡努春,),(dcbadxdyyxfdcbadyyxfdx),(dcbadcbadyyxfdxdxd

8、yyxf),(),(,f(x,y)連續(xù)pRxdxEmEm)()()3(xEx證明參照教材p-136分六種情況討論：區(qū)間，開集， 型，零集，有界可測(cè)集，一般可測(cè)集Gp qER定理1 設(shè) 是可測(cè)集，則 ）（其中),( |EyxyEx(1)對(duì)Rp中幾乎所有的x，Ex 是Rq中的可測(cè)集 m(Ex)作為x的函數(shù)，它在Rp上幾乎處處有定義，且是可測(cè)函數(shù)；證明參照教材p-139A B);()(fEmGdxxfE證明參照教材p-139則f(x)是E上可測(cè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)G(E;f)=(x,y)| xE，0y f(x)是Rn+1中的可測(cè)集;并且有nRE 定理3 設(shè)f(x)為可測(cè)集 上的非負(fù)函數(shù)， f(x)dxdyyxfdppfBABA),()(證明參照教材p-140dyyxfB),(qpRBA(1)設(shè) f(p)=f(x,y)在 上可積，則對(duì)幾乎所有的x A, f(x,y)作為y的函數(shù)在B上可積， 作為x的函數(shù)在A上可積,且